相似多邊形及位似變換 完整版課件

1、相似多邊形位似變換 下圖中的(2)是由(1)縮小得到的，它們是相似的圖形。觀察（1）（2）一、位似變換 我們把對應(yīng)角相等，并且對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫作相似多邊形 相似多邊形的對應(yīng)邊的比k叫作相似比結(jié)論（1）（2）1、任意兩個菱形是否相似？想一想2、任意兩個矩形是否相似？動腦筋 圖3-36中，菱形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，分別在線段OA，OB，OC，OD上取一點(diǎn) ， ， ， 使得連結(jié) ，所得的四邊形 是菱形嗎？它與菱形ABCD相似嗎？圖3-36是菱形，它與菱形ABCD相似.因?yàn)樗鼈兊膶?yīng)邊成比例，可以證明對應(yīng)角相等. 相似四邊形的周長的比與相似比有什么關(guān)系？ 探究 相似四邊形的面積的比

2、與相似比有什么關(guān)系？ 答：相似四邊形的周長比等于相似比.答：相似四邊形的面積比等于相似比的平方.如圖3-38，設(shè)四邊形 四邊形A1A2A3A4，令從而圖3-38因此 即 這證明了四邊形 的周長與四邊形A1A2A3A4的周長的比等于相似比.圖3-38 連結(jié)A1A3， ，可見，四邊形的面積可以分解為兩個三角形面積之和. 從而可以證明四邊形 的面積與四邊形A1A2A3A4的面積的比等于相似比的平方.圖3-38上述證明方法適用于任意兩個相似的多邊形，因此有：結(jié)論 相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方中考 試題例1 給出下列4對多邊形：兩個正方形；兩個菱形；兩個長方形；兩個正

3、六邊形，請指出其中哪幾對是相似多邊形，哪幾對不是相似多邊形，并簡單說明理由. 兩個正方形和兩個正六邊形分別是相似多邊形，因?yàn)樗鼈兊膶?yīng)角分別都是90、120，對應(yīng)邊也成比例；兩個菱形不一定是相似多邊形，因?yàn)樗鼈兊膶?yīng)角不一定相等；兩個長方形也不一定是相似多邊形，因?yàn)樗鼈兊膶?yīng)邊不一定成比例.解判斷兩個多邊形是否相似，必須具備兩個條件：(1)對應(yīng)角相等；(2)對應(yīng)邊成比例，二都缺一不可.分析中考 試題例2 已知四邊形ABCD相似于四邊形 ，如圖，求出A與x的值.解四邊形ABCD四邊形 ，A=A,A=107,AB=5,AD=4, =2, A=107. . x= . 如何把一個圖形放大或縮?。客ㄟ^下

4、面的觀察和探究，同學(xué)們將學(xué)會一種簡單可行的方法 二、位似變換圖3-46是具有這種關(guān)系的，兩個圖形有什么關(guān)系？ 圖3-46相似. 分別在圖3-46中左、右兩個小狗的頭頂上取一點(diǎn)A，A；再分別在狗尾巴尖上取一點(diǎn)B，B.圖3-46點(diǎn)A，A與點(diǎn)O在一條直線上嗎？點(diǎn)B，B與點(diǎn)O在一條直線上嗎？AABBO 分別量出線段OA，OA，OB，OB的長度，計(jì)算(精確到0.1)： 繼續(xù)在左、右兩個小狗上找出一些對應(yīng)點(diǎn)，考察每一對對應(yīng)點(diǎn)是否都與點(diǎn)O在一條直線上；圖3-46 ， . 計(jì)算每一對對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O的連線段的比，看它們是否與上述 ， 相等.動腦筋 現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)圖3-46中右邊的小狗是如何從左邊的小狗畫出來的嗎？

5、如何畫出右邊小狗頭頂上的點(diǎn)A和尾巴尖上的點(diǎn)B？對于左邊小狗上每一個點(diǎn)，如何畫出右邊小狗上的對應(yīng)點(diǎn)？ 圖3-46 從上述畫右邊小狗的方法以及類似問題，我們抽象出下述概念： 取定一點(diǎn)O，把圖形上任意一點(diǎn)P對應(yīng)到射線OP(或它的反向延長線)上一點(diǎn)P，使得線段OP與OP的比等于常數(shù)k(k0)，點(diǎn)O對應(yīng)到它自身，這種變換叫作位似變換； 點(diǎn)O叫作位似中心，常數(shù)k叫作位似比，一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形.從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：結(jié)論 兩個位似的圖形上每一對對應(yīng)點(diǎn)都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比練習(xí)1. 在圖3-47中，以

6、點(diǎn)O為位似中心，位似比為2.5，畫出ABC在這個位似變換下的像. 圖3-47答：過OC，OA，OB作射線， 分別在射線上取OA= 2.5OA， OB= 2.5OB，OC= 2.5OC. 連結(jié) ， ， 則 為ABC在這個 位似變換下的像.2. 在圖3-48中，以矩形ABCD的對角線交點(diǎn)O為位似中心，位似比為0.6，畫出矩形ABCD在這個位似變換下的像. 圖3-48 利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小.當(dāng)位似比k1時(shí)，一個圖形被放大成原圖形的k倍；當(dāng)位似比k1時(shí)，一個圖形被縮小成原圖形的k倍.舉例例 把圖3-49中的五角星放大成原圖形的2倍. 圖3-49解:選取五角星的特征點(diǎn)：五個角尖點(diǎn) 以五角

7、星的中心O為位似中心，分別作射線圖3-49在這些射線上分別取一個點(diǎn) ，使得連結(jié)則得到的五角星 是原五角星A1A2A3A4A5的2倍.做一做 在圖3-49中，證明：圖3-49證明:OA1A3 1.把圖3-51中的正方形ABCD縮小為原圖形的0.6.練習(xí)答：連結(jié)AC與BD，則AC與BD相交于O， 在射線OA，OB，OC，OD上取OA=0.6OA， OB=0.6OB，OC=0.6OC，OD=0.6OD. 連結(jié) ，則正方形 為正方形ABCD在這個位似變換下的像.圖3-51ABDC2. 把圖3-52中的菱形ABCD放大為原圖形的1.5倍 圖3-52答：連結(jié)AC與BD，則AC與BD相交于O， 在射線OA，

8、OB，OC，OD上取OA=1.5OA， OB=1.5OB，OC=1.5OC，OD=1.5OD. 連結(jié) ，則菱形 為 菱形ABCD在這個位似變換下的像.小結(jié)與復(fù)習(xí) 本章的中心內(nèi)容是研究圖形的放大與縮小，即圖形的相似.它的基礎(chǔ)概念是線段的比. 我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質(zhì)；相似多邊形的判定方法和性質(zhì). 我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方法.圖形的相似在許多實(shí)際問題中有重要應(yīng)用. 一、基本概念1.相似的圖形 直觀上，把一個圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形是與原圖形相似的2.相似三角形 三個角對應(yīng)相等，且三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫作相似三角形.相似三角形的對應(yīng)邊的比叫作相似比3.相

9、似多邊形 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫作相似多邊形. 相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫作相似比.4.線段的比，成比例線段，黃金分割 在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段. 如果選用同一長度單位量得兩條線段PQ， 的長度分別為m，n，那么把它們的長度的比 叫作這兩條線段的比，記作 ，或 PQPQ 將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線段CB與較長線段AC的比等于AC與原線段AB的比，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫作線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長線段AC與原線段AB的比叫作黃金分割比.ACCB5.位似變換，位似的圖形 取定一點(diǎn)O，把圖形上每一

10、個點(diǎn)P對應(yīng)到射線OP(或它的反向延長線)上一點(diǎn)P，使得線段OP與OP 的比等于常數(shù)k(k0)，點(diǎn)O對應(yīng)到它自身，這種變換叫作位似變換，點(diǎn)O叫作位似中心，常數(shù)k叫作位似比，一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形.二、成比例線段的基本性質(zhì) 如果四條線段a，b，c，d是成比例線段，即那么ad = bc . 三、相似三角形的性質(zhì) 性質(zhì)1 相似三角形的對應(yīng)邊成比例性質(zhì)2 相似三角形的對應(yīng)角相等性質(zhì)3 相似三角形周長的比等于相似比， 相似三角形面積的比等于相似比的平方.四、相似三角形的判定 判定定理1 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似判定定理2 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判定定理3 兩邊對應(yīng)

11、成比例且夾角相等的兩個三角 形相似五、相似多邊形的性質(zhì) 性質(zhì)1 相似多邊形的對應(yīng)邊成比例性質(zhì)2 相似多邊形的對應(yīng)角相等性質(zhì)3 相似多邊形周長的比等于相似比， 相似多邊形面積的比等于相似比的平方.六、相似多邊形的判定 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形相似七、利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小中考 試題例1 如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，ABC與 是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出ABC與 的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，再畫一個A1B1C1，使它與ABC的 位似比等于1.5.（1）、（3）的解答如圖2所示.（2）因?yàn)锳BC與 是位似圖形，所以其位似比 實(shí)際上就是這兩個三角形的相似比.又由勾股定理 可得：AC= ， ，所以 ABC與 的位似比= = 1 ：2.解如圖2如圖1中考 試題例2 檢查視力時(shí)，規(guī)定人與視力表之間的距離為5 m.現(xiàn)因房間兩面墻的距離為3m，因此使用平面鏡來解決房間小的問題.若使墻面鏡子能呈現(xiàn)