計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第四章 非線(xiàn)性模型

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 第四章 非線(xiàn)性模型第1頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三1 在實(shí)際分析過(guò)程中經(jīng)常研究?jī)深?lèi)非線(xiàn)性模型;1.被解釋變量與解釋變量之間非線(xiàn)性，而被解釋變量和參數(shù)仍為線(xiàn)性關(guān)系；如2.被解釋變量和解釋變量之間非線(xiàn)性，而被解釋變量和參數(shù)之間也是非線(xiàn)性關(guān)系如柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)第2頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三2 對(duì)非線(xiàn)性回歸模型，可以用一定的方法把它們轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性模型，然后利用線(xiàn)性回歸的理論和方法來(lái)進(jìn)一步研究模型的性質(zhì)。對(duì)非線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行線(xiàn)性化處理主要有三種方法：直接代換法、間接代換法和泰勒級(jí)數(shù)法。前兩種方法主要針對(duì)可以線(xiàn)性化的模型，而泰勒級(jí)數(shù)法主要

2、針對(duì)不能線(xiàn)性化的模型。我們主要介紹直接代換法和間接代換法。第3頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三34.1 直接代換法 適用范圍：被解釋變量和解釋變量非線(xiàn)性，被解釋變量與參數(shù)線(xiàn)性的非線(xiàn)性模型。下面介紹在研究現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中常見(jiàn)的這類(lèi)非線(xiàn)性模型：多項(xiàng)式模型、雙曲線(xiàn)模型和對(duì)數(shù)模型。第4頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三44.1.1 多項(xiàng)式模型多項(xiàng)式模型的一般形式：轉(zhuǎn)換過(guò)程：則原多項(xiàng)式模型轉(zhuǎn)換為我們就可以用多元線(xiàn)性回歸的方法來(lái)分析轉(zhuǎn)換后的線(xiàn)性模型。第5頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三5例4.1 產(chǎn)品總成本模型已知某行業(yè)中10家企業(yè)的總產(chǎn)量X和

3、總成本的有關(guān)資料：總成本Y(萬(wàn)元)總產(chǎn)量X(萬(wàn)噸)19.31022.620243024.44025.750266027.47029.780359042100繪制總成本和總產(chǎn)量的散點(diǎn)圖，可以看出它們呈現(xiàn)曲線(xiàn)變化趨勢(shì)第6頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三6 根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本的U曲線(xiàn)理論，用產(chǎn)量X的三次多項(xiàng)式來(lái)近似表示總成本函數(shù)則原模型轉(zhuǎn)換為 利用已知的數(shù)據(jù)，對(duì)上面的三元線(xiàn)性回歸模型進(jìn)行估計(jì)，可得到下面的結(jié)果第7頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三7或(13.2837)(-13.1501)(15.8968)第8頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分

4、，星期三84.1.2 雙曲線(xiàn)模型一般形式：轉(zhuǎn)換：則模型轉(zhuǎn)換為一元線(xiàn)性回歸模型第9頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三9雙曲線(xiàn)模型的特點(diǎn)：隨著自變量增大，因變量逐漸接近其漸近線(xiàn)即第10頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三10因變量逐漸減小，向下接近其漸近線(xiàn)XY第11頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三11例4.2 銷(xiāo)售額與流通費(fèi)用率的關(guān)系已知某地區(qū)百貨公司銷(xiāo)售額X與流通費(fèi)用率Y之間的數(shù)據(jù)銷(xiāo)售額X(萬(wàn)元)流通費(fèi)用率Y(%)1.574.54.87.53.610.23.115.52.716.52.519.52.422.52.325.52.2第12頁(yè)

5、，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三12觀(guān)察商品流通費(fèi)用率和銷(xiāo)售額的散點(diǎn)圖，明顯發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)非線(xiàn)性變化趨勢(shì)，可以采用雙曲線(xiàn)模型，利用表中數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，有下面結(jié)果：(10.1313)第13頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三13因變量逐漸增大，向上接近其漸近線(xiàn)XY第14頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三14 已知某病毒感染率和時(shí)間變化相關(guān)的數(shù)據(jù)如下ty10.1220.0730.1640.1150.2160.2170.2580.390.39100.33110.3120.34130.49140.35150.56160.62170.54180.58

6、190.57第15頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三15觀(guān)察病毒感染率和時(shí)間變化的散點(diǎn)圖，明顯發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)非線(xiàn)性變化趨勢(shì)，可以采用雙曲線(xiàn)模型，利用表中數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，有下面結(jié)果：(-3.475)第16頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三16因變量逐漸減小，向下接近其漸近線(xiàn)XY曲線(xiàn)與橫坐標(biāo)有交點(diǎn)交點(diǎn)左側(cè)曲線(xiàn)斜率系數(shù)大于交點(diǎn)右側(cè)曲線(xiàn)的斜率系數(shù)第17頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三17年份通貨膨脹率Y(%)失業(yè)率X(%)19860.62.819870.12.819880.72.519892.32.319903.12.119913.32.119

7、921.62.219931.32.519940.72.91995-0.13.2例4.4 菲利普斯曲線(xiàn)已知某地區(qū)通貨膨脹率和失業(yè)率的數(shù)據(jù)第18頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三18 使用雙曲線(xiàn)函數(shù)，利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，有下面結(jié)果(6.8799)第19頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三194.1.3 對(duì)數(shù)模型1.線(xiàn)性對(duì)數(shù)模型轉(zhuǎn)換：則注意斜率系數(shù)斜率系數(shù)表明了自變量X的相對(duì)變化引起因變量的絕對(duì)變化第20頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三20在研究宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)貨幣供給與國(guó)民生產(chǎn)總值的關(guān)系非常感興趣，他們經(jīng)常使用線(xiàn)性對(duì)數(shù)模型來(lái)研

8、究貨幣供給和國(guó)民生產(chǎn)總值的關(guān)系年份國(guó)民生產(chǎn)總值Y貨幣供給X19881359.386119891472.8908.519901598.41023.219911782.81163.719921990.51286.719932249.7138919942508.21500.2199527231633.119963052.61795.519973166195419983405.72185.219993772.22363.620004014.92562.620014240.32807.720024526.72901第21頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三21利用表中數(shù)據(jù)，使用線(xiàn)性對(duì)數(shù)

9、模型，得到下面回歸結(jié)果(27.4856)表明貨幣供給增加一個(gè)百分點(diǎn)，國(guó)民生產(chǎn)總值平均增加2584.785億元第22頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三222.對(duì)數(shù)線(xiàn)性模型轉(zhuǎn)換：則斜率系數(shù)此時(shí)斜率系數(shù)表明了自變量X的絕對(duì)變化引起因變量的相對(duì)變化第23頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三23在宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家也經(jīng)常關(guān)注國(guó)民生產(chǎn)總值諸如此類(lèi)的經(jīng)濟(jì)變量隨時(shí)間變化增長(zhǎng)的問(wèn)題，他們經(jīng)常使用對(duì)數(shù)線(xiàn)性模型年份國(guó)民生產(chǎn)總值Y19881359.319891472.819901598.419911782.819921990.519932249.719942508.2199

10、5272319963052.61997316619983405.719993772.220004014.920014240.320024526.7第24頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三24利用表中數(shù)據(jù)，使用對(duì)數(shù)線(xiàn)性模型，得到下面回歸結(jié)果（35.6223）表明時(shí)間每增加一年，國(guó)民生產(chǎn)總值平均增加0.0888個(gè)百分點(diǎn)，也就是說(shuō)國(guó)民生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為0.0888%第25頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三253.雙對(duì)數(shù)模型轉(zhuǎn)換此時(shí)斜率系數(shù)表明了自變量X的相對(duì)變化引起因變量的相對(duì)變化第26頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三26在研究產(chǎn)品

11、的價(jià)格彈性和需求彈性時(shí)經(jīng)常使用雙對(duì)數(shù)模型咖啡消費(fèi)量Y(每日每人杯數(shù))咖啡價(jià)格X(每磅美元)2.570.772.50.742.350.722.30.732.250.762.20.752.111.081.941.811.971.392.061.22.021.17第27頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三27利用表中數(shù)據(jù)，使用雙對(duì)數(shù)線(xiàn)性模型，得到下面回歸結(jié)果(-5.1251)表明自變量即咖啡價(jià)格增加1%,因變量咖啡需求量平均減少約0.25，也即咖啡的價(jià)格彈性為0.25%第28頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三284.2 間接代換法以柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為例函數(shù)兩

12、端取對(duì)數(shù)，有則轉(zhuǎn)換為二元線(xiàn)性方程第29頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三29ykllny lnklnl3289.1800 2225.7000 3139.0000 8.0984 7.7078 8.0517 3581.2600 2376.3400 3208.0000 8.1835 7.7733 8.0734 3782.1700 2522.8100 3334.0000 8.2381 7.8331 8.1119 3877.8600 2700.9000 3488.0000 8.2630 7.9013 8.1571 4151.2500 2902.1900 3582.0000 8.331

13、2 7.9732 8.1837 4541.0500 3141.7600 3632.0000 8.4209 8.0525 8.1975 4946.1100 3350.9500 3669.0000 8.5064 8.1170 8.2077 5586.1400 3835.7900 3815.0000 8.6280 8.2521 8.2467 5931.3600 4302.2500 3955.0000 8.6880 8.3669 8.2827 6601.6000 4786.0500 4086.0000 8.7951 8.4735 8.3153 7434.0600 5251.9000 4229.0000

14、 8.9138 8.5663 8.3497 7721.0100 5808.7100 4273.0000 8.9517 8.6671 8.3601 7949.5500 6365.7900 4364.0000 8.9809 8.7587 8.3811 8634.8000 7071.3500 4472.0000 9.0636 8.8638 8.4056 9705.5200 7757.2500 4521.0000 9.1805 8.9564 8.4165 10261.6500 8628.7700 4498.0000 9.2362 9.0629 8.4114 10928.6600 9374.3400 4

15、545.0000 9.2991 9.1457 8.4218 第30頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三30利用課本P37頁(yè)數(shù)據(jù)，采用柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，得到下面回歸結(jié)果(2.2166)(9.3101)第31頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三31迭代法進(jìn)行非線(xiàn)性模型估計(jì)有些非線(xiàn)性模型沒(méi)有辦法通過(guò)直接變換或者間接轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性模型 ，此時(shí)可以采用高斯牛頓迭代法來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。（1）第32頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三32在一般情況下，NLS估計(jì)量是一致的，并漸近服從正態(tài)分布，但是一般不能從上面的公式中顯性求出參數(shù)估計(jì)值，只能從參數(shù)的

16、某一初始值 開(kāi)始，經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代，得到一個(gè)估計(jì)序列 ，此序列講收斂與NLS估計(jì)量 。高斯牛頓迭代公式為：（2）第33頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三33（3） 如果初始估計(jì)值是一致的，進(jìn)一步的迭代不會(huì)提高其漸近有效性，但在有限樣本情況下，將反復(fù)迭代直到其收斂為止。第34頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三34銷(xiāo)售額與廣告收入的模型已知某公司銷(xiāo)售額和廣告投入之間的數(shù)據(jù)，繪制它們的散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)它們之間呈現(xiàn)非線(xiàn)性變化趨勢(shì)。假設(shè)它們之間的函數(shù)可以用下式表達(dá)第35頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三35xy4.6912.236.4111.845

17、.4712.253.4311.14.3910.972.158.751.547.752.6710.51.246.711.777.64.4612.461.838.475.1512.275.2512.571.728.873.0411.154.9211.864.8511.073.1310.382.298.714.912.075.7512.743.619.824.6211.51第36頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三36設(shè)定待估參數(shù)的初始值在Eviews命令輸入?yún)^(qū)域依次輸入：Genr c(1)=13Genr c(2)=-6Genr c(3)=-1.33在 Equation Estimation對(duì)話(huà)框中的Specification文本框中鍵入：y=c(1)+c(2)*exp(c(3)*x)，點(diǎn)擊確定按鈕，輸出迭代法估計(jì)的非線(xiàn)性模型結(jié)果：第37頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，7點(diǎn)5分，星期三37從而可以寫(xiě)出方程表達(dá)式：第38頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5