多元第三章 精品課件

1、多元課件第三章 第1頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二1第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗目 錄(二)3.3 多總體均值向量的檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗3.5 獨立性檢驗3.6 正態(tài)性檢驗 第三章所涉及的最大似然估計量小結 第2頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二2第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 當p1時，因 且相互獨立，故有 1. 兩總體協(xié)差陣相等(但未知)時均值向量的檢驗 設X()(1,n)為來自總體XNp(1),)的隨機樣本；Y()(1,m)為來自總體Y Np(2),)的隨機樣本,且相互獨立,未

2、知.檢驗第3頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二3第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 取檢驗統(tǒng)計量為 t (n+m-2) (在H0成立時) ,即 第4頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二4第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 推廣到p元總體,檢驗統(tǒng)計量的形式類似,可考慮以下檢驗統(tǒng)計量T2： 其中A1和A2是兩總體的樣本離差陣.它們是一元統(tǒng)計中的偏差平方和(X(i)-X)2在p元情況下的推廣.以下來證明統(tǒng)計量T 2 T 2 (p,n+m-2). 因 第5頁，共83

3、頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二5第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 由Wishart分布的可加性知 A1+ A2Wp(n+m-2,)，由T2統(tǒng)計量的定義3.1.5可知 第6頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二6第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 利用T2與F的關系，檢驗統(tǒng)計量取為 可以證明T2 (或F)統(tǒng)計量是檢驗以上假設H0的似然比統(tǒng)計量.(見習題3-10)第7頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二7第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3

4、多總體均值向量的檢驗-兩總體均值檢驗例子 為了研究日、美兩國在華投資企業(yè)對中國經營環(huán)境的評價是否存在差異,今從兩國在華投資企業(yè)中各抽出10家,讓其對中國的政治、經濟、法律、文化環(huán)境進行打分,評分結果見表3.2(表中1至10號為美國在華投資企業(yè)的代號,11至20號為日本在華投資企業(yè)的代號.數(shù)據來源于:國務院發(fā)展研究中心APEC在華投資企業(yè)情況調查). 解 比較日、美兩國在華投資企業(yè)對中國多方面的經營環(huán)境的評價是否有差異問題,就是兩總體均值向量是否相等的檢驗問題.(見yydy331a.sas或yydy331b.sas)第8頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二8第三章 多元正態(tài)

5、總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩總體均值檢驗例子 第9頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二9第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩總體均值檢驗例子 記美國在華投資企業(yè)對中國4個方面的經營環(huán)境的評價為4維總體X,并設XN4(1),).日本在華投資企業(yè)對中國經營環(huán)境的評價為4維總體Y,并設YN4(2),). 來自兩總體的樣本容量n=m=10.檢驗取檢驗統(tǒng)計量為 由樣本值計算得：X(64, 43, 30.5, 63), Y(51.5, 51, 40, 70.5),第10頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二10第

6、三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩總體均值檢驗例子進一步計算可得： 第11頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二11第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩總體均值檢驗例子對給定顯著性水平=0.01,利用統(tǒng)計軟件進行檢驗時，首先計算p值(此時檢驗統(tǒng)計量FF(4,15)： p=PF6.2214=0.0037 .因p值=0.00370.01=,故否定H0,即日、美兩國在華投資企業(yè)對中國經營環(huán)境的評價存在顯著性差異.在這種情況下,可能犯第一類錯誤,且犯第一類錯誤的概率為0.01.第12頁，共83頁，2022年，5月20日，1

7、3點40分，星期二12第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 2. 兩總體協(xié)差陣不等時均值向量的檢驗 在一元統(tǒng)計中(p=1時)，當12 22時,檢驗H0：(1)(2)也沒有很好的方法，以下介紹實用中的幾種方法. 當n=m時,作為成對數(shù)據進行處理.令Z(i)=X(i) -Y(i) (i=1,n)，化為單個p元總體Z的均值檢驗問題 H0：(1)(2) H0： Z0 利用前面介紹的方法進行檢驗. 注意：在這里兩組樣本相互獨立的信息沒有利用.第13頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二13第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值

8、向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體 當nm時(不妨設nm)：想法也是化為單個p元新總體的均值檢驗問題.若只取n對數(shù)據按方法處理,又將損失一些信息.改進的辦法是利用X(i) (i=1,n)和Y(j) (j=1,m)，構造新總體Z的樣本Z(i) ，令可以證明： 第14頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二14第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-兩個p元正態(tài)總體所以Z(i) N p(1)-(2),Z) (i1,n)，且相互獨立.利用前面介紹的單個正態(tài)總體均值向量的檢驗方法進行檢驗. 當1 , 2相差甚大時, 可構造近似檢驗統(tǒng)計量進行檢驗(見參考文獻1). 其

9、中第15頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二15第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析 多個正態(tài)總體均值向量的檢驗問題也稱為多元方差分析 . 設有k個p元正態(tài)總體Np(t),) (t1,k)，樣品 (t1,k,1,nt )是來自Np(t),)的隨機樣本，檢驗 H0:(1)(k)，H1:至少存在ij使得(i)(j) (即(1),(k)中至少有一對不等). 當p=1時,此檢驗問題就是一元方差分析問題,比如比較k個不同品牌的同類產品中一個質量指標X(如耐磨度)有無顯著差異的問題,我們把不同品牌對應不同總體(假定為正態(tài)總體),這種多組比較問題就

10、是檢驗問題.第16頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二16第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析 從第i個總體抽取容量為ni的隨機樣本如下(i=1,k;記n=n1+n2+nk)： 第17頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二17第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析(p=1) 當p=1時,利用一元方差分析的思想來構造檢驗統(tǒng)計量.記 則有平方和分解公式： SSTSSA+SSE 第18頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二18第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3

11、 多總體均值向量的檢驗多元方差分析(p=1) 直觀考察,若H0成立(即k個總體均值無顯著差異),當總偏差平方和SST固定不變時,應有組間偏差平方和 SSA小,而組內偏差平方和 SSE大,因而比值SSA/SSE應很小. 檢驗統(tǒng)計量取為 給定顯著性水平,按傳統(tǒng)檢驗方法,查F分布臨界值表得F滿足： PFF,否定域WFF .第19頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二19第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析 推廣到k個p元總體Np(t,) (假定k個總體的協(xié)差陣相等，且記為)，記第i個p元總體的數(shù)據陣為對總離差陣進行分解： 第20頁，共83頁，

12、2022年，5月20日，13點40分，星期二20第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析 其中 稱為組間離差陣. 故交叉項=O稱為組內離差陣. 第21頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二21第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析 根據直觀想法及用似然比原理得到檢驗H0的統(tǒng)計量為 由Wishart分布的定義容易得出: 因 Ai Wp(ni-1,)且相互獨立(i1,k),由可加性可得AA1+AkWp(n-k,) (n=n1+nk). 在H0下，TWp (n-1,). 還可以證明在H0下,BWp(k-1,),

13、且B與A相互獨立.第22頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二22第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析根據分布的定義，可知 給定顯著性水平,查Wilks分布臨界值表,可得,使 P，故否定域W . 當手頭沒有Wilks臨界值表時,可用2分布或F分布來近似,即由的函數(shù)的近似分布進行檢驗(見參考文獻1或2).第23頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二23第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗多元方差分析的例子 為了研究某種疾病,對一批人同時測量了四個指標:脂蛋白(X1)，甘油三酯(X2),脂蛋白(

14、X3),前脂蛋白(X4).按不同年齡、不同性別分為三組(20至35歲的女性、20至25歲的男性和35至50歲的男性),數(shù)據見書中表3.3.試問這三組的四項指標間有無顯著性差異? 解 比較三個組(k=3)的4項指標(p=4)間是否有差異問題，就是多總體均值向量是否相等的檢驗問題.設第i組為4維總體N4(i),)(i=1,2,3).來自3個總體的樣本容量n1=n2=n3=20.檢驗 H0: (1)(2)(3) H1:(1),(2),(3)至少有一對不相等. ( 見yydy332?.sas )第24頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二24第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3

15、 多總體均值向量的檢驗-兩總體均值檢驗例子 第25頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二25第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-多元方差分析的例子 因似然比統(tǒng)計量(p,n-k,k-1),此例中k-1=2,可以利用統(tǒng)計量與F統(tǒng)計量的關系,取檢驗統(tǒng)計量為F統(tǒng)計量：由樣本值計算得：X=(259.08, 84.12, 32.37, 17.8), 第26頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二26第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-多元方差分析的例子第27頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期

16、二27第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-多元方差分析的例子進一步計算可得對給定=0.01,利用統(tǒng)計軟件(如SAS系統(tǒng)),首先計算p值(此時檢驗統(tǒng)計量FF(8,108)： p=PF3.09007=0.003538.因p值=0.0035380.01=,故否定H0,這表明三個組的指標之間有顯著的差異.在這種情況下,可能犯第一類錯誤,且第一類錯誤的概率為0.01.第28頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二28第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-多元方差分析的例子 進一步地若還想了解三個組指標間的差異究竟是哪幾項指標引起的,

17、可以對4項指標逐項用一元方差分析方法進行檢驗,我們將發(fā)現(xiàn)三組指標間只有第一項指標X1有顯著差異. 事實上,用一元方差分析檢驗第一項指標X1在三個組中是否有顯著差異時,因 第29頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二29第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.3 多總體均值向量的檢驗-多元方差分析的例子其中t11和a11分別是T和A中的第一個對角元素. p1=PF18.8780=0.0004401(檢驗統(tǒng)計量F1F(2,57)p值=0.0004401顯著地小于0.01,故第一項指標X1在三個組中有顯著差異. 第30頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二30第

18、三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 設X()(=1,n)為來自p元正態(tài)總體Np(,)(0未知)的隨機樣本,檢驗 H0: 0(00為已知陣)，H1:0 1. 當0 Ip時檢驗H0:Ip，H1:Ip 利用似然比原則來導出檢驗統(tǒng)計量1 當Ip成立時,似然函數(shù)L(,Ip)在X達最大值.第31頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二31第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 所以似然比統(tǒng)計量 其中 第32頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二32第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢

19、驗-單個p元正態(tài)總體 利用定理3.2.1可知,當n很大且H0成立時, =-2ln1的近似分布為2(p(p+1)/2)，參數(shù)空間的維數(shù)為p+p(p+1)/2,而0的維數(shù)為p,故卡方分布的自由度為p(p+1)/2. 取作為檢驗統(tǒng)計量,按傳統(tǒng)檢驗方法,對給定顯著性水平,否定域為 2,其中2 滿足：P 2 =.第33頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二33第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 2. 當0 I p時檢驗H0 :0 ,H1 :0 因00，存在p階非退化陣D，使D0DI p， 令 Y()=DX ()(1,n)，則Y()N p(D，DD

20、)=N p(*，*)檢驗H 0 :0 H0 :* I p 從新樣本Y()(=1,n)出發(fā)，檢驗H0：*Ip的檢驗統(tǒng)計量取為記為第34頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二34第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 其中 若注意到D0DI p ,即第35頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二35第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 研究似然比統(tǒng)計量2的抽樣分布是很困難的.通常根據定理3.2.1由2的近似分布來構造檢驗法. 當樣本容量n很大，在H0成立時，-2ln2 的極限分布為2(p(p

21、+1)/2). 除此外在不同適用范圍下還有其它近似分布可用來構造檢驗法.則似然比統(tǒng)計量2還可以表示為 第36頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二36第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 3. 檢驗H0：20 (2 未知) 當0 Ip 時此檢驗常稱為球性檢驗.利用似然比原則來導出檢驗統(tǒng)計量3： 當2給定時,似然函數(shù)L(,20)在=X達最大值,且第37頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二37第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 可得出 第38頁，共83頁，2022年，5月20日，13

22、點40分，星期二38第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-單個p元正態(tài)總體 所以似然比統(tǒng)計量 或等價于 當樣本容量n很大，在H0為真時有以下近似分布： 第39頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二39第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體 設有k個總體Np(t),t)(t=1,k),X()(t)(t1,k;1,n t)來自第t個總體Np(t) ,t )的隨機樣本,記nn1+n2+nk. 檢驗H0 :1=2=k,H1 : 1, 2,k不全相等. 樣本 X()(t)的似然函數(shù)為似然比統(tǒng)計量4為 第40頁，共83頁，2022年，

23、5月20日，13點40分，星期二40第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體 第41頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二41第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體 則似然比檢驗統(tǒng)計量為( 其中 A=A1+Ak)第42頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二42第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體 根據無偏性的要求進行修正,將4中的ni用ni -1替代,n用n-k替代.然后對4取對數(shù),可得到統(tǒng)計量： 當樣本容量n很大時,在H0為真時M有以下近似分布： (1

24、-d)M=-2(1-d)ln4*2(f)其中 f=p(p+1)(k-1) /2,第43頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二43第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體(例) 例3.4.1 對例3.3.2表3.3中給出的身體指標化驗數(shù)據,試判斷三個組(即三個總體)的協(xié)差陣是否相等(=0.10) 解 這是三個4維正態(tài)總體的協(xié)差陣是否相等的檢驗問題.設第i組為4維總體N4(i),i)(i=1,2,3).來自三個總體的樣本容量n1=n2=n3=20.檢驗H0:123,H1:1,2,3至少有一對不相等.在H0成立時,取近似檢驗統(tǒng)計量為2(f)統(tǒng)計量：

25、由樣本值計算三個總體的樣本協(xié)差陣： 第44頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二44第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體(例) 第45頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二45第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體(例) 第46頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二46第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體(例) 進一步計算可得 第47頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二47第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3

26、.4 協(xié)差陣的檢驗-多個p元正態(tài)總體(例) 對給定=0.10,利用統(tǒng)計軟件(如SAS系統(tǒng))，首先計算p值(設檢驗統(tǒng)計量2(20)：p=P 20.331621=0.4373646.因p值=0.43736460.10=，故H0相容,這表明三個組的協(xié)差陣之間沒有顯著的差異.第48頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二48第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 -多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同時檢驗 設有k個總體Np(t),t)(t=1,k), X()(t)(t1,k; 1,nt)來自第t個總體Np(t ,t )的隨機樣本,記nn1+n2+nk. 檢驗 H0 : (1) = (

27、2) = =(k) =, 1=2=k = , H1 : (1) , (2) , ,(k) 或1, 2,k不全相等.記 第49頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二49第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 -多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同時檢驗 似然比統(tǒng)計量5為 第50頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二50第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 -多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同時檢驗 則檢驗以上假設H0的樣本 X(t)() 似然函數(shù)為第51頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二51第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4

28、-多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同時檢驗 若用表示當協(xié)差陣均相同時檢驗k個總體均值向量是否相等的似然比統(tǒng)計量，將發(fā)現(xiàn)這里的檢驗統(tǒng)計量5=4 . 在實際應用中我們采用類似的修正方法，在5中用nt-1替代nt，用n-k替代n.修正后的統(tǒng)計量記為5*:第52頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二52第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 -多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同時檢驗 當樣本容量n很大，在H0為真時5*有以下近似分布： 其中 第53頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二53第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 -多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同

29、時檢驗 例3.4.2 對例3.3.2表3.3給出的身體指標化驗數(shù)據，試判斷三個組(即三個總體)的均值向量和協(xié)差陣是否全都相等(=0.05)? 解 這是三個4維正態(tài)總體的均值向量和協(xié)差陣是否同時相等的檢驗問題.取近似檢驗統(tǒng)計量為近似2統(tǒng)計量： =-2(1-b)ln5* 2( f ).由樣本值計算三個總體的樣本協(xié)差陣見例3.4.1,所有樣本的總離差陣T見例3.3.2.進一步計算可得第54頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二54第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.4 -多個正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的同時檢驗 對給定=0.05,利用統(tǒng)計軟件(如SAS系統(tǒng)),首先計算p值(設檢驗

30、統(tǒng)計量 2(28)： p=P 43.1408= 0.03373.因p值=0.033730.05=,故否定H0,這表明三個組的均值向量和協(xié)差陣之間有顯著的差異.在這種情況下,可能犯第一類錯誤,且第一類錯誤的概率0.05.第55頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二55第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗 設總體XNp(,),將X剖分為k個子向量,而和也相應剖分為其中p= p1+ pk,且知pt維子向量X(t)Npt(t),tt) (t1,k). 若k個隨機子向量相互獨立,把p維(高維)隨機向量的問題化為k個低維隨機向量的問題來處理，在處理多元統(tǒng)計分析的許多問題

31、中將帶來極大的方便.第56頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二56第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗 在第二章我們已介紹過若X(1),X(k)相互獨立,則有ij O(對一切ij).因此檢驗X(1),X(k)是否相互獨立的問題等價于檢驗對任二個子向量,其協(xié)差陣ij 是否等于O(對一切ij). 在正態(tài)總體下，獨立性檢驗可化為檢驗H0: ij O(一切ij),H1: ij O,至少有一對ij. 設X(t)(t1,n，np)為來自總體X的隨機樣本.將樣品X(t) ,樣本均值X和樣本離差陣A作相應剖分為第57頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期

32、二57第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗 用似然比原理,在H0成立時, X(t)() Npt(t),tt )(t1,k; 1,n) 且相互獨立，故樣本的似然函數(shù)為 所以似然比統(tǒng)計量的分子為第58頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二58第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗 似然比統(tǒng)計量為Box證明了,在H0成立下當n時,-blnV2(f),其中 第59頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二59第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗-例 例3.4.1 試檢驗例3.2.1女性汗液數(shù)據中隨機向量X的三個分量是否相

33、互獨立(=0.05). 解 記隨機向量X=(X1,X2,X3),假定XN3(,),且記=(ij).檢驗 H0:12=0,13=0,230, H1: 12,13,23不全為0. 取檢驗統(tǒng)計量為 當X的三個分量相互獨立，且樣本容量n很大時,近似于2(f) . 第60頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二60第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗-例 由表3.1的樣本值計算樣本離差陣A，可得： 此例中n=20, p=3, p1=p2=p3=1, k=3.進一步計算可得: b=17.1667, f=3,第61頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二6

34、1第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.5 獨立性檢驗-例 對給定顯著性水平=0.05,用統(tǒng)計軟件SAS系統(tǒng)計算時，通過計算p值進行檢驗： p=P9.7555=0.02076.因p值=0.020760.05=，故否定H0，即隨機向量的三個分量不相互獨立.在這種情況下，可能犯第一類錯誤，且第一類錯誤的概率為0.05.第62頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二62第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6 正態(tài)性檢驗 在均值和協(xié)差陣的檢驗中,以及以后將介紹的一些統(tǒng)計方法中都是假定樣本來自p元正態(tài)總體.所作統(tǒng)計推斷的結論是否正確,在某種意義上取決于實際總體與正態(tài)總體接近的程度如何

35、?因此建立一些方法來檢驗多元觀測數(shù)據與多元正態(tài)數(shù)據的差異是否顯著是十分必要的.設X()(X1 , , Xp) (1,n)是來自p元總體X的樣本,試問總體X是否服從Np(,)分布? 若總體X(X1,Xp)Np(,),利用多元正態(tài)分布的一些性質可知(記=(1,p),=(ij)pp )： 第63頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二63第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6 正態(tài)性檢驗 每個分量XiN(i,ii) (i1，p). 任二個分量(Xi , Xj )二元正態(tài)分布. 設l=(l1,lp)為任給的p維常向量,令lX,則N1( l，ll ). 令=(X-)-1(X-),則2

36、(p). 正態(tài)隨機向量X的概率密度等高線為橢球. 若總體X為多元正態(tài)總體,必具有以上所列的幾條性質.如果X具有以上這些性質,也不一定能得出X為p元正態(tài)分布.但如果經過檢驗,比如發(fā)現(xiàn)某個分量Xi與正態(tài)分布有顯著差異,即可得出p元總體X與p元正態(tài)分布也有顯著差異.利用以上性質,要來構造出好的滿意的多元正態(tài)的整體性檢驗十分困難.第64頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二64第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗 在實際應用中如果經過從多方面得到的檢驗結果與正態(tài)分布均無顯著性差異，也就認為該總體X與p元正態(tài)無顯著差異. 設p維隨機向量X(X1

37、,Xp),檢驗分量XiN(i,2) (i1，p) ，把p維正態(tài)性檢驗化為p個一維數(shù)據的正態(tài)性檢驗.常用的檢驗方法有以下幾種. 1. 2檢驗法 這是適用于連續(xù)型或離散型隨機變量分布的擬合優(yōu)度檢驗方法，也稱為Pearson 2 檢驗法. 2. 柯氏(Kolmogorov,A.N.)檢驗法 這是適用于連續(xù)型分布的擬合優(yōu)度檢驗方法.第65頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二65第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-一維邊緣分布的正態(tài)性檢驗 3. 偏峰檢驗法 4. W (Wilks)檢驗和D檢驗 5. Q-Q (QuantileQuantile)圖檢驗法 6. P-P

38、 (ProbabilityProbability )圖檢驗法 7. “3”原則檢驗法 8. A2和W2統(tǒng)計量檢驗法 方法3至方法8都是只適用于正態(tài)分布的檢驗法.第66頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二66第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-二維數(shù)據的正態(tài)性檢驗 設X(X1,Xp) 為p維隨機向量,X的任二個分量的n次觀測數(shù)據記為X(i)=(Xi1,Xi2)(i=1,n).下面介紹檢驗二維觀測數(shù)據是否來自二元正態(tài)分布的方法. 1. 等概橢圓檢驗法 若二維隨機向量X=(X1,X2)N2(,),則X的概率密度函數(shù)等高線 f(x1,x2)a (X-)-1(X-)

39、b2右邊是中心在(1,2)由(X-)-1(X-)b2決定的橢圓.由本章3.1的介紹的知識可知 D2(X-)-1(X-)2 (2).對給定p0(0，1)，則存在d0使 P D2 d0p0 注：此檢驗法較粗糙，詳見教材P99例第67頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二67第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-二維數(shù)據的正態(tài)性檢驗 2. 二維數(shù)據的2圖檢驗法 因二維數(shù)據的2圖檢驗法與p維數(shù)據的2圖檢驗法原理完全相同.故關于二維數(shù)據的2 圖檢驗方法請參閱下面p維數(shù)據的2圖檢驗方法.第68頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二68第三章 多元正態(tài)總

40、體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-p維數(shù)據的正態(tài)性檢驗 設X()(X1 , , Xp) (1,n)是來自p元總體X的樣本, 檢驗H0: XNp(,)，H1:X不服從Np (,). 1. 2統(tǒng)計量的Q-Q圖檢驗法(或P-P圖檢驗法) 這是由正態(tài)分布的性質構造的檢驗法. 在H0下,樣品X到總體中心的廣義平方距離(或稱馬氏距離)D2(X,)記為D2 ，則有 D2 (X-)-1(X-)2(p)以下構造的檢驗方法就是檢驗統(tǒng)計量D2是否2(p).直觀的想法是：由樣品X()計算D2(1,n)，對D2排序： 第69頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二69第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗

41、3.6正態(tài)性檢驗-p維數(shù)據的正態(tài)性檢驗 D2(1) D2(2) D2(n) .統(tǒng)計量 D2 的經驗分布函數(shù)取為 其中H(D2(t) |p)表示2 (p)的分布函數(shù)在D2(t)的值. 設2 分布的pt分位數(shù)為t2 ,顯然t2滿足: H(t 2 |p)= pt.即2 分布的pt 分位數(shù)t2 H-1(pt |p). 由經驗分布得到樣本的pt 分位數(shù)D2(t)=Fn-1(pt ).若H(x|p) Fn(x)，應有D2(t) t2 ,繪制點(D2(t) , t2 )的散布圖,當X為正態(tài)總體時,這些點應散布在一條直線上. 第70頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二70第三章 多元正態(tài)

42、總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-p維數(shù)據的正態(tài)性檢驗 這種檢驗法其實就是卡方分布的Q-Q圖檢驗法. 類似地也可以繪制點(pt , H(D2(t) |p)的散布圖，當X為正態(tài)總體時，這些點也應散布在一條直線上.這種檢驗法其實就是卡方分布的P-P圖檢驗法. 具體檢驗步驟如下： (1) 由n個p維樣本點X() (1,n)計算樣本均值X，樣本協(xié)差陣S：第71頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二71第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-p維數(shù)據的正態(tài)性檢驗 (2) 計算樣品點X(t)到X的廣義平方距離(即馬氏距離) (3) 對廣義平方距離D2t 按從小到大的次序排序 (4) 計算pt(t-0.5)/n (t=1, 2，n) ,t2 ,其中t2滿足： H(t2 |p)= pt (或計算H(D2(t)|p)的值).第72頁，共83頁，2022年，5月20日，13點40分，星期二72第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗3.6正態(tài)性檢驗-