2022-2023學(xué)年湖南省岳陽市岳陽縣第一中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2023屆高三年級上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)一單選題（每小題5分，共40分.）1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 2. 歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）A. B. 1C. D. 23. 已知，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C 充要條件D. 既不充分也不必要條件4. 第32屆奧運(yùn)會男子舉重73公斤級決賽中，石智勇以抓舉166公斤，挺舉198公斤，總成績364公斤的成績，為中國舉重隊(duì)再添一金，創(chuàng)造新的世界紀(jì)錄.根據(jù)組別劃分的最大體重以及舉重成績來看，舉重的總質(zhì)量與運(yùn)動員

2、的體重有一定的關(guān)系，如圖為某體育賽事舉重質(zhì)量與運(yùn)動員體重之間關(guān)系的折線圖，下面模型中，最能刻畫運(yùn)動員體重和舉重質(zhì)量之間的關(guān)系的是（ ）A. （）B. （）C. （）D. （，且）5. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 6. 過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，那么|AB|（ ）A. 6B. 8C. 9D. 107. 已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函數(shù),則方程根個(gè)數(shù)為A. 3B. 5C. 7D. 9二多選題（部分答對2分，全對5分，共20分.）9. 下列命題

3、中正確的是（ ）A. 若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)B. 如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交C. 若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線平行或異面D. 若平面平面，直線，直線，則10. 已知函數(shù)yAsin(x)(A0，0，|)的部分圖象如圖，將該函數(shù)的圖象向x軸負(fù)方向平移個(gè)單位，再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)f(x)的圖象.下列結(jié)論正確的是（ ）A. 當(dāng)x時(shí)，f(x)的取值范圍是1，2B. f()C. 曲線yf(x)對稱軸是xk(kZ)D. 若|x1x2|，則|f(x1)f(x2)|0，0，|)的部分圖象如圖，將該函數(shù)的圖象

4、向x軸負(fù)方向平移個(gè)單位，再把所得曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)f(x)的圖象.下列結(jié)論正確的是（ ）A. 當(dāng)x時(shí)，f(x)的取值范圍是1，2B. f()C. 曲線yf(x)的對稱軸是xk(kZ)D. 若|x1x2|，則|f(x1)f(x2)|4【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，對于選項(xiàng)A, 的取值范圍是，A正確；對于選項(xiàng)B，計(jì)算得，B錯誤；對于選項(xiàng)C，函數(shù)的對稱軸是，C錯誤對于選項(xiàng)D，函數(shù)的最小正周期為，D正確【詳解】由圖可知，由于，函數(shù)的解析式是根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，A正確；，B錯誤；函數(shù)的對稱軸是，C錯誤的最小正周期為，D正確故選：AD11. 若

5、定義域?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論中成立的是（ ）A. B. C. ，D. ，【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，若定義在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，則有，則有，設(shè)，則，則在上為增函數(shù)，依次分析選項(xiàng)：對于，則，即，則有，符合題意；對于，則，即，即有，符合題意；對于，在上為增函數(shù)，且，則有，則，又由，則，符合題意；對于，當(dāng)，有，此時(shí)有，即，變形可得，又由，則，則恒成立，不符合題意；故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，注意構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性1

6、2. “內(nèi)卷”是指一類文化模式達(dá)到最終的形態(tài)以后，既沒有辦法穩(wěn)定下來，也沒有辦法轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài)，而只能不斷地在內(nèi)部變得更加復(fù)雜的現(xiàn)象，熱愛數(shù)學(xué)的小明由此想到了數(shù)學(xué)中的螺旋線連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，具體作法是：在邊長為1的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得BEF=15；再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ，且使得FMN=15；依次進(jìn)行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為（其中第1個(gè)正方形ABCD的邊長為，第2個(gè)正方形EFGH的邊長為，），第n個(gè)直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個(gè)直角三角形AEH的面積為，第2個(gè)直角

7、三角形EQM的面積為，），則（ ）A. 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列B. C. 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列D. 數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】BD【解析】【分析】應(yīng)用勾股定理、三角函數(shù)得到此過程中前后兩個(gè)正方形的邊長關(guān)系，即可知A、C正誤，并寫出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求通項(xiàng)公式，即知B、D正誤.【詳解】由題設(shè)，若，則，即，即，故，B正確；，以此類推可得， 是公比為的等比數(shù)列且，A、C錯誤；由圖知：，而，故，D正確.故選：BD三填空題（每小題5分，共15分.）13. 將名北京冬奧會志愿者全部分配到花樣滑冰、短道速滑個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到一個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配一名志愿者，則甲、乙兩名志愿者分配在一起的概率

8、為_.【答案】【解析】【分析】結(jié)合已知條件分別求出基本事件總數(shù)和甲乙兩名志愿者分配在一起的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】由題意可知，基本事件總數(shù)為，甲、乙兩名志愿者分配在一起的基本事件數(shù)為2，(即甲乙都分配到花樣滑冰或短道速滑)故由古典概型的概率公式可知，所求概率為.故答案為：.14. 圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是_【答案】【解析】【分析】假設(shè)圓心坐標(biāo)，利用切點(diǎn)可構(gòu)造方程求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定半徑，由此得到圓的方程.【詳解】設(shè)所求圓的圓心為，則圓心與連線與直線垂直，解得：，圓心為，半徑，所求圓的方程為：.故答案為：.15. 若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)

9、數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意，求導(dǎo)f（x）x2+2xx（x+2）確定函數(shù)的單調(diào)性，從而作出函數(shù)的簡圖，由圖象求實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】由題意，f（x）x2+2xx（x+2），故f（x）在（，2），（0，+）上是增函數(shù)，在（2，0）上是減函數(shù)，作其圖象如圖，令x3+x2得，x0或x3；則結(jié)合圖象可知，；解得，a3，0）；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及學(xué)生作圖識圖的能力，屬于中檔題16. 圓的方程為，圓的方程為，過圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)，可得出，利用三角函數(shù)的定義以及平面向量數(shù)量積的定義可得出，利用圓的幾何

10、性質(zhì)求得的取值范圍，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最小值.【詳解】設(shè)，則，由切線長定理可得，圓心的坐標(biāo)為，則，由圖可得，即，則，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的最值，同時(shí)也考查了雙勾函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.四解答題17. 在中，是角，所對的邊，有三個(gè)條件：；，現(xiàn)從上面三個(gè)條件中選擇兩個(gè)條件，使得三角形存在.（1）兩個(gè)條件中能有嗎？說明理由；（2）請指出這兩個(gè)條件，并求的面積.【答案】（1）不能有，理由見解析；（2）只能選擇和，.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理由，可得，解得，若條件中有，可得，

11、則與矛盾；（2）只能選擇和，由余弦定理得，由，可得，即可得解.【詳解】（1） ，由正弦定理得.，.，.假設(shè)兩個(gè)條件中有，則會推出矛盾.過程如下：，此時(shí)，.（2）只能選擇和.由余弦定理得，即，而，此時(shí)，解得或，所以存在，.18. 已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）方法一【最優(yōu)解】：顯然為偶數(shù)，則，所以，即，且，所以是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是方法二

12、：奇偶分類討論由題意知，所以由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)差為2所以，則方法三：累加法由題意知數(shù)列滿足所以，則所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）方法一：奇偶分類討論方法二：分組求和由題意知數(shù)列滿足，所以所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列從而數(shù)列的前20項(xiàng)和為：【整體點(diǎn)評】(1)方法一：由題意討論的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)

13、公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯的選擇.19. 在四棱錐中，底面是正方形，若（1）證明：平面平面；（2）求二面角平面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，則，而，故.在正方形中，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)?/p>

14、平面，故平面平面.（2）在平面內(nèi)，過作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.20. 某商場舉行促銷活動，有兩個(gè)摸獎箱，箱內(nèi)有一個(gè)“”號球，兩個(gè)“”號球，三個(gè)“”號球、四個(gè)無號球，箱內(nèi)有五個(gè)“”號球，五個(gè)“”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“”號球獎元，“”號球獎元，“”號球獎元，摸得無號球則沒有獎金（1）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請估計(jì)消費(fèi)額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎的人數(shù).

15、（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，求其中中獎人數(shù)的分布列.（3）某顧客消費(fèi)額為元，有兩種摸獎方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎機(jī)會；方法二：一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會.請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.【答案】(1) 中獎的人數(shù)約為人. (2)分布列見解析.(3) 這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大.【解析】【詳解】分析：（1）依題意得，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，中獎率為，人數(shù)約，可得其中中獎的人數(shù)；（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中獎率都為，三人中中獎人數(shù)服從二項(xiàng)分布，從而可得分布列；（3）利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式算出兩種方法所得獎金的期望

16、值即可得出結(jié)論.詳解：（1）依題意得，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，中獎率為人數(shù)約人其中中獎的人數(shù)約為人（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中獎率都為，三人中中獎人數(shù)服從二項(xiàng)分布，故的分布列為（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得獎金的期望為箱摸一次所得獎金的期望為方法一所得獎金的期望值為，方法二所得獎金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨(dú)立事件

17、的概率公式以及對立事件的概率公式等），求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；“求期望”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望對于某些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項(xiàng)分布），則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度21. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)|時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值；（2）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)

18、，對參數(shù)分情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合單調(diào)性求得函數(shù)的極值；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)性得出不可能，故當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性分情況討論列出不等式組求得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意知，所以當(dāng)時(shí)，所以在上遞減，無極值；當(dāng)時(shí)，令，所以在上遞減，上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值，無極大值，綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，若，即，則在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，也不符合題意；若，即，則在上單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，也不符合題意；若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則或綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為22. 已知A，B分別為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上的一點(diǎn)，PF恰好垂直平分線段OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），.（1）求橢圓C的方程；（2）過F的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q滿足（Q，M，N三點(diǎn)不共線），求四邊形OMQN面積的取值范圍.【答案】（1） （2）（0，3【解析】【分析】（1）根據(jù)PF平分O