高等普通物理學(xué)第三章課件

1、高等普通物理學(xué)第三章高等普通物理學(xué)第三章3.1 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動一.剛體（rigid body）1.定義：在任何條件下大小和形狀都不發(fā)生變化的物體稱為剛體。3.特點(diǎn)：剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不因外力而改變。2.說明：剛體與質(zhì)點(diǎn)、理想氣體、點(diǎn)電荷等一樣是理想模型，真正的剛體是不存在的。但一些實(shí)際物體在受力不太大時(shí)，可近似看作剛體，Eg：固體。23.1 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動一.剛體（rigid 二.剛體的平動1.定義：剛體內(nèi)任一給定直線，在運(yùn)動過程中其方向始終不變的運(yùn)動稱為平動。Eg:電梯。2.特點(diǎn)：平動時(shí)，剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動就代表了整個(gè)剛體的運(yùn)動。AB思考：火車轉(zhuǎn)彎是不是平動？3

2、二.剛體的平動1.定義：剛體內(nèi)任一給定直線，在運(yùn)動過程中其方1.定義：剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動。1.定義：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)：1）剛體上各質(zhì)點(diǎn)都作圓運(yùn)動，圓運(yùn)動的園平面與軸線垂直。2）剛體上各點(diǎn)做圓運(yùn)動的半徑在相等的時(shí)間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，、相等且為標(biāo)量。* 轉(zhuǎn)軸不一定是固定的；Eg：車輪在地面上的滾動。* 剛體的一般運(yùn)動都可看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加。2.轉(zhuǎn)軸：該直線稱為轉(zhuǎn)軸 四.剛體的定軸轉(zhuǎn)動三.剛體的轉(zhuǎn)動41.定義：剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動。1.定義：轉(zhuǎn)軸3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述（3）角速度：定軸轉(zhuǎn)動是一維的，所以在規(guī)定正方向后， 可用

3、標(biāo)量表示：（1）角位置：（2）角位移：方向沿轉(zhuǎn)軸，與 滿足右手螺旋關(guān)系53.剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述（3）角速度：定軸轉(zhuǎn)動是一維的，所以在（4）角加速度：4。線量與角量的關(guān)系：6（4）角加速度：4。線量與角量的關(guān)系：8與勻加速圓周運(yùn)動同7與勻加速圓周運(yùn)動同9補(bǔ)例半徑為30cm的飛輪從靜止開始以 0.5 弧度/S2的勻角加速度轉(zhuǎn)動，求飛輪邊緣一點(diǎn)在飛輪轉(zhuǎn)過 時(shí)的切向加速度和法向加速度。解：（1）（2）注意單位！8補(bǔ)例半徑為30cm的飛輪從靜止開始以 0.5 弧度/S2一.對固定軸的力矩方向：轉(zhuǎn)軸方向力矩的單位：牛頓米（N）一般不記做 J。 3.1.2 力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量力矩是決定剛體轉(zhuǎn)動

4、狀態(tài)變化快慢的物理量Z1.定義：大小：O9一.對固定軸的力矩方向：轉(zhuǎn)軸方向力矩的單位：牛頓米（N（3）當(dāng)幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上，對軸的合外力矩的大小就等于幾個(gè)力對該軸力矩的代數(shù)和；(4)當(dāng)力的作用線通過轉(zhuǎn)軸或力與轉(zhuǎn)軸平行時(shí)，力對該軸的力矩為零。(1)若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，只有對Z軸有力矩；是由轉(zhuǎn)軸指向力的作用點(diǎn)的矢徑；（2）2.討論：10（3）當(dāng)幾個(gè)外力同時(shí)作用在剛體上，對軸的合外(4)當(dāng)力的作用二.定軸轉(zhuǎn)動定律：由牛頓第二定律切向運(yùn)動方程為法向力對軸的力矩為零，因而對法向運(yùn)動不予討論。11二.定軸轉(zhuǎn)動定律：由牛頓第二定律切向運(yùn)動方程為法向力對軸的力將上式兩端乘以，得對剛體的全部質(zhì)點(diǎn)，有：轉(zhuǎn)動

5、慣量剛體在合外力矩MZ的作用下，所獲得的角加速度與合外力矩的大小成正比，并與對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比轉(zhuǎn)動定律（與牛頓第二定律相類比）要重點(diǎn)掌握！12將上式兩端乘以，得對剛體的全部質(zhì)點(diǎn)，有：轉(zhuǎn)動慣量剛體在合三.轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量* J的大小取決于轉(zhuǎn)軸的位置、剛體的形狀、質(zhì)量和質(zhì)量的分布；* J具有可加性。定義：質(zhì)量連續(xù)分布時(shí)： 到轉(zhuǎn)軸的距離到轉(zhuǎn)軸的距離13三.轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量* J的剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量JC加上兩軸間距離的平方與剛體質(zhì)量的乘積。四。平行軸定理14剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

6、等于剛體對通過質(zhì)心并與該四。平行軸定AB解：o例試計(jì)算質(zhì)量均勻分布的細(xì)棒（ ，）對與棒垂直的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。15AB解：o例試計(jì)算質(zhì)量均勻分布的細(xì)棒（ ，）對 同理，可算出對過棒端與棒垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量為有：滿足平行軸定理。AB16 同理，可算出對過棒端與棒垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量為有：滿足平行軸定例求質(zhì)量為 m ，半徑為 R 的均勻圓環(huán)過垂直于環(huán)面的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：17例求質(zhì)量為 m ，半徑為 R 的解：19補(bǔ)例試計(jì)算質(zhì)量均勻分布的薄圓盤的垂直于盤面的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤質(zhì)量為，半徑為R。解： 18補(bǔ)例試計(jì)算質(zhì)量均勻分布的薄圓盤的垂直于盤面解： 補(bǔ)例質(zhì)量為 M ，半徑為 R 的空心球殼，求

7、對直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：取面元如圖：R19補(bǔ)例質(zhì)量為 M ，半徑為 R 的空心解：取面元如圖：R2補(bǔ)例在質(zhì)量為 M ，半徑為 R 的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為 r 的兩個(gè)圓孔，圓孔中心在半徑 R 的中點(diǎn)，求剩余部分對通過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。解：用填補(bǔ)法。20補(bǔ)例在質(zhì)量為 M ，半徑為 R 的解：用填補(bǔ)法。22解：（）當(dāng)=(1/3)0時(shí)補(bǔ)例飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，時(shí)角速度0，此后飛輪經(jīng)歷制動過程。阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為K（K0）。當(dāng)=(1/3)0時(shí)，求（1）飛輪的角加速度；（2）制動所經(jīng)歷的時(shí)間；（3）飛輪轉(zhuǎn)過的角度。由題意（2）21解：（）當(dāng)=(1/3)0時(shí)補(bǔ)

8、例飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，（3）分離變量積分得：22（3）分離變量積分得：24補(bǔ)例滑輪質(zhì)量為 M ，半徑為 R 由一繩連接起來，求繩的張力。解：設(shè)繩中張力如圖，對角量線量關(guān)系：23補(bǔ)例滑輪質(zhì)量為 M ，半徑為 R 解：設(shè)繩中張力如圖，對補(bǔ)例在傾角為的斜面頂端固定一滑輪，用一根繩子纏繞數(shù)圈后引出與M連接，M與斜面摩擦系數(shù)為（如圖），設(shè)滑輪質(zhì)量為，半徑為R，軸處無摩擦。試分析M作加速運(yùn)動的條件。解:由牛頓第二定律N、g 對轉(zhuǎn)軸的力矩為零由轉(zhuǎn)軸定律平動與轉(zhuǎn)動的關(guān)系通過線量與角量聯(lián)系起來：四個(gè)未知量24補(bǔ)例在傾角為的斜面頂端固定一滑輪，用一根繩子纏繞數(shù)圈后條件：25條件：27補(bǔ)例一輕繩繞過固定在一起的兩個(gè)

9、同軸圓柱形剛體，圓柱體可繞OO軸，兩圓柱體半徑分別為R1 、R2 （R1），質(zhì)量分別為M1 、M2，繩下連接1 、，求剛體轉(zhuǎn)動時(shí)的角加速度。解：隔離體受力分析如圖設(shè)2向下運(yùn)動，則1向上運(yùn)動，由轉(zhuǎn)動定律:OOm1m2由牛頓第二定律：平動與轉(zhuǎn)動的聯(lián)系:T1m1gT2m2gN(M1+M2)gT2T126補(bǔ)例一輕繩繞過固定在一起的兩個(gè)同軸圓柱形剛體，圓柱體可繞討論：）當(dāng)2R2 1R1時(shí)，0，則表明圓柱體實(shí)際轉(zhuǎn)動方向與所設(shè)方向相反，即2上升，而1下降。）當(dāng)2R2 1R1時(shí)，0，此時(shí)圓柱體不轉(zhuǎn)動或勻速轉(zhuǎn)動，2、1不運(yùn)動或勻速直線運(yùn)動。27討論：）當(dāng)2R2 1R1時(shí)，0，則表明圓柱體實(shí)際補(bǔ)例半徑為 R 的勻

10、質(zhì)圓盤，放在水平桌面上，繞通過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動，已知盤與桌面的摩擦系數(shù)為 ，開始時(shí)角速度為 ，問經(jīng)多長時(shí)間圓盤停止轉(zhuǎn)動？解：取順時(shí)針方向?yàn)檎∶娣e元如圖，28補(bǔ)例半徑為 R 的勻質(zhì)圓盤，放在解：取順時(shí)針方向?yàn)檎?，取為常?9為常量31 3.3 剛體的平面運(yùn)動一. 力矩的功外力的元功：外力作的總功為：若作用在剛體上有幾個(gè)外力（均考慮在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量），則MZ指的是它們對轉(zhuǎn)軸的合外力矩。（重點(diǎn)公式！）30 3.3 剛體的平面運(yùn)動一. 力矩的功外力的二. 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1.剛體的轉(zhuǎn)動動能任一質(zhì)元的動能為整個(gè)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能為轉(zhuǎn)動動能重點(diǎn)公式31二. 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1.剛體的轉(zhuǎn)動動能任

11、一質(zhì)元的動能2.轉(zhuǎn)動動能定理（1）定理內(nèi)容：剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，合外力矩對剛體所作的總功等于剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動動能的增量。阻力矩和摩擦力矩將使剛體的轉(zhuǎn)動動能減小（2）推導(dǎo)：（重點(diǎn)公式?。?22.轉(zhuǎn)動動能定理（1）定理內(nèi)容：剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，合外力矩對1. 剛體的重力勢能對剛體地球系統(tǒng)，剛體的重力勢能為剛體中每一質(zhì)元與地球系統(tǒng)的重力勢能之和，即 由質(zhì)心的定義，剛體質(zhì)心的高度應(yīng)為：故剛體的重力勢能：* 僅在剛體不太大時(shí)成立（重點(diǎn)公式！）三.機(jī)械能守恒定律331. 剛體的重力勢能對剛體地球系統(tǒng)，剛體的重力勢能為剛體2.定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能3.機(jī)械能守恒定律當(dāng)外力和非保守內(nèi)力作功的和為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

12、（J為繞軸的轉(zhuǎn)動慣量）342.定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能3.機(jī)械能守恒定律當(dāng)外力和非保守內(nèi)力作功解：方法（一）用轉(zhuǎn)動動能定理重力矩的元功：從水平位置到豎直位置由轉(zhuǎn)動動能定理：補(bǔ)例均勻的細(xì)棒（， ）可繞光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動（如圖），棒從水平位置開始自由下擺，求擺到豎直位置時(shí)端點(diǎn)A的速度。35解：方法（一）用轉(zhuǎn)動動能定理重力矩的元功：從水平位置到豎直位方法（二）機(jī)械能守恒取質(zhì)心最低時(shí)的位置為重力勢能零點(diǎn)水平位置豎直位置得：36方法（二）機(jī)械能守恒取質(zhì)心最低時(shí)的位置為重力勢能零點(diǎn)水平位置解：方法一：機(jī)械能守恒。取初始位置為重力勢能零點(diǎn)，有：繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量補(bǔ)例一均勻細(xì)棒（ ，m），可繞過其一端的光滑軸轉(zhuǎn)動

13、，開始時(shí)棒靜止于水平位置，求其下擺角為 時(shí)的角速度。37解：方法一：機(jī)械能守恒。取初始位置為重力勢能零點(diǎn)，有：繞轉(zhuǎn)軸方法二：用轉(zhuǎn)動動能定理。力矩：力矩的功：轉(zhuǎn)動動能定理：38方法二：用轉(zhuǎn)動動能定理。力矩：力矩的功：轉(zhuǎn)動動能定理：40方法三：轉(zhuǎn)動定律。分離變量：39方法三：轉(zhuǎn)動定律。分離變量：41補(bǔ)例均勻細(xì)棒長 L，質(zhì)量為 m，可繞水平軸 O轉(zhuǎn)動，將其由水平位置由靜止釋放。求（1）到達(dá)豎直位置時(shí)的角速度；（2）此過程重力作的功。解：（1）取O處為重力勢能零點(diǎn)，機(jī)械能守恒：40補(bǔ)例均勻細(xì)棒長 L，質(zhì)量為解：（1）取O處為重力勢能零點(diǎn)（2）重力作功等于勢能增量的負(fù)值41（2）重力作功等于勢能增量的負(fù)

14、值43補(bǔ)例滑輪的轉(zhuǎn)動慣量 J=0.5kg.m2 ，半徑r=30cm ，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) k=2.0N/m ，m=2.0kg，滑輪、重物系統(tǒng)由靜止開始啟動，開始時(shí)彈簧沒有伸長，忽略摩擦，（1）物體沿斜面能滑行多遠(yuǎn)？（2）當(dāng)物體沿斜面滑下1.00m時(shí)，它的速率有多大？解：（1）取坐標(biāo)如圖，設(shè)初始位置為重力勢能零點(diǎn)重物、滑輪、彈簧、地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒42補(bǔ)例解：（1）取坐標(biāo)如圖，設(shè)初始位置為重力勢能零點(diǎn)重物、（2）機(jī)械能守恒43（2）機(jī)械能守恒45一.剛體繞固定軸的角動量 以下討論以繞固定軸OZ轉(zhuǎn)動的均勻細(xì)棒。（如圖）3.4 剛體的角動量定理 角動量守恒定律質(zhì)元對O點(diǎn)的角動量為：44一.剛體繞固定軸的

15、角動量 以下討論以繞固定軸OZ轉(zhuǎn)動的LZ J 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量LZ等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積（重點(diǎn)公式?。?5LZ J 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量LZ等于剛體對該軸二.定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1.角動量定理的微分形式剛體所受到的對某定軸的合外力矩等于剛體對該軸的角動量的時(shí)間變化率。角動量定理也適用于：1）非剛體 2）由幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)轉(zhuǎn)動定律又可改寫為角動量定理比轉(zhuǎn)動定律適用范圍更廣46二.定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1.角動量定理的微分形式剛體所受到的2.角動量定理的積分形式：作用在定軸轉(zhuǎn)動的物體上的沖量矩等于物體對該軸角動量的增量（與動量定理相類比）472.角動量定理的積分形式：作

16、用在定軸轉(zhuǎn)動的物體上的沖量矩等于三.角動量守恒定律物體或物體系所受到對給定軸的合外力矩為零時(shí)，則對該軸的角動量將保持不變，即對固定軸的角動量守恒定律若系統(tǒng)由多個(gè)物體組成，則48三.角動量守恒定律物體或物體系所受到對給定軸的合外力矩為零時(shí)（1）懸在常平架上的回轉(zhuǎn)儀用于輪船導(dǎo)航、控制導(dǎo)彈飛行。49（1）懸在常平架上的回轉(zhuǎn)儀用于輪船導(dǎo)航、51（2）人站在轉(zhuǎn)臺上的角動量守恒演示50（2）人站在轉(zhuǎn)臺上的角動量守恒演示52（3）芭蕾舞、花樣溜冰、體操、跳水等51（3）芭蕾舞、花樣溜冰、體操、跳水等53 補(bǔ)例均勻細(xì)棒可在豎直平面繞過中心的水平軸轉(zhuǎn)動。小球以速度u與水平放置的棒端發(fā)生完全彈性碰撞（如圖）求：碰

17、后，小球回跳速度及棒的角速度。解：方法（一）對球用動量定理，設(shè)回跳速度為對棒用角動量定理 ，設(shè)角速度為（1）52 補(bǔ)例均勻細(xì)棒可在豎直平面繞過中心的水平軸轉(zhuǎn)動。小球又系統(tǒng)（棒球）機(jī)械能守恒方法（二）角動量守恒：再利用機(jī)械能守恒（2）得：53又系統(tǒng)（棒球）機(jī)械能守恒方法（二）角動量守恒：再利用機(jī)械能補(bǔ)例電風(fēng)扇開啟后經(jīng)時(shí)間達(dá)到額定轉(zhuǎn)速（0），當(dāng)關(guān)閉電源后經(jīng)時(shí)間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)。已知電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量為J，假定摩擦阻力矩M與電機(jī)的電磁力矩M均為常量。試推算電機(jī)的電磁力矩大小。解：根據(jù)角動量定理：開啟時(shí)，關(guān)機(jī)時(shí)，聯(lián)立得，54補(bǔ)例電風(fēng)扇開啟后經(jīng)時(shí)間達(dá)到額定轉(zhuǎn)速（0），當(dāng)關(guān)閉電補(bǔ)例一質(zhì)量為M邊長為 L 的勻質(zhì)方形

18、薄板，鉛直放置，可繞其一固定邊自由轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為 m ，速度為 v 的垂直于板面撞在板的邊緣上，碰撞是彈性的，問碰撞后板和小球怎樣運(yùn)動？解：球、板系統(tǒng)繞固定軸的角動量守恒，機(jī)械能守恒。（1）（2）55補(bǔ)例一質(zhì)量為M邊長為 L 的勻質(zhì)方形薄解：球、板系統(tǒng)繞固（3）解得： V1與V符號相同，小球按原方向運(yùn)動，小球運(yùn)動方向反向，板作轉(zhuǎn)動。56（3）解得： V1與V符號相同，58補(bǔ)例長為 l 、質(zhì)量為 M的均勻桿，可繞通過桿一端O的水平光滑軸轉(zhuǎn)動，開始時(shí)桿鉛直下垂，一質(zhì)量為 m的子彈以水平速度 ，射入桿上 A點(diǎn)，并嵌于其中， ，求子彈射入瞬間桿的角速度。 ，解：子彈與桿系統(tǒng)對軸 O 的角動量守恒，57補(bǔ)例長為 l 、質(zhì)量為 M的均勻解：子彈與桿系統(tǒng)對軸 O補(bǔ)例一質(zhì)量為M、半徑為R的水平均勻圓盤，可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動，在盤的邊緣站著質(zhì)量為 m的人，開始時(shí)兩者相對于地面靜止，求當(dāng)人在盤上沿邊緣走過一周時(shí)，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度。解：人與圓盤組成的系統(tǒng)對于轉(zhuǎn)軸的角動量守恒：58補(bǔ)例一質(zhì)量為M、半徑為R的水平均勻圓盤，可解：人與圓盤組 3.5 進(jìn) 動1. 陀螺在繞自身對稱高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，在重力矩作用下，其對稱軸還將繞豎直軸OZ回轉(zhuǎn)，這種現(xiàn)象稱為進(jìn)動。59 3.5 進(jìn) 動1. 陀螺在繞自身回轉(zhuǎn)儀繞其自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的角動量為L0，當(dāng)平