自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解課件

1、自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解本章內容結構基本概念根軌跡圖的繪制根軌跡圖分析(考試、考研） 根軌跡繪制(考試重點） 根軌跡的繪制(考研會考）參量根軌跡的繪制(考研會考）本章內容結構基本概念根軌跡圖的繪制根軌跡圖分析(考試、考研）本章目錄4-1 根軌跡的基本概念4-2 180度根軌跡的繪制4-3 0度根軌跡的繪制4-4 參量（數）根軌跡的繪制4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能4-6 控制系統(tǒng)復域設計本章目錄4-1 根軌跡的基本概念4-1 根軌跡法的基本概念1. 根軌跡的定義例定義：當開環(huán)系統(tǒng)的某一參數從零到無窮變化時，閉環(huán)特征根在s平面上

2、形成的軌跡，叫做根軌跡。4-1 根軌跡法的基本概念1. 根軌跡的定義例定義：當開環(huán)系2. 根軌跡與系統(tǒng)性能(為何要繪制根軌跡，根軌跡的用途） 有了根軌跡圖，可以立即分析系統(tǒng)的各種性能。1)穩(wěn)定性：當參數變化時，若根軌跡是否進入S平面的右半平面？參數為何值時進入？當所有根軌跡分支都在左半平面時，系統(tǒng)穩(wěn)定。2) 穩(wěn)態(tài)性能：回憶：穩(wěn)態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數。由根軌跡圖不僅可以方便的確定開環(huán)增益和積分環(huán)節(jié)個數，而且可以根據給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求, 確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。3)動態(tài)性能：回憶：動態(tài)性能形態(tài)主要取決于系統(tǒng)的閉環(huán)極點。從根軌跡圖上，可以直觀地看到特征根隨著參數的變化情

3、況，從而，可以方便地確定動態(tài)性能隨著參數的變化情況。2. 根軌跡與系統(tǒng)性能(為何要繪制根軌跡，根軌跡的用途）1)3. 根軌跡法的基本任務 如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點。一旦確定閉環(huán)極點后，傳遞函數的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點可由開環(huán)傳遞函數直接求得。 在已知閉環(huán)傳遞函數的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應可利用拉氏變換的方法求出。 簡而言之，就是由根軌跡圖求系統(tǒng)的閉環(huán)極點。3. 根軌跡法的基本任務 如何由已知的開環(huán)零、極4. 根軌跡方程（首一式）（首一式）與靜態(tài)誤差系數法所用的標準形式不同4. 根軌跡方程（首一式）（首一式）與靜態(tài)誤差系數法所用的標注意： 首

4、一式和尾一式的轉換關系尾一式首一式根軌跡增益與開環(huán)增益的轉換關系注意： 首一式和尾一式的轉換關系尾一式首一式根軌跡增益與開環(huán)5. 繪制根軌跡的兩個基本條件5. 繪制根軌跡的兩個基本條件也就是說，繪制根軌跡時，只需要使用相角條件即可。也就是說，繪制根軌跡時， 純粹用試驗點的辦法手工作圖，工作量是十分巨大的，而且對全貌的把握也很困難，于是人們研究根軌跡圖的基本規(guī)則，以便使根軌跡繪圖更快更準。4-2 180度根軌跡（常規(guī)根軌跡）的繪制 純粹用試驗點的辦法手工作圖，工作量是十分巨大自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（無窮零點）（無窮極點）（無窮零點）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡

5、法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（續(xù)）（續(xù)）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解且均為實數開環(huán)零、極點。且均為實數開環(huán)零、極點。（續(xù)）（續(xù)）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（續(xù)）（續(xù)）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解 由兩個極點（實數極點或者復數極點）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數極點之間，當 從零變化到無窮時，閉環(huán)根軌跡的復數部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到重根點的距離為半徑的一個圓，或圓的一部分。這在數學上是可以嚴格證明的。小結論： 由兩個極點（實數極點

6、或者復數極點）和一個有限零（續(xù)）（續(xù)）另外，如果開環(huán)系統(tǒng)只有無限零點，則在重根點方程中取另外，如果開環(huán)系統(tǒng)只有無限零點，則在重根點方程中?。ɡm(xù)）（續(xù)）實際上是條件極值問題。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程具有實數等根或者復數等根時， 為某一極值。(參考文獻）實際上是條件極值問題。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程具有實數等根或者復數等自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解（續(xù)）（續(xù)）例4-3P155例4-3P155（續(xù)）考試要求做成如上形式的圖形。（續(xù)）考試要求做成如上形式的圖形。根與系數的關系可證此結論，P158規(guī)則9對于判斷根軌跡的走向很有用。根與系數的關系可證此結論，P158規(guī)則9對于判斷根軌跡的走向熟記P157

7、表4-1，考試、考研必考根軌跡的繪圖與定性、定量討論。(考試時，標準根軌跡概略圖如何畫？）熟記P157表4-1，考試、考研必考根軌跡的繪圖與定性、定量請牢記三句話：繪制根軌跡依據的是開環(huán)零極點分布，遵循的是不變的相角條件，畫出的是閉環(huán)極點的軌跡。請牢記三句話：注意：規(guī)則9的體現，左右平衡（草圖）注意：規(guī)則9的體現，左右平衡（草圖）自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解 應當指出，由于matlaba軟件包功能十分強大，運行相應的matlab文本，可以方便的獲得系統(tǒng)準確的根軌跡圖。 今天，在計算機上繪制根軌跡已經是很容易的事，由于計算機強大的計

8、算能力，所以計算機繪制根軌跡大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改變一次增益K求解一次特征方程。讓K從零開始等間隔增大，只要K的取值足夠多足夠密，相應解特征方程的根就在S平面上繪出根軌跡補充：用matlab繪制精確的根軌跡圖 應當指出，由于matlaba軟件包功能十分強大，運 用Matlab繪制根軌跡圖十分準確、快捷?，F在用一個例子來說明用法。 例 考慮負反饋系統(tǒng),設其中用Matlab繪制根軌跡只要知道開環(huán)傳遞函數分子分母的系數，并分別填入分子向量num和分母向量den中，然后調用繪制根軌跡的專用函數rlocus就行了。 用Matlab繪制根軌跡圖十分準確、快捷?，F在用一個num= 1 2

9、 4;den=1 11.6 39 43.6 24 0;rlocus(num,den) 在Matlab的命令窗（Command Window）中執(zhí)行這個程序，運行后就自動繪出根軌跡如圖，從根軌跡圖可以看出：當0K14或64K195時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。用光標敲擊根軌跡上的某一點會出一個文字框，標出該點的座標、K值、阻尼系數、超調量、頻率等。 對于本例，最簡單的程序就是： num= 1 2 4; 在Matlab的命令窗自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解 在MATLAB窗中，進入FileExport，可將繪出的根軌跡圖存為需要的圖形文件，比如命名為kka.jpg，這個圖形文件可以插入Word文

10、擋。 與繪制根軌跡有關的函數還有： pzmap繪制根軌跡的開環(huán)零、極點 rlocfind計算給定點的K值 sgrid在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數和自然頻率柵格 zgrid在離散系統(tǒng)根軌跡圖上繪制阻尼系數和自然頻率柵格 在MATLAB窗中，進入FileExport，可將例如，在上列程序之后增加語句： k,p=rlocfind(num,den) 執(zhí)行后用光標（十字）左單擊根軌跡上的任一點，會同時在每支根軌跡上出現紅十字標出n個閉環(huán)極點的位置，命令窗中出現這n個閉環(huán)極點的座標該點和它們對應的K值。 例如，在上列程序之后增加語句： k,p=rlocfindMatlab文本：G=tf(1,1 3 2

11、 0);pzmap(G);rlocus(G);Matlab文本：例 考慮負反饋系統(tǒng),其中 如果按基本規(guī)則，圖6（a）和6（b）兩種形狀都有可能性，實際上用Matlab繪出是圖6（a），當a增加時根軌跡的中間部分在變化，當a=12 Matlab繪出根軌跡如圖6（b）。 例 考慮負反饋系統(tǒng),其中 如果按基本規(guī)則，圖6（a(b) (a) 圖4-6 兩種根軌跡(b) (a) 圖4-6 兩種根軌跡4-3 0度根軌跡的繪制 一般來說，零度根軌跡的來源有兩個：一種是非最小相位系統(tǒng)中包含S最高次冪的系數為負的因子；其二是控制系統(tǒng)中包含有正反饋的內回路。前者是被控對象本身特性所產生的，或者是在系統(tǒng)結構圖變換過程

12、中所產生的；后者是由于某種性能指標要求，是的復雜的控制系統(tǒng)設計中，必須包含正反饋內回路所致。（P165）注：非最小相位系統(tǒng)概念指在S右半平面具有開環(huán)零極點的控制系統(tǒng)。4-3 0度根軌跡的繪制 一般來說，零度根軌跡的0度根軌跡的規(guī)制規(guī)則0度根軌跡的規(guī)制規(guī)則自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解熟記 P166，表4-3熟記 P166，表4-34.84.84-4 參量根軌跡的繪制4-4 參量根軌跡的繪制自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解為為自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能4-5 利用根軌跡

13、分析系統(tǒng)的性能1. 閉環(huán)極點的確定4.41）比較簡單的做法是：先繪制根軌跡圖，然后用試探法確定實數閉環(huán)極點的數值，最后用綜合除法得到其余的閉環(huán)極點。1. 閉環(huán)極點的確定4.41）比較簡單的做法是：先繪制根軌跡2）Matlab求解會很簡單（降冪長除法）模值條件2）Matlab求解會很簡單（降冪長除法）模值條件2. 附加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響 在控制系統(tǒng)設計時，我們常用附加位置適當的開環(huán)零點的方法來改善系統(tǒng)性能。因此，研究開環(huán)零點變換時的根軌跡變化，有很大的意義。2. 附加開環(huán)零點對系統(tǒng)性能的影響 在控制系統(tǒng)設計時規(guī)則9的體現規(guī)則9的體現3. 閉環(huán)系統(tǒng)零、極點位置對系統(tǒng)時間響應的影響（結合根軌跡

14、圖）若具有靠近原點的偶極子，則這種偶極子不能省去。(實際3-6倍即可。)P81P1683. 閉環(huán)系統(tǒng)零、極點位置對系統(tǒng)時間響應的影響（結合根軌跡圖欠阻尼二階系統(tǒng)的超調量 考試、考研題型：給定超調量，利用主導極點的概念求出滿足超調量要求的增益。欠阻尼二階系統(tǒng)的超調量 考試、考研題型：給定超調量，利用主導 閉環(huán)極點分布與暫態(tài)分量的運動形式（模態(tài)的概念）j閉環(huán)極點位置的共軛 閉環(huán)極點分布與暫態(tài)分量的運動形式（模態(tài)的概念）j閉4. 性能分析舉例4.64. 性能分析舉例4.6自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌

15、跡法詳解自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解4.74.7（兩種情況）（兩種情況）第四章 考試、考研題型題型一1.給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，繪制系統(tǒng)的根軌跡2.根據穩(wěn)定性或者穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定更軌跡增益的取值或取值范圍。進而確定響應的閉環(huán)極點。3.討論改善系統(tǒng)性能的舉措（添加零極點等）題型二1.給定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，繪制根軌跡圖。2.進一步給定系統(tǒng)的動態(tài)性能要求（比如阻尼比），利用主導極點的概念確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點，和所對應的根軌跡增益。題型三參數根軌跡繪制注：以上題型不會單獨出，往往會結合第二章和第三章的題一起出。第四章 考試、考研題型4-6 控制系統(tǒng)的復域設計控制系統(tǒng)根軌跡設計法的

16、基本思路：首先，利用已知的系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，根軌跡圖應當是準確的(可以利用matlab繪制）。第一種情況：由系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差等要求確定下根軌跡增益，利用根軌跡圖通過圖解法找出閉環(huán)極點(試探法、綜合除法等）。一旦確定閉環(huán)極點后，閉環(huán)傳遞函數的形式便不難確定，因為閉環(huán)零點利用開環(huán)傳遞函數很容易直接得到。在已知閉環(huán)傳遞函數的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應可利用拉氏變換的方法求出。第二種情況：由系統(tǒng)的性能指標（超調量，振蕩與否等），先確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點，進而利用模值條件確定根軌跡增益。(通常這種設計方法與閉環(huán)主導極點、二階系統(tǒng)的阻尼比聯系比較密切）第三種情況：復雜校正裝置的設計

17、，如附加開環(huán)零點等。4-6 控制系統(tǒng)的復域設計控制系統(tǒng)根軌跡設計法的基本思路：例4-9 自動平衡稱系統(tǒng)要求完成以下工作：1）建立系統(tǒng)的模型及信號流圖2）在根軌跡圖上確定根軌跡增益的取值3）確定系統(tǒng)的主導極點并使設計后的系統(tǒng)達到以下性能指標要求：1）階躍輸入作用下無穩(wěn)態(tài)誤差。2）欠阻尼響應:3）調節(jié)時間：解題思路：建模后，繪出參數根軌跡，利用主導極點的概念和希望的阻尼比確定出期望的主導極點，最后算出根軌跡增益。（本質上此題很簡單，只是建模復雜。）例4-9 自動平衡稱系統(tǒng)自動控制原理胡壽松第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法詳解解：1）首先弄清工作原理后，建立系統(tǒng)數學模型。建立各個環(huán)節(jié)的數學模型，畫出系統(tǒng)的信

18、號流圖，利用梅森公式求出系統(tǒng)的數學模型。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：系統(tǒng)的信號流圖見圖4-28，從信號流圖中看出，系統(tǒng)中含有一個積分環(huán)節(jié)，因此為1型系統(tǒng)，因此系統(tǒng)對階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為0。2）為了繪制電動機傳遞系數（含放大器附加增益） 變化時系統(tǒng)的根軌跡，可將有關參數代入傳遞函數中，并將系統(tǒng)的特征方程進行整理，等價根軌跡增益方程為：解：建立各個環(huán)節(jié)的數學模型，畫出系統(tǒng)的信號流圖，利用梅森公式繪制系統(tǒng)的根軌跡為：G=zpk(-6.93+6.93i -6.93-6.93i,0 0 -13.86,1);z=0.5;figure(1);rlocus(G);sgrid(z,new);axis(-40 5

19、-10 10)在根軌跡圖上，做希望的阻尼比線 ，得閉環(huán)極點 根據模值條件，不難求得與上述閉環(huán)極點對應的 。3）在上述設計中，顯然， 為系統(tǒng)的主導極點； 為非主導極點，其對動態(tài)響應的影響甚微，可略去不計。因而本設計完成的自動平衡稱系統(tǒng)必為 的欠阻尼響應。系統(tǒng)的調節(jié)時間為： 滿足設計指標要求。繪制系統(tǒng)的根軌跡為：在根軌跡圖上，做希望的阻尼比線 系統(tǒng)的單位階躍響應時間曲線如圖：figure(2);rlocus(G);hold on;K=25.5;rlocus(G,K)sys=tf(3.0596,0.05 1.9688 17.6946 122.3838);figure(3);step(sys)系統(tǒng)的單

20、位階躍響應時間曲線如圖：例4-10 自動焊接頭控制 自動焊接頭需要進行精確定位控制，其控制系統(tǒng)結構圖如圖所示，圖中， 為放大器增益， 為測速反饋系數。 設計要求：用根軌跡法選擇參數 與 ，使系統(tǒng)滿足如下性能要求：1) 系統(tǒng)對斜坡輸入相應的穩(wěn)態(tài)誤差 斜坡幅值的35%；2）系統(tǒng)主導極點的阻尼比 ；3）系統(tǒng)階躍響應的調節(jié)時間 。例4-10 自動焊接頭控制解：1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為顯然，該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，在斜坡輸入作用下，存在穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的誤差信號為：令 ，則穩(wěn)態(tài)誤差根據系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的性能的要求， 與 的選取應滿足如下要求：上式表明，為了獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差，應該選擇小的 值。解：1）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為顯然，該系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，在斜坡輸入2）根據系統(tǒng)對主導極點阻尼比的要求，系統(tǒng)的閉環(huán)極點應位于S平面上 的 斜線之間；再由對系統(tǒng)的調節(jié)時間的指標要求可知，主導極點實部的絕對值應滿足因此有 。 于是，滿足設計指標要求的