三角公式及推導(dǎo)祥盡解釋

1、祥盡解釋公式二:設(shè)祥盡解釋公式二:設(shè)a為任意角，n的三角函數(shù)值與sinn + a= sin aCOSn + a= COs atann + a=tan aCOtn + a=COt aa的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:三角公式及 推導(dǎo)1誘導(dǎo)公式：常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：公式一： 設(shè)a為任意角，終邊一樣的角的同一三角函數(shù)的值相等:sin 2k n + a= sin aCOS 2k n + a= COS atan 2k n + a= tan aCOt 2k n + a= COt a任意角 a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sin一a=一 sin aCOS一a=COs a公式三:tanatan tan acot

2、一aCOt a公式四：利用公式二和公式三可以得到 n a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sinn a=sin acosn a=-COs atann a=-tan aCOtn a=-COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 n a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin 2 n a= sin aCOS 2 n a= COS atan 2 n a= tan aCOt 2 n a= COt a公式六:n /2 土及3 n /2 土與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:sinn /2 +a= cos acosn /2 +a= sin atann /2 + a= cot aCOtn /2 + a= tan asi

3、nn 12 a= cos a cosn /2 a= sin a tann /2 a= cot a cotn /2 a= tan asin 3 n /2 + a= cos a cos 3 n /2 +a= sin a tan 3 n /2 +a= cot a cot 3 n /2 +a= tan asin 3 n /2 a=ccsacos 3 n /2 a= sin atan 3 n /2 a= cot acot 3 n /2 a= tan a(以上k z)誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于k n /2 a (k z)的個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到a的同名函數(shù)值，即函數(shù)

4、名不改變；tan.當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到 a相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin f cos;cos sin;tan cot,cottan.奇變偶不變?nèi)缓笤谇懊婕由习補(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。符號(hào)看象限上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把 a視為銳角時(shí)，角k 360 +a k za、180a,36所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶 水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余 弦這十二字口訣的意思就是說(shuō)：第一象限任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“； 第二象限只有正弦是“，其余全部是“； 第三象限切函數(shù)是“，弦函數(shù)是“；

5、第四象限只有余弦是“，其余全部是“公式七：額外的定義-同角三角函數(shù)根本關(guān)系1同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系 :tan a cotl a =sin a-sin a-esC a=商的關(guān)系：sin a /cosa= tan a= sec a /csc acos a /sina= cot a= csc a /sec a平方關(guān)系：COS aCOS a-sed a =sinA2(a ) + COSA21( a )=1+ tanA2(a ) = SecA2( a)1+ cotA2(a ) = cscA2( a)證明：同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：參看圖片或參考資料構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、

6、右余、中間 1 的正六邊形為模型。1 倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；2商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。3平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂 點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。-兩角和差公式2兩角和與差的三角函數(shù)公式sin a B= sin a cos p cos a sin Bcosa + B韋osa cos p sin a sin pcosa B= cos a cos p+ sin a sin Btan a+ tan Btana + B=1 tan a

7、 tan Btan a tan Btana_B=1+ tan a tan B和差公式的證明：(1)兩角差的余弦222AB2yA yBXaXB22r sinrsinrcosr cos2.22 222 22 22rrsinr sin2r sin sinr cosr cos2 r2 sin2 sin2si nsin2 2 coscos2coscos2 r2 sin2 cos2 sin2 cos2s in sin2coscos2 r1 12 sin sin cos cos2 r2 2sin sincoscos2r2 1sin sincoscos可得：綜上得:cossin sincoscosCOScos

8、由余弦公式兩角和的余弦兩角和的正弦兩角差的正弦兩角和的正切兩角差的正切-二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式升冪縮角公式表示:sin2 a= 2sin a COS a證明：因?yàn)?sin( + )=sin cos +cos sin，令=所以，可得：sin2 =2 sin cos表示二：以正切表示二倍角2tansin2 =21+ta n2sin 2tansin2 =21+ta n2sin 證明：sin2 =2sin cos =2 cos2 cos=2ta n (2 sec2ta n=時(shí)余弦二咅角公式:所以，可得:cos2 =cos2 sin2 =2cos2 1=1 2sin2 表示二:1 tan

9、2cOs2=荷療證明:cos2 =2cos21 =sec2所以，可得:cos2 =cos2 sin2 =2cos2 1=1 2sin2 表示二:1 tan2cOs2=荷療證明:cos2 =2cos21 =sec21+ta n21 tan21 =1+02ta n atan2 a=1 tanA2( a)證明：因?yàn)橛珊徒枪?tan( + )=tan +ta n 令1 tan tan 所以，可得:tan2 =2ta n1 tan2結(jié)論：利用tan可以將sin2 ,cos2 , tan2表示出來(lái)，整理如下:2ta n(a) sin2 =雋(b) cos2 =1 tan21+ta n22ta n(c)

10、tan2 =荷表示cos2 a= cosA2( a ) sinA2( a ) 4=2d)sA2Sina() a)證明：因?yàn)橛珊徒枪剑?cos( + )=cos cos sin sin，令 =用三角形直觀表示如下：圖半角公式半角的正弦、余弦和正切公式降幕擴(kuò)角公式1 COS a或：sinA2(a /2)=21 COs aCOSA2( a /2)=21 COs atanA2( a /2)=1 COs a-萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：sin2 a =2sin a COs a =2sin a COs a /(COsA2( a )+sinA2( a )*因?yàn)?COsA2( a )+sinA2( a )=

11、1 再把 *分式上下同除 cosA2( a )，可得2 a= tan2 a /(1 + tanA2( a )然后用a /2弋替a即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。-三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3 = 3sin 4sin3 證明： sin3 =sin( +2 )=sin cos2 +cos sin22 2 2 2 2 =sin (1 2sin )+cos (2sin cos ) = sin (1 2sin )+2sin cos = sin (1 2sin )+2sin (1 sin )3= 3sin 4sin3 (b)cos3 =4cos3

12、 3cos證明：cos3 =cos( +2 )=cos cos2 sin sin22=cos (2cos 1) sin (2sin cos )= cos (2cos2 1) 2sin2 cos22= cos (2cos 1) 2(1 cos )cos=4cos3 3cossin3 a= 3sin a 4sinA3( a)C0S3 a= 4COSA3( a ) 3C0S a3tan a tanA3( a)tan3 a1 3tanA2(a附推導(dǎo)：tan3 a= sin3 a /cos3 a=(sin2 a cos a+ cos2 a sin a )/-sOS2 a aicoa )=(2sin a

13、cosA2( a ) + cosA2( a )sin a sE3( a )/(cosA3(a ) cos a sinA2( a ) 2sin上下同除以cosA3( a )，得：tan3 a= (3tan a tanA3tanA2()/(h ) sin3 a= sin(2 a + a ) = sin2 a cos a+ cos2 a sin a=2sin a cosA2(1 )2+門(mén)八2(a )sin a=2sin a 2sin)+(sinaa 2sin八2( a)=3sin a 4si門(mén)八3( a)cos3 a=cos(2a + a ) = cos2 a cos a sin2 a sin a=

14、(2cosA2(a )1)cos a 2cos a SinA2(a)=2cosA3(a )-cos a+ (2cos a 2cosA3( a )=4cosA3(a )-3cos a即sin3 a= 3sin a 4sin八3( a)cos3 a= 4cosA3( a ) 3COS a三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角： 3元 減 4元3角欠債了 （被減成負(fù)數(shù) ），所以要“掙錢(qián) （音似“正弦 ）余弦三倍角： 4 元 3 角 減 3 元減完之后還有“余 注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。-積化和差公式積化和差公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先，我們知道 sin(a+

15、b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到 sin( a+b)+si n( a-b)=2s in a*cosb所以,sin a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2同理，假設(shè)把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的，我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa

16、*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式：sin a*cosb=(si n(a+b)+s in (a-b)/2cosa*si nb=(si n(a+b)-si n(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2si na*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2也可以這樣證：-和差化積公式和差化積的公式推導(dǎo)：好，有了積化和差的四個(gè)公式以后，我們只需一個(gè)變形，就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上 述四個(gè)公式中的a+b

17、設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式sin x+si ny=2si n(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sin x-si ny=2cos(x+y)/2)*si n(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2s in (x+y)/2)*si n(x-y)/2)-輔助角公式asin bcos. a2 b2sin()，其中tan -, 的象限由a, b的符號(hào)確定。a12任意二角形面積公式:證完14-正弦定理證明16-特殊的三角函數(shù)值表0 015

18、1230 一645-460 一375 7290 一2sin01近+tan2Jr21 tan1422/ 4/ 21?1 tancos14遁2遁22品4240tan02亦亍12 43N/A17:其它一些恒等變換的有用公式：也必須熟記 2 sin(a)cos2 =cos2 sin2 =2cos21=1 2sin2(b)cos =2cos221= 2 sin(a)cos2 =cos2 sin2 =2cos21=1 2sin2(b)cos =2cos221=1 2s咗(c)cos21+cos221 cos2=218:一些常用的高次方降次-有用的公式:(a)sin +cos4 =(sin2 +cos2 )

19、2 2sin22 “cos =12sin2 cos2(b)sin66 2+cos =(s in+cos2 )3 3sin2 cos ( sin2 +cos2 )=1 3 sin2 cos (c)tan +cot =1sin cos2si n2(d)(sin cos )2= sin2 +cos2 2sin cos =1 sin219:三角函數(shù)公式集中記憶表：和差的三角函數(shù)積化和差公式sin() sin coscos sincos() cos cos sin sin,、tantantan()-1 十 tan tan1sin cos si n() si n()21 cos sin si n() si n()21cos cos co