(補充講義)一元一次方程的應用(教師版)

1、 TOC o 1-5 h z 一元一次方程的應用 1知識框架 2一、基礎知識點 2知識點1列方程解應用題的合理性 2知識點2建立書寫模型常見的數(shù)量關系 3知識點3分析數(shù)量關系的常用方法 3二、典型題型 6題型1和差倍分問題 6題型2總（分）量問題 6題型3調(diào)配問題 7題型4配套問題 7題型5分段計費問題 8題型6方案優(yōu)化問題 9題型7利潤問題、打折問題、盈虧問題 9題型8儲蓄問題 10題型9行程問題 11題型10工程問題 12題型11等積問題 13題型12數(shù)字問題 13題型13積分問題 14三、培優(yōu)題型16題型1設輔助未知數(shù) 16題型2商品銷售問題（復雜） 16題型3行程問題（復雜） 17題型

2、4工程問題（多個未知數(shù)） 19題型5濃度問題 20知識框架（冽方程解應用題的合理性基礎知識點，建立書寫模型常見的熟量關系必折愛數(shù)量關系的常用方法分段計將問題方案優(yōu)化問題理型題型彳利潤問題. 打折問題 儲蓄問題行程問題工程問題 等積問題 數(shù)字問題I積分問題設輔助未知數(shù)商品銷售問題（盒希 魔點題型彳行程問題復雜工程問題（多個未知數(shù)）.。度問題、基礎知識點知識點1列方程解應用題的合理性列方程解實際問題，對于方程的解轉(zhuǎn)為為實際問題的解答，一定要注意檢驗它是否符合實際情況。若不 符合，必須舍去。有時，要根據(jù)實際問題與數(shù)學問題的區(qū)別，對實際問題的解進行修正。同時，在設與答 時，單位要同一。例1.一隊學生去

3、校外進行軍事訓練，他們以達給隊長，通訊員從學校出發(fā)，騎自行車以5千米/小時的速度行進，走了 18分鐘，學校要將一緊急通知傳14千米每小時的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學生隊伍?【答案】設經(jīng)過x小時可以追上學生隊伍18 分=0.3h依據(jù)題意，等量關系式為：學生走的路程=通訊員走的路程方程為：5 (0.3+x) =14x11解得：X=7&L7-=10minE1b答：需要10分鐘追上隊伍。本題中，時間單位不統(tǒng)一，需要先換算成相同的時間單位，在進行計算。知識點2建立書寫模型常見的數(shù)量關系1）公式形數(shù)量關系生活中許多數(shù)學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中

4、的信息，準確聯(lián)想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。長方形面積=長X寬長方形周長=2 （長+寬）正方形面積=邊長X邊長正方形周長=4邊長2）約定型數(shù)量關系利息問題，利潤問題，質(zhì)量分數(shù)問題，比例尺問題等涉及的數(shù)量關系，像數(shù)學中的公式，但常常又不算數(shù)學公式。我們稱這類關系為約定型數(shù)量關系。3）基本數(shù)量關系在簡單應用情景中，與其他數(shù)量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關系稱為基本數(shù)量關系。單價X數(shù)量=總價速度x時間=路程工作效率x時間=總工作量等。例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分鐘后船員發(fā)現(xiàn)救生圈落水，船掉頭追趕救生圈,幾分鐘能夠追

5、上救生圈（調(diào)轉(zhuǎn)船頭時間不計）？【答案】設x分鐘能夠追上救生圈，船靜水的速度為v1,水流速度為v2依據(jù)題意，等量關系式為：救生圈走的路程 =船走的路程v2- （5+x） =x- 解得：x=5答：需要5分鐘追上救生圈。常見的幾種等量關系公式，我們需要熟練掌握知識點3分析數(shù)量關系的常用方法1)譯式法分析數(shù)量關系將題中關鍵性的數(shù)量關系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。例1. 一個三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1,個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字的3倍少2,若將個位與百位數(shù)字調(diào)換位置后，所得的三位數(shù)與原來三位數(shù)的和是1171,求這個三位數(shù)?！敬鸢浮吭O原十位數(shù)

6、字為 x,則百位數(shù)字為x+1,個位數(shù)字為3x 2依據(jù)題意，等量關系式為：原來三位數(shù)+變換后的三位數(shù)=1171100 (x+1) +10 x+ (3x 2) +100 (3x 2) +10 x+ (x+1) =1171解得：x=3故原數(shù)百位數(shù)為：3+1=4,十位數(shù)為：3,個位數(shù)為3X3 2=7三位數(shù)為：437譯式法時最常見的列寫等式方程的方法之一2)列表分析數(shù)量關系當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關系。例2.超市以每支4元的價格購進100支鋼筆，賣出時每支的標價為6元，

7、當賣出一部分鋼筆后，剩余的以9折出售，賣完時超市盈利188元，其中打9折的鋼筆有幾支？【答案】題干中數(shù)量比較多，利用列表法分析數(shù)量關系售價(元)數(shù)量(支)售出總價(元)按標價出售6100-x6 (100-x)打折出售6X 90%x6 x 90%x設有x支鋼筆打9折，則不打折的鋼筆為(100 x)支依據(jù)題意，等量關系式為：售出的費用一進貨費用=利潤6 (100 x) +690%Y100 4=188解得：x=20答：有20支鋼筆打折出售。3)圖解法分析數(shù)量關系用圖形表示題目中的數(shù)量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。例3.甲、乙兩人相距

8、285m,相向而行，甲從 A地除法每秒走8米，乙從B地出發(fā)每秒走6米。如果甲先走 12米，那么甲出發(fā)幾秒后與乙相遇?【答案】在行程問題當中，我們往往利用圖解法來分析題干中的等量關系設甲出發(fā)x秒后與乙相遇依據(jù)題意，等量關系為：甲走的距離+乙走的距離=2858x+6 (x-) =285解得：x=21答：甲出發(fā)21秒后與乙相遇二、典型題型題型1和差倍分問題解題技巧：此類題型，需要弄清楚“倍數(shù)”“多” “少”等關系。(1)甲是乙的a倍：甲=乙* a(2)甲比乙多甲=乙* (1+3 aa,(3)甲比乙少甲=乙* (1-1) aa例1.今年收入比去年提高 20%,今年人均收入比去年的 1.5倍少1200元

9、，求去年的人均收入是多少？【答案】設去年的人均收入為x元，則今年收入為(1+20%) x元依據(jù)題意，等量關系式為：今年收入=去年收入X 1.5-1200(1+20%) x=1.5x - 1200解得：x=4000答：去年人士!收入為 4000元。例2.把一根長100cm的木棍據(jù)成兩段，使其中一段長比另一段的2倍少5cm,求分成的兩段木棍的長度?！敬鸢浮吭O一根長為 xcm,則另一根長為(100 x) cm依據(jù)題意，等量關系式為：一根長=另一根長X 2-5x=2 (100 x) - 5解得：x=65則另一根木棍長為：100 65=35cm答：一根木棍長為 65cm ,另一根木棍長為 35cm。題型

10、2總(分)量問題解題技巧：此類題型，總量始終是不變的量，類似與工程問題，多利用這個不變量來列寫等式方程。例1.把一批圖書分給同學，若每人分3本，則剩下20本；若每人分4本，則還差25本。問有多少同學?【答案】無論如何分，同學數(shù)量不變，圖書數(shù)量始終不變。則等量關系式為：第一種方法分書時書本數(shù)量=第二種方法分書時書本數(shù)量設有x名同學。3x+20=4x 25解得：x=45答：有45名同學。例2.用A型機器和B型機器生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，5臺A型機器生產(chǎn)一天的產(chǎn)品裝滿8箱后還剩4個；7臺B型機器生產(chǎn)一天的產(chǎn)品裝滿11箱后還剩1個，每臺A型機器比B型機器一天多生產(chǎn)1個產(chǎn)品，求每箱產(chǎn)品有多少個產(chǎn)品？【答案】每箱

11、產(chǎn)品的數(shù)量始終是不變的，利用這個不變的關系，可以求解出A型機器和B型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。然后利用 A型機器比B型機器多生產(chǎn)1個產(chǎn)品列等量關系是。依據(jù)題意，等量關系是為：1臺A型機器每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量 =1臺B型機器每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量 +1 設每箱產(chǎn)品有x個”.、1T （8x+4）=二（11x+1） +1 &7解得：x=12答：每箱產(chǎn)品的數(shù)量為 12個。題型3調(diào)配問題解題技巧：調(diào)配問題中，調(diào)配前后總量始終保持不變，可利用這個關系列寫等式方程，有時又在調(diào)配前后的變化中找等量關系。調(diào)出者的數(shù)量=原有的數(shù)量一調(diào)出的數(shù)量調(diào)進者的數(shù)量=原有的數(shù)量+調(diào)入的數(shù)量例1.第一組有36人，第二組有24人。因工作需要，從

12、第二組調(diào)了幾個人到第一組，結果第一組的人數(shù)是第二組的2倍，求從第二組調(diào)了幾人到第一組。【答案】調(diào)動前后，第一組人數(shù)增加，第二組人數(shù)對應減少。依據(jù)題意，等量關系式為：調(diào)動后第一組人數(shù)=調(diào)動后第二中人數(shù)X 2設從第二種調(diào)動了 x人到第一組，則第一組人數(shù)為（36+x）人，第二組人數(shù)為（24x）人36+x=2 （24x）解得：x=4答：從第二組調(diào)4人到第一組例2.第二組比第一組人數(shù)的 士少30人，從第二組調(diào)出10人到第一組，那么第一組的人數(shù)比第二組多60人,求第一組原來有多少人？【答案】調(diào)動前后，第一組人數(shù)增加10人，第二組人數(shù)對應減少 10人。依據(jù)題意，等量關系式為：調(diào)動后第一組人數(shù)=調(diào)動后第二中人

13、數(shù)+60設原來第一組有x人，則第二組原來有（x- 30）人。一 * _ x+10= （zx 30） 10+60解得：x=50答：第一組原來有 50人。題型4配套問題解題技巧：因工藝上的特點，某幾個工序之間存在比例關系，需這幾道工序的成對應比例才能完全配套完成，這類題型為配套問題。配套問題，主要利用配套的比例來列寫等式方程。例1.某水利工程派35人去挖土和運土，如果每人每天挖2方或運3方土，那么應該怎么安排人員，正好使挖出的土能及時運走？【答案】挖土與運土之間的比例為2:3,要能夠剛好把挖出的土運走，則挖出的土和運走的土相同依據(jù)題意，等量關系式為：挖出的土=運走的土設x人挖土，則（35 x）人運

14、土2x=3 （35 x）解得：x=21則運土人數(shù)為：35-21=14答：士 21人，運土 14人。例2.某車間有工人68人，平均每人每天可以加工大齒輪8個或小齒輪10個，又知一個大齒輪和三個小齒輪配為一套，問應該如何安排勞力使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？【答案】大齒輪和小齒輪的數(shù)量比為1:3依據(jù)題意，等量關系式為：大齒輪生產(chǎn)數(shù)量：小齒輪生產(chǎn)數(shù)量=1:3設分配x人生產(chǎn)大齒輪，則（68-x）人生產(chǎn)小齒輪8x： 10 (68 x) =1:3解得： x=20則生產(chǎn)小齒輪人數(shù)為：68 20=48 人答：生產(chǎn)大齒輪20 人，小齒輪48 人。題型 5 分段計費問題解題技巧：此類題型，收費往往因為不同的分段，標準會不

15、一樣。因此，在列寫此類問題的等式方程時，需要先依據(jù)題意將路程進行合理分段，然后在按照不同分段中的收費標準列寫等式方程。例 1. 某種出租車的收費標準是：起步價7 元（即行駛距離不超過3 千米需付7 元車費） ，超過 3 千米后，每增加 1 千米加收2.4 元 （不足 1 千米按 1 千米計算）， 某人乘坐這種出租車從甲地到乙地共支付車費19 元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是多少千米？【答案】設他乘此出租車從甲地到乙地行駛的路程是x 千米，依題意：7+2.4（ x-3） =19，解得： x=8答：他乘此出租車從甲地到乙地行駛路程不超過8 千米例 2. 一出租車起步價是5 元， 8 公里內(nèi)按起步

16、價收費，8 公里以上20公里以內(nèi)按每增加1 公里另收費0.5 ；20 公里以上按每增加1 公里另收費1 元，一乘客付出車費21 元，問他乘坐多少公里？【答案】設他乘此出租車從甲地到乙地行駛的路程是x 千米，依題意：5+（ 20-8） *0.5+（ x-20） *1=21解得： x=30例3.某市居民用電基本價格為每度0.4元，若每月用電量超過a度，超過部分按基本電價的70%收費。（ 1 ）某戶 5 月份用電84 度，共交電費30.72 元，求 a.（ 2）若該戶6 月份的電費平均每度0.36 元，求 6 月份共用電多少度？應交電費多少元？【答案】 （ 1 ） 0.4a+（ 84-a） *0.4

17、*0.7=30.72解得： a=60（ 2）設共用電x 度0.4*60+ （ x 60） *0.4*0.7=0.36x解得： x=90應交費：90*0.36=32.4 元題型6方案優(yōu)化問題解題技巧：此類題型，一般會提供多種方案供選擇，要求我們選出最合算的方案。解此類題型，有2種思路。思路1:分別求解出每種方案的最終費用，在比較優(yōu)劣思路2:求解出每種方案費用相同時的臨界點，在根據(jù)臨界點進行討論分析。例1.某單位急需用車，但又不需買車，他們準備和一個個體車主或一國營出租公司中的一家簽定月租車合同，個體車主的收費是 3元/千米，國營出租公司的月租費為2000元，另外每行駛1千米收2元，(1)這個單位

18、若每月平均跑 1500千米，租用哪個公司的車比較合算？(2)每月跑多少千米兩家公司的費用一樣？【答案】設當路程為 x時，兩種方案的費用一樣3x=2000+2x解得：x=2000所以當x2000時，公司合算例2運送一批木材，甲公司收費是3000元起步，每公里另收 5元；乙公司起步價位 1000元，每公里另收8元。(1)當路程為100千米時，選用哪家公司？(2)什么情況下，兩家公司的收費一樣？【答案】(1)甲公司費用為：3000+5 X 100=3500元乙公司費用為：1000+8 X 100=1800元(2)設當路程為x千米時，兩家公司收費一樣依據(jù)題意，等量關系式為：甲公司費用=乙公司費用300

19、0+5x=1000+8x解得：x=11,.一工的口 答：當路程為一7千米時，兩家公司的收費一樣。 題型7禾【J潤問題、打折問題、盈虧問題(P77; P90)解題技巧：此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關系來列寫等式方程。利潤=售價-進價禾I潤率=售價=標價X銷售折扣例1.七年級社會實踐小組調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某襯衫進價為80元，購進了 500件，并以每件120元的價格銷售了 400件。剩下襯衫，準備降價銷售。請你幫忙計算一下,每件襯衫降價多少元時，銷售完這批襯衫正好盈利 45%的預期目標?【答案】等量關系式為:=45%設每件降價x元=45%和a 120+必皿 lSD-jv)-EaD-9)解得：x=

20、20 答：每彳降價 20元剛好盈利45%。例2.書店舉行購書優(yōu)惠活動：一次性購書不超過 100元，不享受優(yōu)惠；一次性購書超過 100元，但不超過 200元，一律九折；一次性購書200元或以上，一律七折小林在這次活動中，兩次購書總共付費229.4元，第二次購書原價是第一次購書原價的3倍，那么小林兩次購書原價的總和是多少？【答案】設第一次購書原價為x元，則第二次購書原價為3x元假設x100,當x最小為100,則3x為300時，優(yōu)惠后的價格為：100X 0.9+300 X 0.7=300 229.4所以x必定小于100假設3x 100,則x100,則兩次的費用不足 200元所以3x必定大于100廣武

21、100情況一：則方程為：x+3x1： = U解得：x=62則第一次夠書原價為 62元，第二次購書原價為 186元，成立,士 r 工io。情況二：占北200則方程為：x+3x - = U解得：x=74則第一次購書原價為 74元，第二次購書原價為 222元，成立。綜上得：第一次購書和第二次購書原價為62元、186元或74元、222元。題型8儲蓄問題解題技巧：本金、利息、年利率、利息稅稅率和實得本利和之間的相等關系：本金鄧率=利息利息xa率=利息稅本金+利息-利息稅=實得本利和例1.小明把壓歲錢按定期一年存入銀行。當時一年期存款的年利率為1.98%,利息稅的稅率為20%.到期支取時，扣除利息稅后小明

22、實得本利和為507.92元。問小明存入銀行的壓歲錢有多少元？【答案】設小明存入銀行的壓歲錢為x元。依據(jù)題意，等量關系式為：本金+利息-利息稅=實得本利和x+1.98%x 5一二胤肺；=507.92解得：x=500答：小明存入銀彳T的壓歲錢為500元。例2.老王把5000元按一年期的定期儲蓄存入銀行。到期支取時，扣去利息稅后實得本利和為5080元。已知利息稅稅率為 20% ,問當時一年期定期儲蓄的年利率為多少？【答案】設老王存入銀行的年利率為x%。依據(jù)題意，等量關系式為：本金+利息-利息稅=實得本利和5000+5000 x%（1一 題）筋；=5080解得： x=2答：利率為2%。題型 9 行程問

23、題解題技巧：行程問題總公式為：路程 =速度X時間。行程問題可分為3大類，不同類型的問題，在求解速度時有所不同，具體如下：（ 1 ）相遇問題：總速度=甲的速度+乙的速度（ 2）追擊問題：總速度=追擊者速度被追擊者速度（快慢）（ 3）航行問題：順水（風）速度=靜水（風）速度+水（風）速逆水（風）速度=靜水（風）速度水（風）速例 1. 甲、乙兩地相距100 千米，小張與小王分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行，小張的速度比小王的速度每小時快10 千米，經(jīng)過2 小時相遇，小張和小王的速度分別是多少？【答案】設小王的速度為xkm/h ，則小張的速度為（x+10） km/h。依據(jù)題意，等量關系式為：小張走的

24、路程+小王走的路程=總路程2x+2（ x+10） =100解得： x=20則小王的速度為20km/h ，小張的速度為20+10=30km/h 。答：小王的速度為 20km/h,小張的速度為 20+10=30km/h。例 2.一列火車勻速行駛，完全通過一條長300 米的隧道需要20 秒的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10 秒，求火車的速度?！敬鸢浮吭O火車的速度為xm/s依據(jù)題意，等量關系式為：火車速度X時間=隧道長度+火車長度20 x=300+10 x解得： x=30答：火車的速度為30m/s。例 3.一輛慢車從A 地開往 300 千米的 B 地， 一輛快車同時從

25、B 地開往 A 地， 若慢車速度為40千米每小時，快車速度是慢車速度的1.5 倍，他們出發(fā)多久后相距100千米？題型12數(shù)字問題 【答案】出發(fā)后相距 100千米，有2種情況。一種為還未相遇，距離為 100千米；另一種為相遇后，再次相距100千米。情況一：兩車還未相遇，之間的距離為100千米設出發(fā)時間為xh依據(jù)題意，等量關系式為：快車走的距離+慢車走白距離=300 10040 x+15 4x=300- 100解得：x=2情況二：兩車相遇后，之間的距離再次為100千米設出發(fā)時間為xh依據(jù)題意，等量關系式為：快車走的距離+慢車走白距離=300+10040 x+1.5 案：二=300+100解得：x=

26、4 綜上得：出發(fā)2小時和出發(fā)4小時時，相距100千米。題型10工程問題解題技巧：我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對象所完成的工作量之和等于總工作量”這個關系來列寫等式方程。例1.一件工程單獨甲做 20小時，乙要12小時，現(xiàn)由甲先單獨做 4小時，然后乙加入合做，一共需要合做幾個小時？【答案】設一共需要 x個小時，工程量為單位“1”依據(jù)題意，等量關系式為：甲獨做的工程量+甲乙合作的工程量=12*4+（今去奪富=1解得：x=6答：合作一共需要做 6小時。例2.加工一批零件，由一人做需要 100小時，現(xiàn)在計劃先由若干人做2小時，再增加5人做9小時

27、，恰好完成任務，先安排多少人做2小時？【答案】先安排x人做2小時，工程量為單位“ 1”，一個人的工作效率為 工依據(jù)題意，等量關系式為：先做 2小時的工程量+增加5人的完成的工作量=12x + - -+ 5) = 11*0ILOOi f解得：x=5答：先安排5人做2小時。題型11等積問題解題技巧：圖形無論如何切割或邊形，其面積或體積始終不變，利用這個不變的特點，列寫等式方程。例1.某工廠鍛造直徑為 60毫米，高20毫米的圓柱形零件毛坯，需要截取直徑40毫米的圓鋼多長?【答案】構造成零件，雖然形狀改變，但是總體積始終不變，依次來列寫等量方程。依據(jù)題意，等量關系式為：零件的體積=圓鋼的體積設圓鋼長度

28、為x毫米兀解得：x=45答：需要截取 40mm的圓鋼45mm。例2.如圖一個鐵片長 30cm,寬20cm,打算從四個角各截去一個小正方形，然后把四邊折起來做一個無蓋的鐵盒，鐵盒的底面周長為60cm,問鐵盒的高是多少?【答案】設鐵盒的高為 xcm依據(jù)題意，等量關系式為：鐵盒的底面周長+截取正方形邊長=鐵片周長60+24 =2 (30+20)解得：x=5答：鐵盒的高是5cm 解題技巧：任何一個正數(shù) N=3qN_nn_二一都可以表示為0ta/1。再+/tX 1。吁1+ +的 X I。1 + aaX 10 o利用這個特點和題干中的關系，尋找等式方程。例1.一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5

29、,并且這個兩位數(shù)比它的兩個數(shù)位上的數(shù)字之和的8倍還要大5,求這個兩位數(shù)?！敬鸢浮吭O這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為(x+5)依據(jù)題意，等量關系式為：這個兩位數(shù)=各位數(shù)字之和X 8+510 (x+5) +x=8 (x+5+x) +5解得：x=1所以這個數(shù)個位數(shù)字為 1,十位數(shù)字為1+5=6所以這個兩位數(shù)為 61答：這個兩位數(shù)為 61例2.一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)字之和為11,如果十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，則所得的新數(shù)比原來的數(shù)大 63,求原來的兩位數(shù)?！敬鸢浮吭O個位數(shù)字為 x,則十位數(shù)字為(11 x)依據(jù)題意，等量關系式為：新的兩位數(shù)=原兩位數(shù)+6310 x+(11 x)=

30、10(11 - x)+x+63解得:x=9所以原數(shù)個位數(shù)為：9,十位數(shù)為：119=2所以原來的兩位數(shù)為 29答:原來的兩位數(shù)為29.題型13積分問題解題技巧：此類問題，主要是通過積分來列寫等式方程。需要注意，有些比賽結果只有勝負；有的比賽結果又勝負和平局。比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)比賽積分=勝場積分+負場積分+平場積分例1.足球賽8輪，勝一場記3分，平一場記1分，輸一場不得分。在這次足球比賽中，猛虎隊平的場次是負的場次的2倍，且8場比賽共得17分，該隊共勝多少場？【答案】設該隊共負 x場，則平2x場，勝（8 3x）場依據(jù)題意，等量關系式為：平場分數(shù)+勝場分數(shù)=總得分2x+3（ 8 3x

31、） =17解得： x=1所以負 1 場，平 2 場，勝8 3=5 場答：該隊共勝5 場。例 2.足球比賽，勝一場記3 分，平一場記1 分，輸一場不得分。一支足球隊在某個賽季中共比賽14場，現(xiàn)在已比 8 場，輸了1 場，共得17 分。問：（ 1 ）前 8 場比賽中，這支球隊共勝多少場？（ 2）打滿 14場，最高能得多少分？通過比賽分析，到比賽結束，得分不低于29 分， 則后面的6 場比賽至少要勝幾場才能達到預期目標？【答案】（1）設前8場比賽，該隊共勝 x場，則平（7x）場依據(jù)題意，等量關系式為：平場分數(shù)+勝場分數(shù)=總得分3x+（ 7 x） =17解得： x=5答：這支球隊共勝5 場（ 2）打滿

32、 14場，還剩下14 8=6 場，要想得到最高分，則剩下的比賽全勝。得分為：17+6X3=35分（3）要求最少的勝場，則未勝的場次為平局。設至少要勝 y場，則平（6y）場依據(jù)題意，等量關系式為：勝場分數(shù)+平局分數(shù)=29 173y+（ 6 y） =29 17解得： y=3答：至少需要勝3 場。0三、難點題型題型1設輔助未知數(shù)解題技巧：我們解決數(shù)學問題時，除了應設的未知數(shù)外，增設一些輔助未知數(shù)，其目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作為橋梁，溝通數(shù)量之間的關系，架起連接以質(zhì)量和未知量。例1.從下午3點步行到晚上8點，先走平路，然后上山，到達山頂后就按原路下山，再走平路返回出發(fā)地。若他走平路每小時

33、 4千米，上山每小時 3小時，下山每小時 6千米，問這個人一共走了多少千米？【答案】設全程為x千米，山路長為y千米，則他上山需要2小時，下山需要二小時，走平路來回需要工里小 54時依據(jù)題意，等量關系式為：平路時間+上山時間+下山時間=總時間3&*通過化簡計算，發(fā)現(xiàn)未知數(shù) y在化簡中會被抵消掉解得：x=20答：這個人一共走了 20千米。例2.一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干粗細相同的進水管，打開4個進水管時，需要5小時注滿水池。打開 2個進水管時，需要15小時才能注滿水池。現(xiàn)在要在2小時內(nèi)將水池注滿，至少要打開多少個進水管？【答案】設水池容量為 w,進水每根水管每小時為 x,出水

34、為V。依據(jù)題意，等量關系式為：進水-出水=水池容量51 4x - 5y = w15 1 2x 15y = w化簡得：雖然無法解出未知數(shù)具體得數(shù)，但可以得到未知數(shù)之間的數(shù)量關系設至少打開z個進水管，可以在 2小時注滿水依據(jù)題意，等量關系式為：進水-出水=水池容量2zx 2y=w將y, z都用x表示出來，求解過程中，x也會抵消掉解得：z=8.5所以至少需要9個進水管答：至少需要9個進水管。題型2商品銷售問題(復雜)解題技巧：在解決復雜商品銷售問題時，通常會多設原價為a這個未知數(shù)，雖然在解題過程中，這個未知數(shù)會被消掉。但是，若不設這個未知數(shù)，許多關系就不好表達了。例1.某商品的標價比成本高 p%,當

35、該商品降價出售時，為了不虧損成本，售價的折扣(即降價的百分數(shù)) 不得超過d%,試用p表示d?！敬鸢浮吭O商品成本為 x依據(jù)題意，等量關系式為：利潤 =售價X折扣-成本x (1+p%) (1 d%) x=0求解過程中，發(fā)現(xiàn)x會抵消掉解得：d=答：d和p的關系式為:13B+p例2.商店一種商品的進價降低了 8%,而售價保持不變，可使得商品的利潤提高 10%,問原來的利潤是多少?【答案】設原來的進價為 a元，原利潤率為x%。依據(jù)題意，等量關系式為：原利潤率 +10%= -一化簡過程中發(fā)現(xiàn)，a可以抵消掉解得：x=15答：原來的利潤率為 15%。例3.某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原價降低了6.4%

36、,使得利潤增加了 8%,求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率?！敬鸢浮吭O原進價為 x元，售價為y元 依據(jù)題意，等量關系式為：原利潤率+8%=+8% =jFT L一氐冷鹿化簡彳導:100y=117x口后RE工八、Hn y-SF _ UKjIODjic _ HXit-lBax _ 17jt _ - 題干要求求斛原利潤率，即答：商品原來白利潤率為 17%。題型3行程問題（復雜）解題技巧：行程問題時基本的數(shù)學模型，我們需要找到合適的數(shù)學模型，建立等量關系。在行程問題中，最常見的方式是通過對速度的疊加與分解來建立等量關系。例1.甲、乙分別從 A、B兩地出發(fā)相向而行，若同時出發(fā)，經(jīng)過 36分鐘相遇；若甲比乙提前15

37、分鐘出發(fā),乙出發(fā)后30分鐘相遇，求甲由 A地到B地、乙由B地到A地所用的時間。1 1 1【答案】設甲從 A到B所用的時間為x分鐘，總路程為單位“ 1”，則甲的速度為一，乙的速度為（二一一） MJF依據(jù)題意，等量關系式為：甲走的路程+乙走的路程=總路程“15 + 30）+30=1解得：x=90所以甲從A到B的時間為90分鐘乙從B到A的時間為=T=T 丁=60分鐘答：甲從A地到B地需要90分鐘，乙從B到A需要60分鐘。例2.某商場有一部自動扶梯勻速由下至上運動，甲、乙都急于上樓辦事，因此在乘自動扶梯的同時勻速登樓，甲登55級后達到樓上，乙登樓速度是甲的2倍，他登了 60級后到達樓上，那么，由樓下到

38、樓上自動扶梯級數(shù)為多少級？【答案】設甲的速度為 x,則乙的速度為2x,設樓梯的速度為 y此題為流水模型，依據(jù)題意，等量關系式為：（甲的速度+樓梯速度）X甲上樓梯的時間 二樓梯長度=（乙的速度+樓梯速度）X乙上樓梯的時間區(qū)58。甲上樓的時間為： ;，乙上樓的時間為：55 z 、印 一 電一（x+y ） = Cm +篁） x2x化簡可以求得x與y之間的等量關系：x=5y樓梯長度=-（x+y）,將x=5y代入可求得為：66答：樓梯長度為66級。例3.某人勻速走在馬路上，馬路的前后兩端都有公共汽車站，每間隔相同時間發(fā)出一輛公共汽車，他發(fā)現(xiàn)每隔15分鐘有一輛汽車追上他；每隔10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來

39、。問公共汽車每隔多少分鐘發(fā)車輛（設每輛公共汽車速度相同）?！敬鸢浮吭O人的速度為 x,車的速度為y,發(fā)車間距時間為 zo當?shù)谝惠v車與人相遇后，第二輛車距人的距離為yz。從后追上人的車，為追擊模型，即yz這段距離，車需要15分鐘追上迎面的車，為相遇模型，即yz這段距離，車需要 10分鐘相遇lyz = 10 0+ x?化簡可抵消z,求得x與y之間的數(shù)量關系：y=5x代入產(chǎn)7= 15 6?一衰,可求得：z=12答：每個12分鐘發(fā)一輛車。題型4工程問題（多個未知數(shù)）解題技巧：工程問題關鍵是把“一項工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時間的倒數(shù)來表示。復雜的工程問題，往往需要設多個未知數(shù)，不要擔心，

40、在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。例1.一項工程，甲單獨做 24小時完成，乙單獨做 36小時完成。先要求 20小時完成，并且兩人合作的時間 盡可能短，那么，甲乙合作多長時間？【答案】設甲乙合作 x小時，工程量為單位“ 1”因為要求盡量少合作，則合作完成后，后續(xù)的工作給完成得快的單位完成，即合作完成后，剩下的工作交給甲完成。依據(jù)題意，等量關系為：合作的工程量+甲后續(xù)完成的工程量 =1化簡求得：x=6 答：甲乙合作6小時。例2.現(xiàn)有男、女工人1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣的天數(shù)完成同樣的工作。若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對調(diào)一下，則全體男工25天能完成工作，讓女工做 36天才能完成。問男、女工人數(shù)各是多少？【答案】設男工人 x人，則女工人有（1100 x）人；設男工人的工作效率為 y,女工人的工作效率為 z,工 程量為單位“ 1”。依據(jù)題意，等量關系式為：男工人數(shù)x男工人工作效率x男工人工作時間=1=女工人數(shù)