2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義(教、學(xué)案)

1、2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義一、教材分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律,然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律.二教學(xué)目標(biāo)1了解平面向量數(shù)量積的物理背景,理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系,理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律,并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算；3體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法,進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。三、教學(xué)重點難點重點：1、平面向量數(shù)量積的含義與

2、物理意義,2、性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用。難點：平面向量數(shù)量積的概念四、學(xué)情分析我們的學(xué)生屬于平行分班,沒有實驗班,學(xué)生已有的知識和實驗水平有差距。有些學(xué)生對于基本概念不清楚,所以講解時需要詳細五、教學(xué)方法1實驗法：多媒體、實物投影儀。2學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。3.新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑一情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)一合作探究、精講點撥一反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測一發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)六、課前準(zhǔn)備1學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)學(xué)案。2教師的教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件制作,課前預(yù)習(xí)學(xué)案,課內(nèi)探究學(xué)案,課后延伸拓展學(xué)案。七、課時安排：1課時八、教學(xué)過程（一）預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑,使

3、教學(xué)具有了針對性。（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。創(chuàng)設(shè)問題情景,引出新課1、提出問題1：請同學(xué)們回顧一下,我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運算。2、提出問題2：請同學(xué)們繼續(xù)回憶,我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？期望學(xué)生回答：物理模型一概念一性質(zhì)一運算律一應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義合作探究,精講點撥探究一：數(shù)量積的概念FCLS1、給出有關(guān)材料并提出問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S,那么力F所做的功：W=|F|S|

4、cosao這個公式的有什么特點？請完成下列填空：TOC o 1-5 h zW(功)是量,F(力)是量，S(位移)是量，a是o你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義1)數(shù)量積的定義：I-已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為a,我們把數(shù)量丨a丨丨bb|cosa叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：ab,即：ab=a|b|cosa2)定義說明：記法“ab”中間的“”不可以省略，也不可以用“x”代替?！耙?guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。(3)提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？期望學(xué)

5、生回答：線性運算的結(jié)果是向量,而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù),這個數(shù)值的大小不b-p.僅和向量a與b的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。學(xué)生討論,并完成下表：例1：已知丨a|=3,Ib1=6,當(dāng)ab,a丄b,a與b的夾角a的范圍0Wa90a=900a180ab的符號是60時，分別求ab.解：當(dāng)ab時，若a與b同向，則它們的夾角0=0,ab=|a|b|cosO=3X6Xl=18；若a與b反向，則它們的夾角0=180,ab=|a|b|cos180=3X6X(1)=18；當(dāng)a丄b時，它們的夾角0=90,ab=0；當(dāng)a與b的夾角是60時，有1ab=|a|b|cos60=3X6X=92評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角

6、有關(guān),其范圍是0,180,因此,當(dāng)ab時，有0或180兩種可能.變式：對于兩個非零向量a、b,求使|a+tb|最小時的t值，并求此時b與a+tb的夾角。探究二：研究數(shù)量積的意義1給出向量投影的概念：如圖，我們把|bIcosA(|aIcosA)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影,*記做：0B二|b|cosA提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？fffrfT期望學(xué)生回答：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影Ib|cosA的乘積。研究數(shù)量積的物理意義請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。探究三：探究數(shù)量積的運算性質(zhì)1、提出問題6：ff7比較丨ab丨與丨a|X|

7、b丨的大小，你有什么結(jié)論？2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a和b都是非零向量，則r*1、a丄b、.ab=02、當(dāng)a與b同向時，|ab|=|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ra.fc-_fi.tr*wte-J!ta-|ab|=-|a|b|,特別地，aa=|a|2或|a|=a3、|ab|W|a|X|b|數(shù)量積的運算律1)、提出問題7：我們學(xué)過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？預(yù)測：學(xué)生可能會提出以下猜想：(ab)c=a(bc)(a+b)c=ac+bc2)、分析猜想：猜想的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想的正確性，請同學(xué)們先來討論:猜測的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？期望學(xué)生回答：左邊是與

8、向量c共線的向量，而右邊則是與向量a共線的向量，顯然在向量c與向量a不共線的情況下猜測是不正確的。(3)、明晰：數(shù)量積的運算律：已知向量a、b、c和實數(shù)入，貝U：(1)ab=ba(2)(入a)b二入(ab)=a(入b)Tfffff(3)(a+b)c=ac+bc例2、（師生共同完成）已知丨a|=6,Ib|=4,a與b的夾角為60,求（a+2b）（a-3b）,并思考此運算過程類似于實數(shù)哪種運算?解：(a+2b)(a-3b)=a.a-3a.b+2a.b-6b.b=36-3X4X6X0.5-6X4X4=-72評述：可以和實數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運算律變式：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2(2)(a

9、+b)(a-b)=a2b2（四）反思總結(jié),當(dāng)堂檢測。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容,并進行當(dāng)堂檢測。設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄）（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的物理背景及含義,那么,在下一節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運算。模。夾角。這節(jié)課后大家可以先預(yù)習(xí)這一部分,著重分析坐標(biāo)的作用設(shè)計意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè),并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。九、板書設(shè)計平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一、數(shù)量積的概念二、數(shù)量積的性質(zhì)四、應(yīng)用與提高十、教學(xué)反思、概念：例1：本課的設(shè)計概念強課前下發(fā)預(yù)法學(xué)案，學(xué)生

10、預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點、難點2疑點、考點、探究點以積學(xué)生學(xué)習(xí)過程中易忘、易混點等，最后進行當(dāng)堂檢、幾何后進行延伸拓展，以達到提高課堂效率的目的。我首先安排讓學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)、物理意并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認(rèn)識。通過嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學(xué)生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論

11、，教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運算性質(zhì)是將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運算律則是通過和實數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學(xué)生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：預(yù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：2兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別3“投影”的概念：作圖4向量的數(shù)量積的幾何意義：5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量.*1Oe-b=be=2Oa丄boa-b

12、=設(shè)a、b為兩個非零向量,e是a與同向的單位向量.e-a=a-e=3。當(dāng)a與b同向時，a-b=當(dāng)a與b反向時，a-b=特別的aa=|a|2或Ia1=a-a40cos0=-*-F-50Ia-bIWIa|bI提出疑惑：課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1說出平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；學(xué)會用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；學(xué)習(xí)重難點：。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義二、學(xué)習(xí)過程創(chuàng)設(shè)問題情景,引出新課1、提出問題1：請同學(xué)們回顧一下,我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？2、提出問題2：請同學(xué)們繼續(xù)回憶,我們是怎么引入向量的加法運算的？

13、我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義探究一：數(shù)量積的概念1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S,那么力F所做的功：W=（2）這個公式的有什么特點？請完成下列填空：TOC o 1-5 h zW（功）量,F（力）是量，S（位移）量，a是。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?2、明晰數(shù)量積的定義1）數(shù)量積的定義：t=Tf已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為a,我們把數(shù)量丨a丨丨b|cosa叫做Ia|b|cosat_a*a.a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記

14、作：ab,即：ab=2）定義說明：記法“ab”中間的“”不可以省略，也不可以用“x”代替?！耙?guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？例1：已知丨a|=3,Ib1=6,當(dāng)ab,a丄b,a與b的夾角4）學(xué)生討論，并完成下表：a的范圍0Wa90a=900a若a-b與a垂直，求a與b的夾角.設(shè)m、n是兩個單位向量，其夾角為60,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.課后練習(xí)與提高?W已知Ia|=1,|b|=2,且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（）A.60。B.3O。C.135。D.45兀已知Ia|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為亍，那么向量m=a-4b的模為（）TOC o 1-5 h zA.2B.2、3C.6D.12I-F已知a、b是非零向量，貝川a|=|b|是（a+b）