風(fēng)險(xiǎn)理論第三章

1、風(fēng)險(xiǎn)理論第三章第1頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四第一節(jié) 損失分布的貝葉斯修正方法統(tǒng)計(jì)推斷利用三種信息：總體信息、樣本信息、先驗(yàn)信息。僅使用前兩種的統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)，三種信息都使用的是貝葉斯(Bayes)統(tǒng)計(jì)。貝葉斯假設(shè)、貝葉斯公式、相應(yīng)的歸納推理方法構(gòu)成了貝葉斯原理。在非壽險(xiǎn)精算中，貝葉斯方法主要用于估計(jì)參數(shù)和修正損失分布、調(diào)整費(fèi)率、校正責(zé)任準(zhǔn)備金等。第2頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四一、貝葉斯方法的步驟X的分布類型 ，密度函數(shù)族為 貝葉斯方法與經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的基本區(qū)別：把參數(shù)看做隨機(jī)變量而不是普通變量。第3頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月

2、20日，5點(diǎn)16分，星期四（1）選擇先驗(yàn)分布設(shè) 的（邊緣）分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為 和 ，并稱為先驗(yàn)分布和先驗(yàn)密度，他反應(yīng)了評(píng)估者對(duì)參數(shù) 的情況有一個(gè)初步的看法或信念。（過(guò)去經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)或主觀判斷）第4頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（2）確定似然函數(shù)評(píng)估人針對(duì)損失變量X進(jìn)行一些試驗(yàn)或觀察，以獲的一些新的信息，假設(shè)所獲得的觀察值為x1, x2,., xn,則在 =0的假定下，可構(gòu)造似然函數(shù)，并記為第5頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（3）確定參數(shù) 的后驗(yàn)分布按照關(guān)于條件概率的貝葉斯公式，可以求得關(guān)于參數(shù) 的后驗(yàn)分布，利用觀察值x1, x2,., x

3、n之后的 的分布函數(shù) 和密度函數(shù) 。對(duì)于密度而言，有第6頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（4）選擇差異函數(shù)選擇一個(gè)適當(dāng)函數(shù)，如y=x2來(lái)刻畫參數(shù)的真實(shí)值與估計(jì)值之間差距的嚴(yán)重程度，“差異函數(shù)”，本質(zhì)上是評(píng)估人的“效用函數(shù)”第7頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（5）估計(jì)參數(shù)根據(jù)所選擇的差異函數(shù)和參數(shù)的后驗(yàn)分布，求使差異函數(shù)的期望值最小的 ，作為參數(shù) 的貝葉斯估計(jì)值。離散情況：概率分布密度函數(shù)變?yōu)楦怕史植?。?頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四二、先驗(yàn)分布的確定（一）數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法關(guān)于參數(shù) 取值情況的歷史數(shù)據(jù)或樣本信息，則可利用第

4、二章的方法，對(duì)參數(shù)在其取值范圍上的先驗(yàn)概率進(jìn)行估計(jì)。缺陷：要有足夠樣本信息。第9頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（二）主觀判斷法根據(jù)隨機(jī)事件的客觀條件或物理現(xiàn)象作出概率分布的判斷。如：古典概型，根據(jù)每一個(gè)基本事件的客觀物理?xiàng)l件，有理由推斷每一基本事件是等可能的。幾何概型，隨機(jī)事件的客觀條件愛(ài)你做出主觀判斷等。第10頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（三）貝葉斯假設(shè)應(yīng)用下述公式，須知道參數(shù)的先驗(yàn)分布，才能求出條件分布（后驗(yàn)分布）。貝葉斯假設(shè)： 參數(shù) 無(wú)任何信息時(shí)，在其允許范圍內(nèi)機(jī)會(huì)均等，認(rèn)為先驗(yàn)分布是它的取值域上的均勻分布。第11頁(yè)，共42頁(yè)，202

5、2年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（三）貝葉斯假設(shè)貝葉斯假設(shè)存在問(wèn)題：1.均勻分布的存在性問(wèn)題，參數(shù) 取值在一有限區(qū)間，均勻分布存在，反之不存在。（引入廣義密度函數(shù)）2.均勻假設(shè)分布假設(shè)很難與客觀實(shí)際相符，一般的，參數(shù)不一定服從均勻分布。（先驗(yàn)均勻，后驗(yàn)不一定均勻，但貝葉斯估計(jì)只需要后驗(yàn)分布）第12頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四三、后驗(yàn)分布的確定先驗(yàn)概率到后驗(yàn)概率直接利用貝葉斯公式第13頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四例，用X表示n重伯努利試驗(yàn)中的成功次數(shù)，設(shè)：每次成功的概率為p，即XB(n,p).由于不知道p的大小，將其視為隨機(jī)變量P并設(shè)其

6、先驗(yàn)分布服從參數(shù)為 的Beta分布，試求P的后驗(yàn)分布。解：由于pBeta( ),先驗(yàn)密度為又由于XB(n,p)，其似然函數(shù)為所以，正比式知P的后驗(yàn)密度可表示為由此看出，P的后驗(yàn)分布仍是Beta分布，即分布為Beta( )第14頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四五、差異函數(shù)與貝葉斯估計(jì)量損失分布的未知參數(shù) 的貝葉斯估計(jì)值記為 ，如何確定這個(gè)函數(shù)？貝葉斯估計(jì)法:度量 與 的差異程度記為 被看做隨機(jī)變量，不能直接求 的最小值，轉(zhuǎn)而求其期望最小的值，即求解：第15頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四由于差異函數(shù)反映了評(píng)估者的價(jià)值判斷，選擇什么樣的差異函數(shù)具有很

7、強(qiáng)主觀性。介紹三種最常用的差異函數(shù)及其貝葉斯估計(jì)結(jié)果。第16頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四差異函數(shù)D 的貝葉斯估計(jì)值二次差異函數(shù)后驗(yàn)分布的均值絕對(duì)差異函數(shù)后驗(yàn)分布的中位數(shù)示性差異函數(shù)后驗(yàn)分布的眾數(shù)第17頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四例 已知總體服從正態(tài)分布 ，其中 已知， 未知，假定 的先驗(yàn)分布為廣義分布 ，求參數(shù) 的三種常用差異函數(shù)的貝葉斯估計(jì)值。第18頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四解：查表得 的后驗(yàn)分布為 ，其中 為總體的m個(gè)樣本， 為樣本的均值。由于正態(tài)分布均勻值、中位數(shù)、眾數(shù)都相等（三位一體），所以參數(shù) 的三

8、種貝葉斯估計(jì)量都相同，即： 第19頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四（1）（2）（3）第20頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四貝葉斯估計(jì)提供了一種修正損失分布的方法，損失的總體分布基本上是根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法確定，但這個(gè)總體分布是否完全符合客觀實(shí)際，或是否適合變化了的新情況？貝葉斯方法就是利用新的樣本信息，對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行更有效的估計(jì)，從而得到更符合實(shí)際的損失分布。第21頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四第二節(jié) 損失變量的邊緣分布分布密度第22頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四一、損失變量的聯(lián)合分分布與條件分布1

9、.聯(lián)合分布2.條件分布第23頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四二、損失變量的邊緣分布若在具有兩個(gè)損機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布中只考慮其中一個(gè)損及變量X的分布狀況，而不管另一個(gè)隨機(jī)變量Y取什么值，或者說(shuō)Y的任何可能取值都已經(jīng)考慮了，這時(shí)稱只體現(xiàn)X的分布狀況為X的邊緣分布。第24頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四用全概率公式（連續(xù)）（離散）鉅母函數(shù)：求出相應(yīng)的邊緣分布第25頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四例、假設(shè)某種風(fēng)險(xiǎn)不一定同質(zhì)的眾多保單，在某一保單年度內(nèi)發(fā)生索賠的次數(shù)N是服從參數(shù) 的泊松分布，但參數(shù) 也是一個(gè)隨機(jī)變量，其（先驗(yàn)

10、）分布密度 是參數(shù)為 的伽瑪分布。求索賠次數(shù)N的邊緣分布。解一：由此看出，N的邊緣分布是參數(shù)為的負(fù)二項(xiàng)分布。第26頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四解二：用鉅母函數(shù)由此看出第27頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四此例說(shuō)明，當(dāng)損失次數(shù)或索賠次數(shù)的條件分布時(shí)泊松分布，其參數(shù)又服從伽瑪分布時(shí)，它的邊緣分布是負(fù)二項(xiàng)分布。特別的，當(dāng)參數(shù) 服從指數(shù)分布時(shí)，其邊緣分布是幾何分布。第28頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四例、設(shè)某種保險(xiǎn)標(biāo)的的單次損失量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，但參數(shù) 又服從參數(shù)為 的另一指數(shù)分布。求單次損失量X的邊緣分布。解：即

11、X的邊緣分布是參數(shù)1， 的帕拉圖分布第29頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四三、損失變量的條件分布與邊緣分布的某些結(jié)果單次損失量的邊緣分布與條件分布損失次數(shù)的邊緣分布與條件分布的結(jié)果。第30頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四 從損失量（單次損失量和損失次數(shù)）的條件分布求的它的邊緣分布的過(guò)程，實(shí)際上是對(duì)損失分布進(jìn)行修正的過(guò)程。注：1.損失變量的條件分布是由數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到。2.參數(shù)的分布，首先可有評(píng)估人的主觀選擇得到它的先驗(yàn)分布。然后，通過(guò)貝葉斯方法，利用新樣本信息得到它的后驗(yàn)分布。最后，把條件分布和參數(shù)的后驗(yàn)分布代入到全概率公式中，求出邊緣分布。第3

12、1頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四第三節(jié) 損失分布的Esscher變化如概率分布的尾部（損失量大的地方）與實(shí)際差別較大。某些標(biāo)志值有可能改變。如何修改使尾部符合實(shí)際？第32頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四一、Esscher變換方法X，F(xiàn)(x),M(t).對(duì)于一個(gè)實(shí)數(shù)h，作變換：稱 是F(x)具有參數(shù)h的Esscher變換。斯蒂吉斯積分對(duì)上式求微分，得第33頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四再由上式得 鉅母函數(shù)第34頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四例、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，求X的Essch

13、er變換 的分布。解：因?yàn)閄的鉅母函數(shù)為 ，代入（2）式，得 的鉅母函數(shù)為：即 是參數(shù)為 的泊松分布。注：h的值可調(diào)節(jié)分布密度（或分布律）尾部的厚度。(由（1）式)第35頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四另： 是h的遞增函數(shù)，由（2）式說(shuō)明h還可以調(diào)節(jié)原分布的均值。第36頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四性質(zhì)3 如果隨機(jī)變量X的期望、方差和偏度都存在，則第37頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四如果我們對(duì)損失分布F(x)=PX=x的某個(gè)特定值x0感興趣，或發(fā)現(xiàn)x0是實(shí)際損失分布的均值，則可運(yùn)用Esscher方法對(duì)原損失分布F(x)進(jìn)行修正。Esscher方法關(guān)鍵是選擇h，使得：第38頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四例、設(shè)某財(cái)險(xiǎn)標(biāo)的損失分布，通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法擬合出它服從參數(shù) =0.4的指數(shù)分布，但在后來(lái)的實(shí)務(wù)中，發(fā)現(xiàn)這種風(fēng)險(xiǎn)同質(zhì)的財(cái)險(xiǎn)標(biāo)的發(fā)生的平均損失量都集中在數(shù)值4這個(gè)位置，與原擬合的損失分布的均值2.5有較大差別。試用Esscher變換修正原擬合損失分布。第39頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，5點(diǎn)16分，星期四解：根據(jù) 式選擇變換參數(shù)h，滿足解得h=0.15，再由（1）式的原損失分布的Esscher變換后的分布密度函數(shù)為：即修正后的損失分布