2022-2023學年湖南省郴州市車頭中學高三數學理期末試題含解析

1、2022-2023學年湖南省郴州市車頭中學高三數學理期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 一個等比數列前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數列有（）A13項B12項C11項D10項參考答案：B【考點】等比數列的性質【分析】先設數列的通項公式為a1qn1，則前三項之積：a13q3=2，后三項之積：a13q3n6=4兩式相乘得即a12qn1=2，又根據所有項的積為64，進而求出n【解答】解析：設數列的通項公式為a1qn1則前三項分別為a1，a1q，a1q2，后三項分別為a1qn3，a1qn2

2、，a1qn1前三項之積：a13q3=2，后三項之積：a13q3n6=4兩式相乘得：a16q3（n1）=8，即a12qn1=2又a1?a1q?a1q2a1qn1=64，=64，即（a12qn1）n=642，2n=642，n=12故選B【點評】本題主要考查了等比數列的性質屬基礎題2. 九章算術是我國古代內容極為豐富的一部數學專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第九日所織尺數為（）A8B9C10D11參考答案：B【考點】等差數列的通項公式【分析】由題意可知，每日所織數量構成等差數列，再由已知求得a5，a4的值，進一步求得公差，代入等差

3、數列的通項公式求得第九日所織尺數【解答】解：由題意可知，每日所織數量構成等差數列，且a2+a5+a8=15，S7=28，設公差為d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，a5=5，由S7=28，得7a4=28，a4=4，則d=a5a4=1，a9=a5+4d=5+41=9故選：B3. （09年湖北鄂州5月模擬文）已知樣本：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，12，那么頻率為0.3的范圍是A5.57.5 B9.511.5 C11.513.5 D7.59.5參考答案：D4. 在等差數列an中，a3=5，a4+a8=22，則的前20項和

4、為（）ABCD參考答案：B【考點】等差數列的前n項和【分析】由已知列式求出等差數列的首項和公差，得到等差數列的通項公式，再由裂項相消法求得的前20項和【解答】解：在等差數列an中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11又a3=5，得d=，a1=a32d=54=1的前20項和為：=故選：B5. 當x0時，函數的最小值是（） A B 0 C 2 D 4參考答案：D考點： 函數的最值及其幾何意義 專題： 計算題分析： 兩次利用均值不等式求出最小值，注意等號成立的條件，當多次運用不等式時，看其能否同時取得等號解答： 解：x0則x0 x2，當x=1時取等號2+2=4當且僅當x=1時取等號故選D點

5、評： 本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，解題需要注意等號成立，屬于基礎題6. 對于各數互不相等的正數數組（i1，i2，in）（n是不小于2的正整數），如果在pq時有ipiq，則稱“ip與iq”是該數組的一個“順序”，一個數組中所有“順序”的個數稱為此數組的“順序數”例如，數組（2，4，3，1）中有順序“2，4”、“2，3”，其“順序數”等于2若各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，a4，a5）的“順序數”是4，則（a5，a4，a3，a2，a1）的“順序數”是（）A7B6C5D4參考答案：B【考點】歸納推理【專題】壓軸題；探究型【分析】根據題意，各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，

6、a4，a5）的“順序數”是4，假設a1a2，a1a3，a1a4，a1a5其他都滿足題意，因此可以根據此條件判斷出（a5，a4，a3，a2，a1）的“順序數”【解答】解：根據題意，各數互不相等的正數數組（a1，a2，a3，a4，a5）的“順序數”是4，假設a1a2，a1a3，a1a4，a1a5，且后一項都比前一項小，因此可以判斷出a2a3，a3a4，a4a5，則（a5，a4，a3，a2，a1）的“順序數”是6，故選B【點評】此題主要考查歸納推理、不等式的性質，及相關延伸問題的解法7. 等比數列an的前n項和為Sn，已知，則（ ）A B C14 D15參考答案：D由，得，即，又為等比數列，所以公比

7、，又，所以.故選D.8. 設a=20.5，b=log3，c=log42，則（）A bacBbcaCabcDacb參考答案：A略9. 一個大風車的半徑為8m，12min旋轉一周，它的最低點P0離地面2m，風車翼片的一個端點P從P0開始按逆時針方向旋轉，則點P離地面距離h（m）與時間f（min）之間的函數關系式是( )Ah（t）=8sint+10Bh（t）=cost+10Ch（t）=8sint+8Dh（t）=8cost+10參考答案：D考點：由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式 專題：三角函數的圖像與性質分析：由題意可設h（t）=Acost+B，根據周期性=12，與最大值與最小值分別為18

8、，2即可得出解答：解：設h（t）=Acost+B，12min旋轉一周，=12，=由于最大值與最小值分別為18，2，解得A=8，B=10h（t）=8cost+10故選：D點評：本題考查了三角函數的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題10. 右圖的程序框圖輸出結果i=（ ） A6 B7 C8 D9參考答案：C二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c若2bcos A=c cosAa cos C，則A_參考答案：略12. 如圖，已知平面四邊形滿足，將沿對角線翻折，使平面平面，則四面體外接球的體積為 參考答案：13. 已知集合A=x

9、|（x2）（x+5）0，B=x|x22x30，全集U=R，則AB= ，A（?UB）= 參考答案：x|5x1；x|5x3?！究键c】交、并、補集的混合運算 【專題】集合【分析】根據集合的基本運算進行化簡和求解即可【解答】解：A=x|（x2）（x+5）0=x|5x2，B=x|x22x30=x|x3或x1，則AB=x|5x1，?UB=x|1x3，則A（?UB）=x|5x3，故答案為：x|5x1，x|5x3【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎14. （1+3x）5的展開式中，x2的系數等于參考答案：90【考點】二項式系數的性質【專題】二項式定理【分析】利用二項式展開式的通項公式，求出展開式中x2

10、的系數是多少即可【解答】解：（1+3x）5的展開式的通項公式為：Tr+1=?（3x）r=3r?xr，令r=2，得x2的系數為32=910=90故答案為：90【點評】本題考查了利用二項式的展開式求展開式中某一項的系數問題，是基礎題目15. 拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過拋物線上一點(第一象限內)作的垂線,垂足為.若四邊形的周長為16，則點的坐標為 參考答案：16. 設隨機變量，且，則實數的值為_. 參考答案：9.817. 設、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線的右支上，且，到直線的距離等于雙曲線的實軸長，該雙曲線的漸近線方程為 參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出

11、文字說明，證明過程或演算步驟18. 如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）證明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值參考答案：解：（）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B為等邊三角形，所以OA1AB，又因為OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交線為AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直以

12、O為坐標原點，的方向為x軸的正向，|為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），則=（1，0，），=（1，0），=（0，），設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角專題：空間位置關系與距離；空間角分析：（）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1AB，AB平

13、面OA1C，進而可得ABA1C；（）易證OA，OA1，OC兩兩垂直以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，|為單位長，建立坐標系，可得，的坐標，設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，1），可求cos，即為所求正弦值解答：解：（）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OCAB，由于AB=AA1，BAA1=60，所以AA1B為等邊三角形，所以OA1AB，又因為OCOA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故ABA1C；（）由（）知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交線為AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，

14、OC兩兩垂直以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，|為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，），B（1，0，0），則=（1，0，），=（1，0），=（0，），設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，1），故cos，=，又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：點評：本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質和平面與平面垂直的判定，屬難題19. 已知函數f（x）=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數g（x）=f（x）+x2b

15、x（1）求實數a的值；（2）若函數g（x）存在單調遞減區(qū)間，求實數b的取值范圍；（3）設x1，x2（x1x2）是函數g（x）的兩個極值點，若b，求g（x1）g（x2）的最小值參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的極值【分析】（1）求導數，利用導數的幾何意義能求出實數a的值（2）由題意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，由此能求出實數b的取值范圍（3）g（x1）g（x2）=ln（），由此利用構造成法和導數性質能求出g（x1）g（x2）的最小值【解答】解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，k=

16、f（x）|x=1=1+a=2，解得a=1（2）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=，x0，由題意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，定義域x0，x+2，x+b1有解，只需要x+的最小值小于b1，2b1，解得實數b的取值范圍是b|b3（3）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=0，x1+x2=b1，x1x2=1g（x1）g（x2）=ln（）0 x1x2，設t=，0t1，令h（t）=lnt（t），0t1，則h（t）=0，h（t）在（0，1）上單調遞減，又b，（b1）2，0t1，4t217t+40，0t，h（t）h（）=2ln2，故所求的最小值為2ln220. 已知函數f（x）=

17、ax2（2a1）xlnx（a為常數，a0）（）當a0時，求函數f（x）在區(qū)間上的最大值；（）記函數f（x）圖象為曲線C，設點A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由參考答案：【考點】6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】（）求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數f（x）的單調區(qū)間，從而求出f（x）的最大值即可；（）設出M的坐標，分別求出直線AB的斜率k1，C在點N處的切線斜率k2，由k1=k2，得到即=，得出矛盾【解答

18、】解：（）f（x）=，當a0時，由f（x）=0，得x1=，x2=1，又x，則有如下分類：當2，即a0時，f（x）在上是增函數，所以f（x）max=f（2）=2ln2當12，即a時，f（x）在上是減函數，所以f（x）max=f（）=1+ln（2a） 當1，即a時，f（x）在上是減函數，所以f（x）max=f（1）=1a 綜上，函數f（x）在上的最大值為：f（x）max=；（）設M（x0，y0），則點N的橫坐標為x0=，直線AB的斜率k1= =a（x1+x2）+（12a）+，C在點N處的切線斜率k2=f（x0）=a（x1+x2）+（12a），假設曲線C在點N處的切線平行于直線AB，則k1=k2，即=，所以ln=，不妨設x1x2，ln=t1，則lnt=，令g（t）=lnt，（t1），g（t）=0，所以g（t）在（1，+）上是增函數，又g（1）=0，所以g（t）0，即lnt=不成立，所以曲線C在點N處的切線不平行于直線AB2