2021屆四川省巴中市高三零診考試 理科數(shù)學(xué)試題（含解析）

1、試卷第 =page 2 2頁，總 =sectionpages 4 4頁第 第 頁2021屆四川省巴中市高三零診考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】D【解析】化簡集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A5BCD【答案】B【解析】把給出的等式兩邊同時乘以，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，進(jìn)一步求得；【詳解】解：由，得：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題3設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ）A1B2C3D4【

2、答案】D【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，即.故選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題4已知，滿足，則（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對數(shù)式，最后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以所以，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對數(shù)互化以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5在中，則（ ）ABC或D【答案】A【解析】根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)余弦定理求出.【詳解】由余弦定理可得，得，即，解得或（舍去），所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考

3、查了余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.6已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一個對稱中心為（ ）ABCD【答案】B【解析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，令，解得，故函數(shù)的對稱中心為，可得的一個對稱中心為，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題7已知為圓上任一點(diǎn)，為直線：上的兩個動點(diǎn)，且，則面積的最大值為（ ）A9BC3D【答案】B【解析】計算出圓上點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，利用面積公式即可得解.【詳解】由題意知圓的圓心為，半徑為1，則圓心

4、到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，所以的最大值為故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓上點(diǎn)到直線距離最值的求解，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.8在直角中，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，兩直角邊分別為軸和軸，設(shè)，得，設(shè)，將向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)相結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】由于，不妨以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，兩直角邊分別為軸和軸，設(shè)，由于，則，因?yàn)椋瑸樵c(diǎn)，故可設(shè)，所以，所以（其中為輔助角）當(dāng)時，最小，最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，適當(dāng)?shù)姆绞浇⒆鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9已知，則（ ）A1B

5、2C3D【答案】B【解析】根據(jù)降冪公式和二倍角的正弦公式化簡等式左邊即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式，考查了二倍角的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.102013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素數(shù)（素數(shù)即質(zhì)數(shù)）猜想的一個弱化形式.素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮個素數(shù)，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素數(shù).則從不超過20的素數(shù)中任取兩個素數(shù)，這兩個素數(shù)組成孿生素數(shù)對的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】20以內(nèi)的素數(shù)共有8個，從中選兩個共包含個基本事件，利用列舉法求出20以內(nèi)的孿生素數(shù)包含4個基本事件，由此能求出從20以內(nèi)的素

6、數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率【詳解】解：依題意，20以內(nèi)的素數(shù)有共有8個，從中選兩個共包含個基本事件，而20以內(nèi)的孿生素數(shù)有，共四對，包含4個基本事件，所以從20以內(nèi)的素數(shù)中任取兩個，其中能構(gòu)成孿生素數(shù)的概率為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題11已知雙曲線：（，），過的右焦點(diǎn)作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】B【解析】先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得，再由用表示出.根據(jù)雙曲線的漸近線方程及正切二倍角公式，即可求得與的等量關(guān)系式，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳

7、解】雙曲線：（，），右焦點(diǎn)，漸近線方程為.將漸近線方程化為一般式為，雙曲線滿足，過的右焦點(diǎn)作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)分別在一、四象限，如下圖所示:由點(diǎn)到直線距離公式可知，根據(jù)題意，則，設(shè)，由雙曲線對稱性可知，而，由正切二倍角公式可知，即，化簡可得，由雙曲線離心率公式可知，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)的簡單應(yīng)用，漸近線方程與離心率的應(yīng)用，屬于中檔題.12函數(shù)，若與有相同的值域，則的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】判斷的單調(diào)性，求出的值域，根據(jù)與有相同的值域得出的最小值與極小值點(diǎn)的關(guān)系，得出的范圍【詳解】，故而當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

8、的最小值為，且時，即的值域?yàn)椋瘮?shù)與有相同的值域，且的定義域?yàn)椋獾茫汗蔬x：B【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)最值的計算，屬于中檔題二、填空題13若的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中的系數(shù)為_.【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得的系數(shù).【詳解】依題意的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，即.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為.令，所以的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.14若，滿足約束條件則的最大值_.【答案】【解析】根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由得，利用平移求出最大值即可【詳解

9、】解：不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由得，平移直線，由平移可知當(dāng)直線，經(jīng)過點(diǎn)時，直線的截距最小，此時取得最大值，由，解得，即代入得，即的最大值是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題15三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積為_.【答案】【解析】設(shè)三角形的外接圓的圓心為，半徑為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，根據(jù)正弦定理求出，根據(jù)球的性質(zhì)，得到，再根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：設(shè)三角形的外接圓的圓心為，半徑為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠?/p>

10、面，所以，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為矩形，所以，在三角形中，由正弦定理得，所以，在直角三角形中，得，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了球的性質(zhì)，考查了球的表面積公式，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)定理，屬于中檔題.16已知函數(shù)，現(xiàn)有以下四個命題：是奇函數(shù)；函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；對任意，恒有；函數(shù)與函數(shù)的最小值相同.其中正確命題的序號是_.【答案】【解析】對于，舉特值可知不正確；對于，通過證明函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，可知正確；對于，設(shè)，利

11、用導(dǎo)數(shù)求出最小值為0，可證不等式成立；對于，利用導(dǎo)數(shù)求出兩個函數(shù)的最小值，可知正確.【詳解】對于，設(shè)，因?yàn)樗圆粸槠婧瘮?shù)，故不正確；對于，設(shè)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，則，所以，即，即點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，同理可知，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故正確；對于，令，則，因?yàn)楫?dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，所以在上遞減，在上遞增，所以時，函數(shù)取得最小值，最小值為0，即，所以對任意，恒有，故正確；對于，因?yàn)椋援?dāng)時，當(dāng)時，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，因?yàn)?，所以?/p>

12、當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，所以函數(shù)與函數(shù)的最小值相同，故正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了函數(shù)的對稱性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題.三、解答題17已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)1，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證結(jié)論；（2）由（1）知，根據(jù)放大后裂項(xiàng)求和，可證不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，當(dāng)時，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了用定義證明等差數(shù)列，考查了利用放

13、縮法證明數(shù)列不等式，考查了裂項(xiàng)求和法，屬于基礎(chǔ)題.18隨著運(yùn)動和手環(huán)的普及和應(yīng)用，在朋友圈、運(yùn)動圈中出現(xiàn)了每天1萬步的健身打卡現(xiàn)象，“日行一萬步，健康一輩子”的觀念廣泛流傳.“健康達(dá)人”小王某天統(tǒng)計了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步數(shù)，并整理成下表：分組（單位：千步）頻數(shù)6014010060201802（1）請估算這一天小王朋友圈中好友走路步數(shù)的平均數(shù)（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；（2）若用表示事件“走路步數(shù)低于平均步數(shù)”，試估計事件發(fā)生的概率；（3）若稱每天走路不少于8千步的人為“健步達(dá)人”，小王朋友圈中歲數(shù)在40歲以上的中老年人有200人，其中健步達(dá)人恰有150人

14、，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表.根據(jù)列聯(lián)表判斷有多大把握認(rèn)為，健步達(dá)人與年齡有關(guān)？健步達(dá)人非健步達(dá)人合計40歲以上不超過40歲合計附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）千步（2）（3）答案見解析，有99.9%的把握認(rèn)為，健步達(dá)人與年齡有關(guān).【解析】（1）由計算可得解；（2）根據(jù)頻數(shù)分布表列式可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題得列聯(lián)表，計算，根據(jù)臨界值表可得答案.【詳解】（1）這一天小王朋友圈中好友走路步數(shù)的平均數(shù)為千步.（2）由頻率約等于概率可得.（3）根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下：健步達(dá)人非健步達(dá)人合計40歲以上15050200不超過40歲50150200合計200200400

15、，所以有99.9%的把握認(rèn)為，健步達(dá)人與年齡有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)頻數(shù)分布表求平均數(shù)，求頻率，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.19如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】（1）本題首先可以作線段中點(diǎn)并連接、，然后通過是線段中點(diǎn)、點(diǎn)為線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)為線段的中點(diǎn)證得、，再然后根據(jù)面面平行的判定得出平面平面，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)得出平面；（2）本題首先可以構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量以及平面的法向量，最后令二面角為，根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，作線段中點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，點(diǎn)為線段

16、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，三棱柱是直三棱柱，所以，因?yàn)?，直線平面，直線平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）如圖，以為原點(diǎn)、為軸、為軸、為軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，令二面角為，則，故結(jié)合圖像易知，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及二面角的余弦值的求法，考查根據(jù)面面平行證明線面平行，考查根據(jù)空間向量求二面角的余弦值，能否合理的構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.20已知橢圓：（）的離心率為，一個焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，是橢圓上

17、的兩個動點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上.試問：線段的垂直平分線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）線段的垂直平分線過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【解析】（1）根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，可得橢圓的方程；（2）設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線 ，代入，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，進(jìn)一步可求出直線的方程為，可知經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線也經(jīng)過點(diǎn).【詳解】（1）依題意可得，所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，即，由消去并整理得，設(shè)，則， 因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，所以，顯然，所以，所以，所以直線，即，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時

18、，直線也經(jīng)過點(diǎn)，所以線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的幾何性質(zhì)，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了直線過定點(diǎn)問題，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；（2）由（1）可知當(dāng)時，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）由條件得，令，則.當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增，即，在上為增函數(shù)，時滿足條件.當(dāng)時，令解得，在上，單調(diào)遞減，當(dāng)時，有，即，在上為減函數(shù)，不合題意.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由（1）得，當(dāng)，時，即，要證不等式，只需證明，只需證明，只需證，設(shè)，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，恒成立原不等式成立【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，