13控制原理課件-wanghui chapter

1、2022/9/6Chapter 2-11CHAPTER 2Mathematical Models of Systems By Hui Wang2022/9/6Chapter 2-12Outline of this chapterIntroduction Differential Equation of Physical SystemsTransfer FunctionState Equation of SystemsAnalogous circuits (similar system)Block Diagram, Signal Flow Graphs inearizationThe relat

2、ion of various models2022/9/6Chapter 2-13Transfer function2022/9/6Chapter 2-14 Transfer function Transfer function is a basic concept, which plays a very important role in control theory. Definition- If the system differential equation is linear, the ratio of the output variable to the input variabl

3、e, where the variables are expressed as functions of the D operator, is called the transfer function. (See P34. 2.5) In generally, the transfer function is not used D operator but Laplace transform operator S (see P97 4.27). G(D)u(t)y(t)Figure 2.8 Block diagram G(s)U(s)Y(s)2022/9/6Chapter 2-15Transf

4、er function Example R-L-C series circuit (see P23. Fig.2.2). Consider the system output . Substituting D operator in equation then getThe transfer function of the system is The notation G(D) is used denote a transfer function, where D expresses D operator e(t)2022/9/6Chapter 2-16Transfer function: E

5、xample-8:Liquid level System-1h1A1A2h2R2R1q1qoutqinTank 1Tank 2Disturb inputControl inputThe transfer functions of the system are 調(diào)節(jié)（控制）通道傳遞函數(shù)干擾通道傳遞函數(shù)2022/9/6Chapter 2-17Transfer function: Example-8:Liquid level System-2h1A1A2R1q1qinTank 1Disturb inputh2R2qoutTank 2Control inputq2+qfThe system trans

6、fer function are 2022/9/6Chapter 2-18Transfer function: Laplace transform formIn general, another form of transfer function is used more often, which we have learnt as system function in the course of “signal and system”. Where, it is defined to be a ratio of zero state responses Laplace transform a

7、nd inputs Laplace transform. In another word, it is the quotient of outputs Laplace transform divided by inputs Laplace transform assuming initial conditions to be zero. If we get a differential equation, taking its Laplace transform assuming initial conditions, then transfer function can be obtaine

8、d easily.2022/9/6Chapter 2-19Transfer function: Example-8:Liquid level System-1h1A1A2h2R2R1q1qoutqinTank 1Tank 2Disturb inputControl inputThe system transfer function are 調(diào)節(jié)（控制）通道傳遞函數(shù)干擾通道傳遞函數(shù)2022/9/6Chapter 2-110Example-4: Direct steam heatercold-liquidsteamWqc, Tcqa, Tahot-liquidenvironment tempera

9、ture TThe system differential equation is Taking Laplace transfor, we get the systems transfer functionRegulating pathDisturbance pathIf there is delay 2022/9/6Chapter 2-111傳遞函數(shù)的概念圖1所示的RC電路中電容的端電uc(t)根據(jù)克?；舴蚨?，可列寫如下微分方程： (1) (2) 消去中間變量i(t)，得到輸入ur(t)與輸出uc(t) 之間的線性定常微分方程:(3)圖1 RC電路2022/9/6Chapter 2-112

10、 現(xiàn)在對上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，并考慮電容上的初始電壓uc(0)，得: (4)式中: Uc(s) 輸出電uc(t)的拉氏變換； Ur(s) 輸入電壓ur(t)的拉氏變換。當(dāng)輸入為階躍電壓ur(t)= u01(t)時(shí)，對Uc(s)求拉氏反變換，即得 uc(t)的變化規(guī)律:由上式求出Uc(s)的表達(dá)式: (5)傳遞函數(shù)的概念2022/9/6Chapter 2-113 (6)式中第一項(xiàng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)， 由ur(t)決定的分量； 第二項(xiàng)稱為零輸入響應(yīng)， 由初始電壓uc (0)決定的 分量。圖2表示各分量的變化曲線，電容電壓uc (t)即為兩者的合成。圖2 RC網(wǎng)絡(luò)的階躍響應(yīng)曲線零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響

11、應(yīng)全響應(yīng)傳遞函數(shù)的概念2022/9/6Chapter 2-114 在式(6 )中，如果把初始電壓uc(0)也視為一個(gè)輸入作用，則根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可以分別研究在輸入電壓ur (t)和初始電壓uc (0)作用時(shí)，電路的輸出響應(yīng)。若uc(0)=0，則有 : (7)當(dāng)輸入電壓ur(t)一定時(shí)，電路輸出響應(yīng)的拉氏變換Uc(s)完全由1/(RCs+1)所確定，式(7)亦可寫為: (8) 當(dāng)初始電壓為零時(shí)，電路輸出響應(yīng)的象函數(shù)與輸入電壓的象函數(shù)之比，是一個(gè)只與電路結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)的函數(shù) 。傳遞函數(shù)的概念2022/9/6Chapter 2-115 用式(8)來表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T

12、=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系。圖3 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)可用圖3表示。該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc (s)=G(s)Ur (s) 。 對傳遞函數(shù)作如下表述： 線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的概念2022/9/6Chapter 2-116 一般地，若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述： (9)式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，a0，a1， an，b0，b1，bm是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。 令C(s)=Lc(t)

13、，R(s)=Lr(t)，在初始條件為零時(shí)，對式(9)進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程：ansn+an-1sn-1+a1s+a0C(s)=bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0R(s)傳遞函數(shù)的概念2022/9/6Chapter 2-117由傳遞函數(shù)的定義，由式(9)描述的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中 M(s)= bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式； D(s)= ansn+an-1sn-1+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式。(10) 傳遞函數(shù)是在初始條件為零（或稱零初始條件）時(shí)定義的。控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義，一系統(tǒng)輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零

14、；二系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也為零。 傳遞函數(shù)的概念2022/9/6Chapter 2-118傳遞函數(shù)的性質(zhì) 從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(10)可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)： 1. 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m低于或等于分母的階數(shù)n （mn） ，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 2. 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無關(guān)。 (11) 3. 傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動態(tài)性能。將式(10)中分子多項(xiàng)式及分母多項(xiàng)式因式分解后，寫為如下形式：2022/9/6Chapter 2-119 式中k為常數(shù)，-z1,-zm為傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式方程的m

15、個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；-p1,-pn為分母多項(xiàng)式方程的n個(gè)根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 一般zi, pi可為實(shí)數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，且若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。將零、極點(diǎn)標(biāo)在復(fù)平面上，則得傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖，如圖4所示。圖中零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“ ”表示。 G(s)=圖4 零極點(diǎn)分布圖傳遞函數(shù)的性質(zhì)2022/9/6Chapter 2-1205. 傳遞函數(shù)無法全面反映信號傳遞通路中的中間變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。 4. 若取式(10)中s = 0，則：或 b0 /a0恰為輸出輸入時(shí)靜態(tài)比值。 常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分方程式(9) 看，s=0相當(dāng)于所

16、有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零，方程蛻變?yōu)殪o態(tài)方程傳遞函數(shù)的性質(zhì)2022/9/6Chapter 2-121典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)從動態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來看可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。 圖 5(a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖 5(b)所示。 圖5 比例環(huán)節(jié) 圖5(a)圖5(b)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)= K (12) 輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。 （一）比例環(huán)節(jié)2022/9/6Chapter 2-122（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)： 當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖6(a)所示。 圖6

17、慣性環(huán)節(jié)式中 K環(huán)節(jié)的比例系數(shù)； T環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。 （13）2022/9/6Chapter 2-123（三）積分環(huán)節(jié) 它的傳遞函數(shù)為:(14) 當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，則輸出為t/T，它隨著時(shí)間直線增長。T稱為積分時(shí)間常數(shù)。T很大時(shí)慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個(gè)積分環(huán)節(jié)。 圖 7(b)為積分調(diào)節(jié)器。積分時(shí)間常數(shù)為RC。圖7積分環(huán)節(jié)2022/9/6Chapter 2-124（四）微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s) = T s (16) 輸入是單位階躍函數(shù)1(t)時(shí)，理想微分環(huán)節(jié)的輸出為c(t)=T(t)，是個(gè)脈沖函數(shù)。 理想微分環(huán)節(jié)的實(shí)例示于圖 8(a)、(b)。其中(a)為測速發(fā)電

18、機(jī)。圖中(b)為微分運(yùn)算放大器。在實(shí)際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為：(17)2022/9/6Chapter 2-125 它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖8(c)、(d)所示。在低頻時(shí)近似為理想微分環(huán)節(jié)，否則就有式(16)的傳遞函數(shù)。圖8 微分環(huán)節(jié) （四）微分環(huán)節(jié)2022/9/6Chapter 2-126（五）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： (18)式中: wn -無阻尼自然振蕩頻率，wn=1/T； 阻尼比，0 1。圖9所示為單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線。圖9 振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線2022/9/6Chapter 2-127（六）延滯(delay,純滯后)環(huán)節(jié) 延滯環(huán)節(jié)是線

19、性環(huán)節(jié)， t 稱為延滯時(shí)間（又稱死時(shí)deadtime）。具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng)。 如圖10所示，當(dāng)輸入為階躍信號，輸出要隔一定時(shí)間t 后才出現(xiàn)階躍信號，在01t 內(nèi)，輸出為零。圖10 延滯環(huán)節(jié)2022/9/6Chapter 2-128 延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可求之如下：c(t)= r(tt)其拉氏變換為:式中x = t-t，所以延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)具有延滯環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，延滯越大，影響越大。(19)2022/9/6Chapter 2-129Transfer functionPopularly, a nth system expressed by differential eq

20、uation in time domainIts transfer function will be where usually nmLet denominator=0, we get the poles of the system, usually labeled “ ”Let numerator=0, we obtain zeros of the system , usually labeled “O”2022/9/6Chapter 2-130控制系統(tǒng)的微分方程是在時(shí)域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。但系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)變化或者結(jié)構(gòu)形式

21、改變，便需要重新列寫并求解微分方程。傳遞函數(shù)：對線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)（或是利用微分算子，得到系統(tǒng)的微分算子形式傳遞函數(shù)） 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本也是最重要的概念 2022/9/6Chapter 2-131Transfer function傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入變量形式無關(guān)；它不反映系統(tǒng)內(nèi)部的信息，也不反映系統(tǒng)的初始條件；它是輸入輸出模型的表現(xiàn)形式（可以是時(shí)域的表達(dá)，更多是復(fù)域形式。傳遞函數(shù)可與時(shí)域微分方程、狀態(tài)方程相互轉(zhuǎn)換；視回路是否閉

22、合，分為閉環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)傳遞函數(shù)。2022/9/6Chapter 2-132Determination of the overall Transfer function (see P136 5.3) Reference input RControl elements and Controlled system G Controlled variable CBActuating signal E+Feedback elements H-Fig. 5.6 For unity feedback systems where H=1, actuating signal is equal error signal, which is : R-C. Forward transfer function of the system is G, feedback components tran