2021-2022學年福建省漳州第八中學高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解，則實數(shù)m的最大值為（ ）ABCD2設函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）.ABCD3

2、已知 若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD4已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，若，則的值為( )A1B1C8lD815設直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實數(shù)的取值為A或11B或11CD6直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2b2=1ab0的左焦點F，交橢圓于A,B兩點，交y軸于C點，若FC=2CA，則該橢圓的離心率是（）A3-1B3-12C22-2D2-17對于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（ ）ABCD8一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去

3、部分體積與剩余部分體積的比值為（ ）ABCD9的展開式中的系數(shù)是（ ）A160B240C280D32010一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是（ ）ABCD11若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（ ）ABCD12已知函數(shù)的一條切線為，則的最小值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_.14執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_.15在的展開式中，的系數(shù)為_用數(shù)字作答16數(shù)列滿足，則，_.若存在nN*使得成立，則實數(shù)的最小值為_三、

4、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質(zhì)，特推出一款運動計步數(shù)的軟件，所有用戶都可以通過每天累計的步數(shù)瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”，統(tǒng)計了2019年1月份所有用戶的日平均步數(shù)，規(guī)定日平均步數(shù)不少于8000的為“運動達人”，步數(shù)在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯(lián)表：運動達人非運動達人總計男3560女26總計100（1）（i）將列聯(lián)表補充完整；（ii）據(jù)此列聯(lián)表判斷，能否有的把握認為“日平

5、均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數(shù)的分布列及期望.附：18（12分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，證明：.19（12分）新高考，取消文理科，實行“”，成績由語文、數(shù)學、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機調(diào)查50人（把年齡在稱為中青年，年齡在稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）頻數(shù)515101055了解4126521（1）分別估計中青年和中老年對新高考了解的概率；（2）請根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表，是否有95%的

6、把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？了解新高考不了解新高考總計中青年中老年總計附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若從年齡在的被調(diào)查者中隨機選取3人進行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為，求的分布列以及.20（12分）已知函數(shù)，.函數(shù)的導函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.21（12分） “綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護意識，高二一班組織了環(huán)境保護興趣小組，分為兩組，討論學習甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有

7、人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個興趣小組中抽出人參加學校的環(huán)保知識競賽.（1）設事件為 “選出的這個人中要求兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須來自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機變量的分布列和期望22（10分）如圖，的直徑的延長線與弦的延長線相交于點，為上一點，交于點求證：參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，利用導數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，設，當時，函數(shù)單

8、調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，當，函數(shù)恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，且，即，且，故實數(shù)m的最大值為，故選：A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學運算能力.2B【解析】求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當時，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.3C【解析】先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定

9、義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.當時，由，得，解得，此時；當時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當時，則，此時；當時，此時.綜上所述，函數(shù)的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應用，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.4B【解析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可求得，再通過賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，故可得，令，故可得，又因為，令，則，解得令

10、，則.故選：B.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，以及通過賦值法求系數(shù)之和，屬綜合基礎題.5A【解析】圓的圓心坐標為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A6A【解析】由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為F(-3,0)，且a2-b2=3，再由FC=2CA，求得A32,32，代入橢圓的方程，求得a2=33+62，進而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F，令y=0，解得x=3，所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)，且a2-b2=3 直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=3,OC=1,FC=2，因為F

11、C=2CA，所以FA=3，所以A32,32，又由點A在橢圓上，得3a2+9b2=4 由，可得4a2-24a2+9=0，解得a2=33+62，所以e2=c2a2=633+6=4-23=3-12，所以橢圓的離心率為e=3-1.故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，即可得e的值(范圍)7D【解析】根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對

12、稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數(shù)的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8D【解析】試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.9C【解析】首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，

13、則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.10A【解析】作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，平面，且，這個四棱錐中最長棱的長度是故選【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎題11A【解析】設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設平面向量與的夾角為，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模

14、求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于中等題.12A【解析】求導得到，根據(jù)切線方程得到，故，設，求導得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，計算得到答案.【詳解】，則，取，故，.故，故，.設，取，解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導數(shù)求最值，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設，設，函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，.當時，易知不成

15、立；當時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.148【解析】根據(jù)偽代碼逆向運算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎題.151【解析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令，求出展開式中的系數(shù)【詳解】二項展開式的通項為 令得的系數(shù)為 故答案為1【點睛】利用二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具16 【解析】利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項公式，將不等式分離常數(shù)

16、，利用商比較法求得的最小值，由此求得的取值范圍，進而求得的最小值.【詳解】當時兩式相減得所以當時，滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得，設，所以，即，所以單調(diào)遞增，的最小項，即有的最小值為.故答案為：(1). (2). 【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式成立的存在性問題的求解策略，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（i）填表見解析（ii）沒有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”（2）詳見解析【解析】（1）(i)由已給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表，(ii)計算出后可得；（2）由列聯(lián)表知從

17、運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，的取值為，由二項分布概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望【詳解】解（1）（i）運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100（ii）由列聯(lián)表得所以沒有的把握認為“日平均走步數(shù)和性別是否有關(guān)”（2）由列聯(lián)表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，.易知所以的分布列為0123【點睛】本題考查列聯(lián)表，考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和期望屬于中檔題本題難點在于認識到18 (1) (2)見證明【解析】（1） 利用零點分段法討論去掉絕對值求解；（2） 利用絕對值不等式的性質(zhì)進行證明.【詳解】（1）解：當時，不等式可化為

18、.當時，所以；當時，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，得，又，所以，即.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點分段討論法.19（1）；（2）見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)；（3）分布列見解析，.【解析】（1）分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù)，即可求出概率；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出的觀測值，對照表格，即可得出結(jié)論；（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值為0，1，2，分別求出概率，列出隨機變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對新高考了解的概率，

19、中老年對新高考了解的概率.（2）列聯(lián)表如圖所示了解新高考不了解新高考總計中青年22830老年81220總計302050，所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián).（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0，1，2，則；.所以的分布列為012.【點睛】本題考查概率、獨立性檢驗及隨機變量分布列和期望，考查計算求解能力，屬于基礎題.20；4；12.【解析】由題意可知，求導函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設，則，所以在上單調(diào)遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，當，即時，恒成