等腰三角形性質(zhì)及判定

-PAGE.z.等腰三角形性質(zhì)及判定要點一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如下圖，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角〔或直角〕，但頂角可為鈍角〔或直角〕.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.要點二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱"等邊對等角〞〕．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合〔簡稱"三線合一〞〕．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高〔頂角平分線或底邊上的中線〕所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．要點三、等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，則這兩個角所對的邊也相等〔簡稱"等角對等邊〞〕.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉(zhuǎn)化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關度數(shù)的計算題例1、如圖，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度數(shù).

舉一反三：1.：如圖，D、E分別為AB、AC上的點，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度數(shù)．2.如圖，在△ABC中AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度數(shù).3.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E分別在AC、AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度數(shù)類型二、等腰三角形中的分類討論例2.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°舉一反三：1.等腰三角形有一個外角是100°，這個等腰三角形的底角是．2.等腰三角形的一個底角是70度，則它的頂角是＿＿＿＿＿＿3.等腰三角形的周長是10，腰長是4，則底邊為＿＿＿＿＿＿4.等腰三角形的一個底角是30度，則它的底角是＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形的周長是20cm，一邊長是8cm，則其它兩邊長為＿＿＿＿6.等腰三角形的周長為26㎝，一邊長為6㎝，則腰長為〔〕Ａ．6㎝ Ｂ．10㎝ Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝ 7等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是〔〕A．過頂點的直線 B．底邊的垂線[]C．頂角的平分線所在的直線 D．腰上的高所在的直線8、在等腰三角形中，有一個角為40°，求其余各角．9.一個等腰三角形的兩邊長a、b滿足方程組．〔1〕求a、b的值．〔2〕求這個等腰三角形的周長．10假設*，y滿足|*﹣3|+=0，則以*，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長為〔〕 A．12 B． 14 C． 15 D． 12或15類型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應用例3、：如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，∠BAD＝∠FCD．求證：〔1〕△ABD≌△CFD；〔2〕BE⊥AC．舉一反三：2如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．1.如下圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點，CE⊥BD．(1)求證：BE＝AD；(2)求證：AC是線段ED的垂直平分線；(3)△DBC是等腰三角形嗎"并說明理由．3.如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．構造等腰三角形解題的輔助線常用做法等腰三角形是一種特殊的三角形，常與全等三角形的相關知識結(jié)合在一起考察。在許多幾何問題中，通常需要構造等腰三角形才能使問題獲解。則如何構造等腰三角形呢？一般有以下四種方法：〔1〕依據(jù)平行線構造等腰三角形；〔2〕依據(jù)倍角關系構造等腰三角形；〔3〕依據(jù)角平分線+垂線構造等腰三角形；〔4〕依據(jù)120°角或60°角，常補形構造等邊三角形。1、依據(jù)平行線構造等腰三角形例1：如圖?！鰽BC中，AB=AB，E為AB上一點，F(xiàn)為AC延長線上一點，且BE=CF，EF交BC于D，求證DE=DF.2、依據(jù)倍角關系構造等腰三角形例2：如圖。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分線求證：AB+BD=AB3、依據(jù)角平分線+垂線，構造等腰三角形例3，如圖。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延長線于D，求證：BF=2CD4、依據(jù)60°角或120°角，常補形構造等邊三角形例4,、如圖。∠BAD=120°BD=DCAB+AD=AC求證：AC平分∠BAD4、如圖，AC＝BC，∠AC