橢圓中常見熱點問題

1、橢圓中常見問題一、求直線方程、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、弦長等常規(guī)問題(“常規(guī)求值”問題需要找等式);知識點：X 2 V 21、已知橢圓一 + =1(a b 0)上，F(xiàn) , F是橢圓的兩個焦點，B為橢圓上頂點，ZFBF =120。，求a 2 b 21 21 2橢圓離心率.X 2 V 22、已知橢圓一 + =1(a b 0)上，F(xiàn) , F是橢圓的兩個焦點，B為橢圓上頂點，AFBF為等腰直角a2 b21 21 2三角形，求橢圓離心率.X 2 V 23、已知橢圓+如=1(a b 0) 上, F , F是橢圓的兩個焦點，若在橢圓上存在點P使晝戶2 = 1200，求橢圓離心率的范圍.X2 V24、已知橢圓一 +

2、 ： = 1(a b 0)的長軸兩端點為A、B，如果橢圓上存在點。，使ZAQB = 120。,求橢a2 b2圓離心率的范圍。5、已知橢圓三+ V- = 1(a b 0)上，F(xiàn)1，F(xiàn)是橢圓的兩個焦點，若在橢圓上存在點P 使 PF = 4 |PF|， 求橢圓離心率的范圍.X 2 V 2一 ，1 1、6、已知橢圓云+ - = 1(a b 0).過點(2, 一1)且方向向量為a =這,-)的直線L交橢圓與A、B6、若線段AB的中點為，求直線OM的斜率(用a、b表示);3若橢圓的離心率為艾，焦距為2,求線段AB的長；在的條件下，設(shè)橢圓的左焦點為F，求AABF1的面積。最值問題的常用方法：幾何法、配方法(

3、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值)三角代換法(轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值X 利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。7、已知橢圓C的中心在原點，焦點F、F在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且ZFPF的最大值為90,1212直線l過左焦點F與橢圓交于A. B兩點， ABF2的面積最大值為12.求橢圓C的離心率；求橢圓C的方程?！窘馕觥浚?1)設(shè)I PF 1= r ,1 PF 1= r ,1 FF 1= 2c,對APFF ,由余弦定理，得1122121 2=1 - 2e2 = 0，解出/FpFr1 + r2 一4c2 (r + r )2 一2rr -4c2 4a2 一4c2 】4=1 - 2e2 = 0，解出1 2

4、2rr2rr2rrr +r、1 21 21 22( 12)2Z-!(2)考慮直線，的斜率的存在性，可分兩種情況:i)當(dāng)k存在時，設(shè)l的方程為y = k 3 + c)橢圓方程為蘭+站=1,A(x, y ),B(x , y ) a 2b2橢圓方程為蘭+站=1,A(x, y ),B(x , y ) a 2b21 12 2于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為x2 + 2y2 -2c2 = 0J 2 將代入，消去y得x2 + 2k2(x + c)2 - 2c2 = 0,整理為 x 的一元二次方程，得(1+ 2k2)X2 + 4ck2x + 2c2(k2 - 1) = 0 .則 x、x 是上述方程的兩根.且 I x -

5、x I= d1 + k 2，| ab |=,1+k； I x - x I= 2*2c(1+ k 2)，122 11 + 2k 2211 + 2k 2AB 邊上的高 h =I FF I sin/BFF = 2cx 婦,S = 2E2c( +如).婦 2c1 21 21 + k 221 + 2k 2 偵 1 + k 2=2豆c2 罰 + k2|kI = 25c2 k2 + k41 + 2k 21 + 4k 2 + 4k 4=22c2 .史 Jlc2.w+工 k 4 + k 2ii)當(dāng)k不存在時，把直線x = -c代入橢圓方程得y = pi2 c,I AB I=2c, S = 2 b 0)的離心率為

6、16，短軸一個端點到右焦點的距離為、3 .a 2 b 23x 2一一 一求橢圓 C 的方程；y + y2 = 1IAB|max= 2設(shè)直線l與橢圓C交于A B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為盤，求 AOB面積的最大2值.三、“是否存在”、過定點、定值問題的解題策略：“是否存在”問題方法：當(dāng)作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)；也可先在特殊條 件下求出定值，再給出一般的證明。處理定點問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；也可先取參 數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明。一.X 2 V

7、2 一.一.一.一.8、如圖，橢圓C： 16 +亍=1的右頂點是A，上下兩個頂點分別為B，D，四邊形OAMB是矩形(。為坐標(biāo)原點)，點E，P分別是線段OA，MA的中點.(1)求證：直線DE與直線BP的交點在橢圓C上.(2)過點B的直線11，12與橢圓C分別交于R，S (不同于B點)，且它們的斜率(2)過點B的直線11，12與橢圓C分別交于R，S (不同于B點)，且它們的斜率虹，k2滿足k七-4，求 證：直線SR過定點，并求出此定點的坐標(biāo).證明：(1)由題意，A (4, 0)，B (0，2)，D (0，-2，直線BP的方程為V = - 1 X = 14-2)，E (2, 0)，P (4, 1)，

8、則直線 DE 的方程為y=x聯(lián)立方程，可得直線DE與BP的交點坐標(biāo)為(?, 5)X 2 V 2 一 16 6.橢圓C：+土- = 1，.(丁，)滿足方程，.直線DE與直線BP的交點在橢圓1645 5(2)直線BR的方程為y=k1x+2X 2V 2+ 二=14V = k X + 2、1一 ，/16kR的坐標(biāo)為(-11 + 4k12.直線BS的方程為V =BO解方程組b 0)的左焦點為F，右焦點為F，離心率e = 1，過F的直線交橢圓于 a 2b 21221A, B兩點，且 ABF2的周長為8.求橢圓E的方程.設(shè)動直線l： y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線X = 4相交于點Q.

9、試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點肱，使得以PQ為直徑的圓恒過點肱？若存在， 求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：(1)因為IABI + IAFJ + IBFI = 8，即AF+ FB + IAFJ + IBFI = 8，又AF. I + IAFI = BFI + BF,I = 2a ,2211221212所以4a = 8 ,。= 2.又因為e = 2，即：=2，所以c = 1 ,所以b =耳吻 c?= ；3.故橢圓E的方程是2+?=1.1y = kx+m ,22得(2 + 3)X2 + 8kmx + 2 - 12 = 0.打 +y3 = 1，因為動直線I與橢圓E有且只有一個公共點P(x0

10、,y0)，所以mg旦A=0, 即 6他m2 -4(2 + 3)(偵2 -12) = 0,化筒得家2 m2 + 3 = 0(*) 此時，0=-新=普，0=y+m=m，所以p(冷m).X = 4 ,由j得 Q(4,4k+m)y =kx+m假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上.設(shè)M(x 0)則MPMQ = 0對滿足(*)式的m、k恒成立.因為MP = (-4k -x ,乏)，MQ = (4 -x 4k+m), 1,m 1 m1,由瘁.疵=0 ,得-譬+節(jié)-朽+工2 +罪+ 3 = 0，整理，得(朽-4)苦+*2-&1 + 3 = 0(*)r.-4x - 4 = 0 , 由于(

11、*)式對滿足(*)式的m,k恒成立，所以1 43 0解得x1 = 1.故存在定點M(1,0)，使得以？。為直徑的圓恒過點M.練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上,離心率為1,短軸長為 q求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；1直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點,A、B是橢圓。上位于直線PQ兩側(cè)的動點,且直線AB的斜率為5 .求四邊形APBQ面積的最大值；設(shè)直線PA的斜率為k ,直線PB的斜率為k ,判斷k + k的值是否為常數(shù),并說明理由.1212c _ V6 TOC o 1-5 h z ，X 2練習(xí)1：解：(I)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意13 :.b = 1,所求橢圓方程為 + y 2 =1.a = ,(

12、II)設(shè) A(x, y ), B(x , y ). 1122當(dāng) AB x軸時，|AB| =、3 .當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y = kx + m .m后，3 八由已知=二;-，得m2 =頂(k2 +1). =1(a b 0) a 2b 2c 1由已知 b= 2J3 離心率e = = ,a2 = b2 + c2，得a = 4a 2x2y2所以，橢圓C的方程為z +三=116 12(II)由(I)可求得點P、Q的坐標(biāo)為P(2,3) , Q (2,-3)，則I PQ 1= 6,設(shè) AG , J )B(x , J ),直線 AB 的方程為 y =飛x +1,代人二7 += 1 得：x2 + tx +12 12 = 0 TOC o 1-5 h z 1 12 221612由0,解得一4 t 4,由根與系數(shù)的關(guān)系得氣+ % =；x x = 12 121-_ 匚:_ r Z. c c 一成四邊形 APB Q 的面積 s = x 6 x x x = 3 x(x+ x )2- 4 x x= 348 3t 2故當(dāng) t = 0, S=123212 v 121 2max由題意知，直線PA的斜率k =1J 一 3x； 21 x1c c x +1 3 x +1 3則 k + k =工+H=為+A12 x 2 x 2 x 2 x 212122(x1-2) +1