斗雞博弈與爭道問題

1、斗雞博弈與爭道問題一、斗雞博弈的概述斗雞博弈可運(yùn)用一個(gè)類似于寓言故事的小例子來解釋，它是指當(dāng)有兩只實(shí)力相當(dāng)?shù)亩冯u遇到一起時(shí)，每只斗雞都有兩個(gè) 選擇：一是退下來，一是進(jìn)攻。如果斗雞甲退下來，而斗雞乙 沒有退下來，那么乙獲得勝利，甲就很丟面子；如果斗雞乙也 退下來，雙方則打個(gè)平手；如果斗雞甲沒退下來，而斗雞乙退 下來，則甲勝利，乙則失??；如果兩只斗雞都前進(jìn)，那么則 兩敗俱傷。因此，對每只斗雞來說，最好的結(jié)果是，對方退下 來，而自己不退。但是這種選擇卻可能導(dǎo)致兩敗俱傷的結(jié)果。我們可以自行給定雙方的收益值，代表在某種特定情況下，每一方的收益情況。如圖:刖進(jìn) 后退-2，-21，-1-1，1-1，-1前進(jìn)

2、后退在這個(gè)博弈模型中，我們可以看出該博弈存在兩個(gè)純策略納什均衡，即（1，-1）和（-1,1），對應(yīng)的策略為（前進(jìn)，后 退）和（后退，前進(jìn)）。因此，我們無法預(yù)測斗雞博弈的結(jié)果，即不能知道誰進(jìn)誰 退，誰輸誰贏。斗雞博弈描述的是兩個(gè)強(qiáng)者在對抗沖突的時(shí)候， 如何讓自己占據(jù)優(yōu)勢，力爭得到最大收益，確保損失最少。模型應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，我們身邊也不乏這樣的例子。大到國際上 的霸權(quán)爭霸，如曾經(jīng)的美蘇兩個(gè)超級大國的軍備競賽；小到道 路的爭搶問題，如同“今天的中國式過馬路”，行人依靠過馬 路人數(shù)的多少來確定是否通過馬路，堂而皇之地?fù)尩?，或者?輛依靠自己的車速來嚇退行人或者超過身邊的車輛。為此，我 們引用斗雞博弈

3、來解釋這一現(xiàn)實(shí)問題。為了使得模型不那么復(fù)雜化，我們只考慮東西方向的行人 或車輛與南北方向的行人或車輛兩者之間的博弈，即無各個(gè)方 向交互錯(cuò)行的情況。引入模型如下：南北方向刖進(jìn)q等待1-q東西方向刖進(jìn)p(-c,-c)(0廣t1 )等待1-p(-t1,0)(-t2,-t2)我們規(guī)定c為沖突成本，t為時(shí)間成本。Ct2t1，即雙方 都等待，則耗費(fèi)的時(shí)間成本比一方等待而另一方前進(jìn)的耗費(fèi)時(shí) 間更長，導(dǎo)致時(shí)間的浪費(fèi)，符合實(shí)際情況；而當(dāng)雙方的參與者 都迫不及待地穿過馬路時(shí)，會(huì)有極大的概率發(fā)生交通事故，釀 成慘劇，所以c均大于t1，t2，付出的代價(jià)最為慘重，這一假 設(shè)也符合實(shí)際情況。就一般情況而言，選擇等待則需要

4、支付時(shí) 間成本。若撇掉其他因素，則支付可表示為等待時(shí)間的一個(gè)函 數(shù)。由于雙方存在利益沖突，所以雙方會(huì)隨機(jī)地選擇兩個(gè)純策 略，由此還應(yīng)該存在一個(gè)混合策略納什均衡。在這一模型中，根據(jù)支付等值法，可以列出式子：-c*q=-t1*q-t2*(1-q)-c*p=-t1*p-t2*(1-p)整理后，得(-t1-c-t2)*q=-t2(-t1-c-t2)*p=-t2即 q=t2/(c1+t2-t1) ,p=t2/( c1+t2-t1)表示“東西方向的車輛或行人”以p的概率選擇“前進(jìn)”，以1 - p的概率選擇“等待”，“南北方向的車輛或行人”則 以q的概率選擇“前進(jìn)”，以1- q的概率選擇“等待”?；谶@一狀

5、況，可考慮引進(jìn)第三方的監(jiān)管，使用強(qiáng)制力其 達(dá)到該博弈模型的納什均衡，即以第三方的力量使得這一沖突 得到解決，得到一方前進(jìn)，一方等待的最優(yōu)結(jié)果。這樣，既可 以減少行人和車輛的等待時(shí)間，提高過馬路的效率，最重要的 是大大降低了交通事故發(fā)生的概率，保證社會(huì)的和諧穩(wěn)定。三、引入交通燈的設(shè)置解決爭道問題紅綠燈設(shè)置是一個(gè)系統(tǒng)性問題，涉及到紅綠燈設(shè)置地點(diǎn)、 紅綠燈空間間隔、紅燈與綠燈時(shí)間間隔等諸多細(xì)節(jié)，在這里我 們僅關(guān)注紅綠燈交替時(shí)間或綠信比的合理性設(shè)置。以上的支付矩陣中，未存在第三方的制約，現(xiàn)引入交通燈 的設(shè)置，由紅燈決定一方的“等待”狀態(tài)，綠燈決定“前進(jìn)” 狀態(tài)。即若采用斗雞博弈描述爭道問題，則紅綠燈設(shè)

6、置的日的 是確保純戰(zhàn)略納什均衡的出現(xiàn)，紅綠燈的變化則表征斗雞博弈 兩個(gè)純策略納什均衡的變化，進(jìn)一步地，如果斗雞博弈參與人 的支付滿足概率約束條件p = 1 - q ，則斗雞博弈的混合戰(zhàn) 略納什均衡可對應(yīng)一個(gè)符合參與人理性的紅綠燈時(shí)間間隔。受到第三方監(jiān)管后模型變?yōu)槿缦?，體現(xiàn)了行政監(jiān)管的作用。 并且我們可以規(guī)定，在第三方監(jiān)管的情況下，東西方向的綠燈 出現(xiàn)時(shí)，南北方向一定出現(xiàn)的是紅燈，反之亦然，故不會(huì)出現(xiàn) 雙方都出現(xiàn)紅燈或者都出現(xiàn)綠燈的狀況，保證監(jiān)管的有效性。南北方向綠燈紅燈東西方向綠燈（-c1,-c2）（0, -t1）紅燈（-rtl, 0）（-rt2,t2,）這一模型中，考慮了東西方向與南北方向車

7、流量（行人 流量）的比例關(guān)系，以r表示，在監(jiān)管情況下，c1,c2是關(guān) 于r的函數(shù)，可以由第三方監(jiān)管控制。rt1代表時(shí)間成本與 車流量成正比。考慮車輛或行人非預(yù)謀地出現(xiàn)在這一對局，并未曾預(yù)料到 可能的紅綠燈狀態(tài)，對于他們而言，紅綠燈狀態(tài)是一數(shù)學(xué)意義上的隨機(jī)事件，而紅燈、綠燈各自所占時(shí)間比重則給出了該隨 機(jī)事件的概率分布，這相當(dāng)于給車輛或行人定義了一個(gè)混合戰(zhàn) 略。紅綠燈時(shí)間設(shè)置應(yīng)與斗雞博弈混合戰(zhàn)略均衡保持一致性， 確保斗雞博弈混合策略納什均衡。假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)的紅綠燈可以采用比例的方式，這種時(shí)間 比例以強(qiáng)制方式定義了博弈參與人的一個(gè)混合戰(zhàn)略組合。一般 而言，東西方向的綠燈出現(xiàn)的概率應(yīng)該等于南北方向紅

8、燈出現(xiàn)的概率，所以p=1-q。南北方向綠燈q紅燈1-q東西方向綠燈p(-c1廣c2)(0, -t1)紅燈1-p(-rt1, 0)(-rt2,t2,)根據(jù)支付等值法，可列得式子為：-c1*q=rt1*q - rt2(1-q)-c2*p=-t1*p -2*(1-p)整理得(-c1+rt1-rt2)*q=-rt2, (-c2+t1-t2)*p=-t2即 q=rt2/(c1-rt1-rt2)p=t2/(c2-t1+t2)根據(jù) p=1-q 得，p/(1-p)=(1-q)/q=t2/(c2-t1)=(c1-rt1)/rt2,由此可得出紅綠燈出現(xiàn)的概率。根據(jù)這個(gè)簡單化的模型和根據(jù)這一紅綠燈概率，并結(jié)合行人和

9、車輛穿過馬路所需要的具體時(shí)間，來計(jì)算紅綠燈各自出現(xiàn)的具體時(shí)間。四、其他解決方式：基于下圖的原始模型:南北方向刖進(jìn)q等待1-q東西方向刖進(jìn)p(-C廣c)(0廣t1 )等待1-p(-t1,0)(-t2,-t2)除了引入交通燈的設(shè)置外，我們還可以運(yùn)用其他方式使得在現(xiàn)實(shí)生活中達(dá)到模型的納什均衡，即一方前進(jìn)，一方等待。（1）在人流特別密集的特殊時(shí)段或特殊地段，引用交警指揮。交 警的指揮固然會(huì)使得道路交通的監(jiān)管成本增加，但從整個(gè)社 會(huì)利益出發(fā)，部分監(jiān)管成本的增加，使得人民的生命安全更 能得到保障，無疑是值得的。這就需要交通部門充分履行自 身職責(zé)，保持道路交通的順暢，督促行人與車輛按規(guī)則行駛。（2）可招募志愿者進(jìn)行道路的疏導(dǎo)與指揮。經(jīng)過一定培訓(xùn)后，可 以由志愿者進(jìn)行交通的疏導(dǎo)，既能夠在一定程度上緩解道路 疏通的壓力，也可以幫助交通部門解決人員配置不合理的問 題。（3）政府應(yīng)大力發(fā)展城市交通建設(shè)，完善道路設(shè)施，在配置合理 的基礎(chǔ)上，盡可能增加人們