解析幾何中簡化運算的策略

1、解析幾何中簡化運算的七種策略學(xué)了解幾以后，大部分同學(xué)都有這樣的感受：思路易得，結(jié)果難求.的確如此，運算量太大了，即使想通了，也算不出或者很難算出結(jié)果，這在很大程度上影響了同學(xué)們學(xué)習(xí)的信心，導(dǎo)致成績再次出現(xiàn)明顯的分化.其實，相當(dāng)一部分解幾問題的運算量與選擇的解題方法有關(guān)，只要把握問題本質(zhì)，精心構(gòu)思，就可以獲得簡捷明快的解題方法，不僅簡化或避免復(fù)雜的運算、提高效率，而且能訓(xùn)練思維、開發(fā)智力、增強信心.下面談?wù)劷鈳字泻喕\算的常用策略，供參考.一、回歸定義，彰顯本質(zhì)我們解決問題，總是希望尋找到最簡單又不失本質(zhì)的原理與方法，而這方面非“定義”莫屬.只要對問題進行深刻挖掘，彰顯本質(zhì)，然后利用定義解題，達

2、到巧思妙解.例1. 設(shè)，為圓上的動點，且在線段上，滿足，求點的軌跡方程解：由想得到在上取點使，即取點，則且，根據(jù)圓的定義知：點的軌跡是以為圓心、半徑為1的圓.所以點的軌跡方程為：評注：本題的常規(guī)思路是代入法，即設(shè)，由于，而 即 PPoRMQ例2設(shè)是拋物線的焦點，直線過交拋物線于兩點，點滿足條件；(1)證明：以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切;(2)若是拋物線上一點，且+的最小值為5，求的值A(chǔ)ABA11CC11B1解：（1）設(shè)中點為，分別過點， 作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線定義可知： ，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切過作于，交拋物線于點，則為所求. ，代入中，評注：如果不用拋物線的定義，就勢必用點到直

3、線距離公式和兩點間的距離公式，如（2）中，在求最小值時，遇到了兩個根式函數(shù)和的最值問題，相當(dāng)復(fù)雜.例3圓上動點與點的連線的垂直平分線交于點，求點的軌跡方程.解： 連接，則，則，點的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓.oCMBoCMBG評注：在運算之前，先探討出點軌跡就是一個確定的橢圓，然后運用橢圓的定義，直接寫出方程，回避了求交點的復(fù)雜運算.二、設(shè)而不求，整體推進求交點需要解方程組，一般比較麻煩，若設(shè)出交點坐標(biāo)，應(yīng)用“點差法”或用韋達定理進行整體處理，可以避免求交點，簡化運算.例4， 設(shè)是圓外部一點，過作圓的兩條切線，為切點，求證：直線的方程為.ooPBA解：設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，由于切線

4、過，所以，因為兩點坐標(biāo)均適合方程，所以直線的方程為評注：連接，則得四點共圓，這個圓的直徑為，方程為AB即為兩圓的共弦方程為， 即 . 這個辦法，同樣也回避了求切點的坐標(biāo)，相對也比較簡單.例5. 射線、方程分別為和，線段，它的兩個端點分別在上移動，求中點的軌跡方程.解：設(shè)， ， 又設(shè)，則，由得 即 所以，評注：設(shè)出動點的坐標(biāo)，利用中點的坐標(biāo)公式和兩點間距離公式，進行整體處理是本題獲得簡便解法的關(guān)鍵.例6.設(shè)橢圓上存在兩個不同的點、關(guān)于直線對稱，試求實數(shù)的取值范圍.解：設(shè)，則有，兩方程做差，可得：-（1），又設(shè)中點為M，則有，又有代入（1）中得：-（2）又在直線上，-（3）由（2）（3）得即由于在

5、橢圓里，所以有，oBAM評注：與弦中點有關(guān)的問題通常可以設(shè)出弦端點的坐標(biāo)，代入方程后作差，即“點差法”.“點差法”中，與中點有關(guān)，與斜率有關(guān)，一箭雙雕oBAM oPBAQ（-2，-1）例7、橢圓上有兩個點oPBAQ（-2，-1）求證: 為定值.求中點的軌跡方程.解：（1）設(shè)則有由（3）（4）得（2）.設(shè)中點為M則有，： 即中點軌跡方程為評注：設(shè)出坐標(biāo)，進行整體處理，以簡馭繁，出奇制勝.三、動中求靜，數(shù)形結(jié)合運動是絕對的，靜止是相對的.運動變化的事物，其中必有不變的因素，而這不變的因素常常是解決問題的突破口，動中求靜是我們解題的一個策略.數(shù)無形少直觀，形無數(shù)難入微，數(shù)形結(jié)合相得益彰.例8、已知直

6、線與直線相交于點，且點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍.解：動直線經(jīng)過定點Q（-2，-1），定直線與軸交點分別為.欲使點在第一象限，必須，即，評注：動中窺定，再利用幾何直觀是本題簡化運算的關(guān)鍵.而求出交點坐標(biāo)，再解不等式組，其運算量太大.例9、已知、，分別以為圓心，以2和1為半徑作圓和圓，求兩圓外公切線交點的坐標(biāo).解：設(shè)外公切線(、為切點)與連心線的交點為P(即為外公切線的交點).則有：.而、.由定比分點公式得：.評注：求出兩條外公切線，然后求出交點P的坐標(biāo)，思路自然，運算很繁瑣，.而運用圖形性質(zhì)，顯得“柳暗花明”.例10、設(shè)圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為31，在滿足

7、條件、的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.解： 設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90，圓P截x軸所得的弦長為r，故r=2b.又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r=a+1.從而得2b-a=1.又點P(a，b)在雙曲線上，要使點到直線的距離最小，只需經(jīng)過雙曲線上的點P(a，b)的切線：與平行，則應(yīng)有，解此方程組得或.又由r=2b知r=.于是，所求圓的方程是(x-1) +(y-1) =2或(x+1) +(y+1) =2.評注：由于圓的特殊性，所以處理圓的問題應(yīng)充分利用圓的性質(zhì).另外，

8、平行切線法求曲線上的點到定直線距離的最值，很方便，應(yīng)多加體會.例11、直線交雙曲線（）交于兩點，交雙曲線漸近線與兩點.求證：.證明：設(shè)直線方程為，又設(shè)中點為，再設(shè)，又設(shè)中點為同理可由韋達定理得，所以與的中點重合，即.當(dāng)直線垂直軸時，結(jié)論顯然成立.評注：若解出四點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式運算極其繁瑣，幾乎不可能解出此題.四換元引參，迂回向前根據(jù)解題的需要，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)或應(yīng)用曲線（直線）的參數(shù)方程，可以將問題進行轉(zhuǎn)化，避開復(fù)雜的運算.例12過點作直線交軸的正半軸于兩點，當(dāng)最小時，求直線的方程.解：如圖，設(shè)（0），則 當(dāng) 即 時， 最小，這時的方程為： 即評注：若設(shè)方程為，求出，然后用兩點間距離公

9、式考察的最小值，而是兩個根式函數(shù)的積，明顯麻煩.例13.已知橢圓，是橢圓上兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，證明解：設(shè)，則中點， 的中垂線方程為：將坐標(biāo)代入得，且， ，評注：由于要證的是不等式，由此聯(lián)想到正余弦函數(shù)的有界性，進而使用橢圓的參數(shù)方程求解.使用參數(shù)方程時，要注意對參數(shù)范圍的約定.是拋物線上的一點，以為邊作正方形，求點的軌跡方程.解：設(shè)，設(shè)R(x,y).則 或 在拋物線上， 或 消去得或評注：通常的想法是設(shè)、，然后溝通與的關(guān)系，由于，所以用“代入法”可以得到點的軌跡方程，但這里的關(guān)系難以溝通.引入角參數(shù)，借助三角知識，化難為易.例15. 自引直線交拋物線于兩點，在上取一點，使三者的倒

10、數(shù)成等差數(shù)列，求點的軌跡方程.解：設(shè)： （為傾角，為參數(shù)） 代入中得 = 1 * GB3 即 或 = 2 * GB3 設(shè)Q對應(yīng)的參數(shù)為，則 由于在上位于的同側(cè)， 即 = 3 * GB3 由 = 2 * GB3 得 將 = 3 * GB3 化為普通方程得 評注：過定點作二次曲線的割線，運用直線的參數(shù)方程，通過參數(shù)來處理線段長問題，回避了距離公式，顯得事半功倍.五巧設(shè)方程，出奇制勝依據(jù)所求曲線的特征，設(shè)它們合適的方程形式，有時可以免求交點，有時可以簡化運算.如應(yīng)用曲線系方程等.求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為 即 圓心為 代入直線中得 解得圓的方程為 即 評注:

11、運用曲線系方程可以免求交點，減少運算量.一般地，曲線，則曲線 （為參數(shù)）必通過與的交點.例17.求以橢圓的焦點為焦點，以直線為漸近線的雙曲線的方程.解： 設(shè)所求雙曲線方程為 ， 漸近線為 故所求的雙曲線方程為評注：運用共焦點的曲線系方程，可以避免求圓錐曲線的基本量，減少運算量，一般地： = 1 * GB3 與橢圓共焦點的橢圓方程為 = 2 * GB3 與橢圓共焦點的雙曲線方程為 = 3 * GB3 與雙曲線共焦點的雙曲線的方程為 = 4 * GB3 與雙曲線共焦點的橢圓方程為例18. 過點作橢圓的弦 若為弦的中點，求弦所在直線的方程 若為弦的一個三等分點時，求弦所在直線的方程解：設(shè) （為參數(shù)，

12、為傾角） 代入中得 為弦中點時， 即 為弦三等分點時， 或 即 或 同時 或 則 即 的方程為 評注：在（1）中，由于為中點，故還可以用“點差法”求解，而（2）中的為三等分點，點差法就不適用了.六辯證思維、高屋建瓴在數(shù)學(xué)解題時，常用的辨證思維有：正難則反、進難則退、動中求靜、分合相輔等，辨證思維不僅能將問題簡化，以簡馭繁，還能讓解題者充滿睿智.例19.為何值時，三條直線， 能夠成三角形？解： 考慮不夠成三角形的情形 當(dāng)/時， 當(dāng)/時， 當(dāng)/時， 無解 當(dāng)三線交于一點時， 代入得、-1 所以當(dāng)，-1、 時不構(gòu)成三角形 當(dāng) 時能夠成三角形評注：正難則反，當(dāng)問題的求解比較困難或涉及的情形較多時，不妨

13、從反面思考，然后用補集原理，可以獲得簡明的解法.例20， 過拋物線的頂點作互相垂直的兩弦求中點的軌跡方程求頂點在上射影的軌跡方程解： 設(shè)斜率為，由 得 又斜率為，用代中的 ， 得 設(shè)中點為， 則oACBM消去得oACBM ： 顯然過定點點軌跡是以為直徑的圓 點的軌跡方程是評注：對于求點的坐標(biāo)，沒有必要再去解一次方程組，因為它與坐標(biāo)之間僅有斜率的差別.而發(fā)現(xiàn)動弦通過定點，則是問題（2）的獲得簡捷解法的突破口.例21.雙曲線中心在原點，焦點在軸上，過雙曲線的焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點且，求雙曲線的方程.解： 設(shè)所求雙曲線方程為， ， 的方程為 即 = 1 * GB3 又 即 = 2 * GB

14、3 由 得 用韋達定理，將代入 = 1 * GB3 ， 并由 得 再由 = 2 * GB3 得 ， 所以所求雙曲線方程為 評注：先分別對條件進行轉(zhuǎn)化，然后進行整體聯(lián)想，分合并舉，思路簡捷，運算通暢.七應(yīng)用結(jié)論，事半功倍站在巨人的肩上會看得更遠(yuǎn).解題時靈活應(yīng)用一些重要的結(jié)論，能夠避開推導(dǎo)這些結(jié)論的過程，提高效率和正確率，起到事半功倍的效果.例22. 已知、，點在拋物線上移動，求的重心的軌跡方程解： 設(shè)， 則 由三角形重心公式 即 即 評注：利用三角形的重心公式，迅速溝通了與之間的關(guān)系，使得解題過程流暢、提高了解題效率.例23. 經(jīng)過雙曲線的右焦點作傾角為的直線和雙曲線交于兩點，為坐標(biāo)原點，是弦中點 （1） 求直線的斜率 （2）求 （3） 求三角形的面積解： （1）： 代入雙曲線方程中得 設(shè)、 、， 則， （2）， 由