2021-2022學(xué)年黑龍江省佳木斯市建三江高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）ABCD2已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，則等于（ ）ABCD3 “十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉

2、最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為ABCD4復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則( )AiB2iC2iDi5設(shè)集合（為實(shí)數(shù)集），則（ ）ABCD6已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿足，則 ( )A1BCD7已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件8定義在R上的函數(shù)，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成

3、立的是（ ）ABCD9已知集合，則元素個(gè)數(shù)為( )A1B2C3D410已知集合，若，則（ ）ABCD11已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD12已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記最大值為，則的最小值為_.14已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_15 “直線l1：與直線l2：平行”是“a2”的_條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放

4、入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球，丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里，共有_種不同的放法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍18（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn) （1）若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值； （2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積19（12分）某校共有學(xué)生2000人，其中男生900人，女生1100人，為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間，采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)

5、生每周平均體育鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)）.（1）應(yīng)抽查男生與女生各多少人？（2）根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表：時(shí)間（小時(shí)）0,1(1,2(2,3(3,4(4,5(5,6頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)，請完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”？男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)總計(jì)附：K2.P（K2k0）0.1000.0500.0100.0052.7063.8416

6、.6357.87920（12分）已知在中，角，的對邊分別為，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.21（12分）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，求證：；（）若對于恒成立，求的最大值22（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，為定點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，且，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，為曲線上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)三視圖作出幾何體

7、的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復(fù)數(shù)形式中，實(shí)部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【詳解】 因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.3D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音

8、頻率比為，所以，又，則故選D.點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列. 等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（）， 數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.4B【解析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】為純虛數(shù)，解得. .故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.5A【解析】根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】 ，則 故選D.7A【解析】作出函數(shù)的圖象，得到，把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在（

9、2，4上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的根，也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為；設(shè)過原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，切線斜率為，k的取值范圍是，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題8D【解析】根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直

10、線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時(shí)使得；又，所以選項(xiàng)成立；，比離對稱軸遠(yuǎn)，可得，選項(xiàng)成立；，可知比離對稱軸遠(yuǎn)，選項(xiàng)成立；，符號不定，無法比較大小，不一定成立故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9B【解析】作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

11、的思想，屬于基礎(chǔ)題.10A【解析】由，得，代入集合B即可得.【詳解】，即：，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11B【解析】構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.12A【解析】是函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得【詳解】由題意，函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為，在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是，的最小值是故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性

12、，考查函數(shù)的對稱性函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】易知，設(shè)，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解【詳解】，設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞減令，當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，則則，即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題14【解析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間

13、想象能力，是一道中檔題.15必要不充分【解析】先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件，然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價(jià)于a2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a2”的必要不充分條件故答案為：必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16【解析】討論裝球盒子的個(gè)數(shù)，計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí)：種；當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí)：種；當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí)：種.故共有種，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證

14、明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，得，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力18（1）的值為或.（2）【解析】（1）分類討論，當(dāng)時(shí)，線段與拋物線沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，能取得最小值，利用拋物線的焦半徑公式即可求解；當(dāng)時(shí)，線段與拋物線有公共點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解. （

15、2）由題意可得軸且設(shè)，則，代入拋物線方程求出，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題，若線段與拋物線沒有公共點(diǎn)，即時(shí)，設(shè)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，此時(shí)若線段與拋物線有公共點(diǎn)，即時(shí)，則三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為：，此時(shí)綜上，實(shí)數(shù)的值為或.因?yàn)?，所以軸且設(shè)，則，代入拋物線的方程解得于是，所以【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式、直線與拋物線的位置關(guān)系中的面積問題，屬于中檔題.19（1）男生人數(shù)為人，女生人數(shù)55人.（2）列聯(lián)表答案見解析，有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【解析】（1）求出男女比例，按比例分配即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表

16、，先求出二聯(lián)表中數(shù)值，再結(jié)合公式計(jì)算，利用表格數(shù)據(jù)對比判斷即可【詳解】（1）因?yàn)槟猩藬?shù)：女生人數(shù)900：11009：11，所以男生人數(shù)為，女生人數(shù)1004555人，（2）由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)的人數(shù)為：（10.3+10.25+10.15+10.05）10075人，每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)的女生人數(shù)為37人，聯(lián)表如下：男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過2小時(shí)71825每周平均體育鍛煉時(shí)間超過2小時(shí)383775總計(jì)4555100因?yàn)?.8923.841，所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，獨(dú)立性檢驗(yàn)

17、，熟記公式，正確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題.20（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當(dāng)時(shí)，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據(jù)題意，得，.又，.解：（2）由（1）求解知，.當(dāng)時(shí)，.又，.【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題21（）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（）證明見解析；（）.【解析】（）利用二次求導(dǎo)可得，所以在上為增函數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（）利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進(jìn)而可證；（）條件等價(jià)于對于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，即可得到的最小值

18、為，再次構(gòu)造函數(shù)（a），利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得最大值【詳解】（）當(dāng)時(shí)，則，所以，又因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（），則令，則（1），所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，則，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，由，得，所以，由于，從而；（）因?yàn)閷τ诤愠闪?，即對于恒成立，不妨令，因?yàn)?，所以的解為，則當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以的最小值為，則，不妨令（a），則（a），解得，所以當(dāng)時(shí)，（a），（a）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（a），（a）為減函數(shù)，所以（a）的最大值為，則的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題22（1）；（2）是定值，.【解析】