人教部編版八年級上冊數(shù)學(xué)課件 14.3.2 公式法

1、14.3 因式分解14.3.2 公式法平方差公式a米b米b米a米(ab) 如圖，在邊長為a米的正方形上剪掉一個邊長為b米的小正方形，將剩余部分拼成一個長方形，根據(jù)此圖形變換，你能得到什么公式？a2 b2=(a+b)(ab)導(dǎo)入新知用平方差公式進行因式分解多項式a2b2有什么特點？你能將它分解因式嗎？是a，b兩數(shù)的平方差的形式)(baba+=22ba)(22bababa+=整式乘法因式分解 兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積.平方差公式：探究新知知識點 1想一想辨一辨：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:

2、 ( )2( )2的形式. 兩數(shù)是平方，減號在中央(1)x2+y2(2)x2y2(3)x2y2(x2+y2)y2x2(4)x2+y2(5)x225y2(6)m21(m+1)(m1)探究新知例1 分解因式： aabb( +)()a2 b2 =解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式整體思想ab素養(yǎng)考點 1利用平方差公式分解因式的應(yīng)用探究新知 方法點撥 公式中的a、b無論表示數(shù)、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉(zhuǎn)化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.探究新知1.分解因式：(1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2.(2m4n)(4m2n)解：(1)原式(ab2a)(a

3、b2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn) 若用平方差公式分解后的結(jié)果中有公因式，一定要再用提公因式法繼續(xù)分解.鞏固練習(xí)例2 分解因式： 解：(1)原式(x2)2(y2)2(x2+y2)(x2y2) 分解因式后，一定要檢查是否還有能繼續(xù)分解的因式，若有，則需繼續(xù)分解，直到不能分解為止.(x2+y2)(x+y)(xy);(2)原式ab(a21) 分解因式時，一般先用提公因式法進行分解，然后再用公式法.最后進行檢查.ab(a+1)(a1).素養(yǎng)考點 2多次因式分解探究新知 方法點撥 分解因式前應(yīng)先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式必須進行

4、到每一個多項式都不能再分解因式為止探究新知2. 分解因式：(1)5m2a45m2b4； (2)a24b2a2b.(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解：(1)原式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2) (2)原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)鞏固練習(xí)例3 已知x2y22，xy1，求xy，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，聯(lián)立組成二元一次方程組，解得：素養(yǎng)考點 3利用因式分解求整式的值探究新知方法總結(jié)：在與x2y2，xy有關(guān)的求代數(shù)式或未知數(shù)的值的問題中，通常需先因式分解，然后整體代入或聯(lián)立方程組求值.3.已知xy

5、=2，x2y2=8，求x+y的值.解：由題意得： (x+y)(xy)=8， xy=2， 2(x+y)=8， x+y=4.鞏固練習(xí)例4 計算下列各題：(1)1012992； (2)53.52446.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式4(53.5246.52) 4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法總結(jié)：較為復(fù)雜的有理數(shù)運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.素養(yǎng)考點 4利用因式分解進行簡便運算探究新知4.用平方差公式進行簡便計算: (1) 3837 (2) 21387(3) 229171 (4) 9189解：(1) 38

6、37=(38+37)(3837)=75解： (2) 21387=(213+87)(21387)=300126=37800解：(3) 229171=(229+171)(229171)=40058=23200解：(4) 9189=(90+1)(901)=901=81001=8099鞏固練習(xí)例5 求證：當(dāng)n為整數(shù)時，多項式(2n+1)2(2n1)2一定能被8整除即多項式(2n+1)2(2n1)2一定能被8整除證明：原式=(2n+1+2n1)(2n+12n+1)=4n2=8n，n為整數(shù)，8n被8整除，方法總結(jié)：解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式，然后分析能被哪些數(shù)或式子整除素養(yǎng)考點 5利

7、用因式分解進行證明探究新知5. 若a，b，c是三角形的三邊，且滿足關(guān)系式a22bc=c22ab，試判斷這個三角形的形狀.解析：已知等式變形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可確定出三角形形狀. 解：a22bc=c22ab， (a2c2)+ 2ab2bc=0，(a+c)(ac)+ 2ab2bc=0，(ac)(a+c+2b)=0.a+c+2b0，ac=0，即a=c，這個三角形是等腰三角形.鞏固練習(xí)1. (2018濟寧)多項式4aa3分解因式的結(jié)果是()Aa(4a2) Ba(2a)(2+a)Ca(a2)(a+2) Da(2a)2連接中考2. (2018蘇州)若a+b=4，ab=1，

8、則(a+1)2(b1)2的值為 解析：a+b=4，ab=1，(a+1)2(b1)2=(a+1+b1)(a+1b+1)=(a+b)(ab+2) =4(1+2)=12B12鞏固練習(xí)1.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29D2. (2018邵陽)將多項式xx3因式分解正確的是()Ax(x21) Bx(1x2)Cx(x+1)(x1) Dx(1+x)(1x) D3.若a+b=3，ab=7，則b2a2的值為()A21 B21 C10 D10A課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題4.把下列各式分解因式：(1) 16a29b2=_; (2) (a+b)2(ab)2=_;

9、 (3) (2018徐州)因式分解：2x28=_; (4) a4+16=_.(4a+3b)(4a3b)4ab(4+a2)(2+a)(2a)5.若將(2x)n81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x3)，則n的值是_.42(x+2)(x2)課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1. 已知4m+n=40，2m3n=5求(m+2n)2(3mn)2的值原式= 405= 200解：原式=(m+2n+3m n)(m+2n 3m+n)=(4m+n)(3n 2m)= (4m+n)(2m 3n)，當(dāng)4m+n=40，2m3n=5時，能力提升題課堂檢測2.如圖，在邊長為6.8 cm正方形鋼板上，挖去4個邊長為1.6 cm的小正方形，

10、求剩余部分的面積解：根據(jù)題意，得6.8241.626.82 (21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.636 (cm2)答：剩余部分的面積為36 cm2.課堂檢測能力提升題(1)9921能否被100整除嗎？解：(1)因為 9921=(99+1)(991)=10098，所以，(2n+1)225能被4整除.(2)n為整數(shù)，(2n+1)225能否被4整除？所以9921能被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+15)=(2n+6)(2n4) =2(n+3) 2(n2)=4(n+3)(n2).拓廣探索題課堂檢測平方差公式分解因式公式a2b2=(a+b)(ab)步驟

11、一提：公因式；二套：公式；三查：多項式的因式分解有沒有分解到不能再分解為止. 課堂小結(jié)完全平方公式 我們知道，因式分解與整式乘法是反方向的變形，我們學(xué)習(xí)了因式分解的兩種方法：提取公因式法、運用平方差公式法.現(xiàn)在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？導(dǎo)入新知1.因式分解：把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a2b2=(a+b)(ab)用完全平方公式分解因式知識點 13.完全平方公式(ab)2=a22ab+b2探究新知回顧舊知 你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？同學(xué)們拼出圖形為：aabbabababa

12、bab探究新知探究這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2 =ababaababb(a+b)2 a2+2ab+b2=將上面的等式倒過來看，能得到：探究新知 a2+2ab+b2 a22ab+b2 我們把a+2ab+b和a2ab+b這樣的式子叫做完全平方式. 觀察這兩個多項式：(1)每個多項式有幾項？(3)中間項和第一項，第三項有什么關(guān)系？(2)每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項.這兩項都是數(shù)或式的平方，并且符號相同.是第一項和第三項底數(shù)的積的2倍.探究新知完全平方式的特點： 1.必須是三項式(或可以看成三項的)； 2.有兩個同號的數(shù)或式的平方； 3.中間有兩底數(shù)之積的

13、2倍. 完全平方式:探究新知簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央. 凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現(xiàn)了因式分解.2ab+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2 兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.探究新知 3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ) 2.m6m+9=( ) 2 ( ) ( )+( ) =( ) 1. x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( )x2x + 2 aa 2ba + 2b2b對照 a2ab+b=(ab)，填空：mm 33x2 m3 探究新知試

14、一試下列各式是不是完全平方式？ (1)a24a+4; (2)1+4a; (3)4b2+4b1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25.是只有兩項；不是4b與1的符號不統(tǒng)一；不是不是是ab不是a與b的積的2倍.探究新知說一說例1 分解因式：(1)16x2+24x+9； (2)x2+4xy4y2.分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3，24x=24x3， 所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+24x3+ (3)2.(2)中首項有負(fù)號，一般先利用添括號法則，將其變形為(x24xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.素養(yǎng)考點 1利

15、用完全平方公式分解因式探究新知解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2；= (4x)2 + 24x3 + (3)2 (2)x2+ 4xy4y2 =(x24xy+4y2) =(x2y)2.探究新知1. 把下列多項式因式分解.(1)x212xy+36y2. (2)16a4+24a2b2+9b4. 解：(1)x212xy+36y2 =x22x6y+(6y)2 =(x6y)2.(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+24a23b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2.鞏固練習(xí)(3)2xyx2y2. (4)412(xy)+9(xy)2. 解：(3)2xyx2y2 = (x

16、2+2xy+y2) = (x+y)2.(4)412(xy)+9(xy)2 =22223(xy)+3(xy)2 =23(xy)2 =(23x+3y)2.鞏固練習(xí)例2 如果x26x+N是一個完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C. 11 D. 9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項6x=2x(3)，故可知N=(3)2=9.素養(yǎng)考點 2利用完全平方公式求字母的值探究新知 方法點撥 本題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征， 根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計算過程中，要注意積的2倍的符號，避免漏解探究新知2. 如果x2mx+16是一個完全平方

17、式，那么m的值為_.解析：16=(4)2，故m=2(4)，m=8.8鞏固練習(xí)例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)212(a+b)+36.解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進一步分解因式；(2)中將a+b看成一個整體，設(shè)a+b=m，則原式化為m212m+36. (2)原式=(a+b)22(a+b) 6+62 =(a+b6)2.素養(yǎng)考點 3利用完全平方公式進行較復(fù)雜的因式分解探究新知 利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多項式分解因式，這種分解因式的方法

18、叫做公式法.探究新知3.因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.(a244a)(a244a)解：(1)原式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)原式(a24)2(4a)2(a2)2(a2)2.有公因式要先提公因式.要檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解鞏固練習(xí)例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002210099+99； (2)3423432162. 解：(1)原式=(10099) (2)原式(3416)2 本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計算.=1.2500.素養(yǎng)考點 4利用完全平方公式進行簡便運算探究新知4. 計算: 7652172

19、352 17. 解：7652172352 17 =17 (7652 2352) =17 (765+235)(765 235) =17 1 000 530=9010000.鞏固練習(xí)例5 已知:a2+b2+2a4b+5=0，求2a2+4b3的值。提示：從已知條件可以看出，a2+b2+2a4b+5與完全平方式有很大的相似性(顏色相同的項)，因此可通過“湊”成完全平方式的方法，將已知條件轉(zhuǎn)化成非負(fù)數(shù)之和等于0的形式，從而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來求解。素養(yǎng)考點 5利用完全平方公式和非負(fù)性求字母的值探究新知解：由已知可得(a2+2a+1)+(b24b+4)=0 即(a+1)2+(b2)2=0 2a2+4b3=2

20、(1)2+423=7探究新知方法總結(jié)：遇到多項式的值等于0、求另一個多項式的值，常常通過變形為完全平方公式和(非負(fù)數(shù)的和)的形式，然后利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)來解答5. 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值112121.解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2y22xy1(xy1)2 幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)都為0.鞏固練習(xí)1. (2018湘潭)因式分解：a22ab+b2= 連接中考鞏固練習(xí)2. (2018菏澤)若a+b=2，ab=3，則代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值為 解析：a+b=2，ab= 3，a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)， =ab(a+b)2， = 34，= 12(ab)2121.下列四個多項式中，能因式分解的是( ) Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y2.把多項式4x2y4xy2x3分解因式的結(jié)果是( )A4xy