對“平行四邊形”概念教學的認識

1、- PAGE 6 -一切盡在情理之中對“平行四邊形”概念教學的認識天津市教育教學研究室劉金英摘要：對數(shù)學概念教學“合情合理”的追求，是數(shù)學課堂教學永恒的話題本文結合“平行四邊形”概念的教學，從“概念的引入”、“概念的形成”、“概念的應用”出發(fā)，探討數(shù)學概念教學中的“合情合理”，試圖呈現(xiàn)一種“一切盡在情理之中”的境界關鍵詞：平行四邊形 概念教學 合情合理 “情理”的基本解釋是“常情和道理”如果說“合乎情理”是人間至善，那么，對于數(shù)學概念教學“合情合理”的追求，就應該是數(shù)學課堂教學永恒的話題本文擬結合對義務教育初中學段“平行四邊形”概念教學中“情理交融”的認識，探討數(shù)學概念教學的相關問題一、關于概

2、念的引入1從實際應用的需要引入數(shù)學概念，是人對客觀事物中有關數(shù)量關系和空間形式方面本質屬性的抽象，對某個數(shù)學概念的認識，應建立在對一類事物共同屬性認識的基礎之上教學“平行四邊形”的概念也不例外教師通過出示小區(qū)的伸縮門、庭院的竹籬笆、載重汽車的防護欄等一組日常生活中的圖片，并從中抽象出幾何基本圖形，引導學生觀察、思考它們的共同特點，使學生在這些典型、豐富且合乎實際的感性材料的基礎上，獲得對平行四邊形本質屬性的初步認識這樣，通過生活中熟悉的素材，設置符合“常情”的教學情境，不僅賦予了“平行四邊形”概念的現(xiàn)實背景，也使學生感悟到學習“平行四邊形”概念的必要性，明白了學習的“道理”2從數(shù)學知識發(fā)展的需

3、要引入學習一個新的數(shù)學概念，還應該把這個概念放到相應的概念體系中，考察它的“來龍去脈”，即分析學習這一概念需要怎樣的基礎，知道掌握它以后可以做什么平行四邊形的定義，學生在小學已經接觸過，但對于這個概念的本質屬性，理解的并不深刻初中學段的教學，并不是簡單的重復，而是采用內涵定義法，即“種概念+類差=被定義的概念”，這樣的方式，揭示了“平行四邊形”概念的本質屬性在平行四邊形的定義中，大前提是“四邊形（種概念）”，條件是“兩組對邊分別平行（類差）”“平行四邊形”的內涵包含了“四邊形”所有的內涵，而“兩組對邊分別平行”是平行四邊形獨有的、用以區(qū)別于一般四邊形的本質屬性因此，教學中，教師只要抓住種概念（

4、四邊形）的類差（兩組對邊分別平行），引導學生思考“一個四邊形具備了什么特征才是平行四邊形”，就可以自然地使學生建立起對新概念（平行四邊形）的本質屬性的理解另外，學習了“平行四邊形”的概念之后，再附加“有一個角為直角”、“鄰邊相等”，就可以對應得到“矩形”、“菱形”的概念，若兩個條件同時滿足，就可以得到“正方形”的概念“平行四邊形”概念的教學，為后續(xù)概念的學習，奠定了基礎可見，從數(shù)學知識發(fā)展的需要出發(fā)，對“概念體系”進行分析，可以了解到概念間的從屬關系，形成明晰的知識結構，并清晰地認識到學習“平行四邊形”概念的“合理性”二、關于概念的形成1概念的明確所謂明確概念，實質就是讓學生理解一類事物的共同

5、本質屬性，可以利用學生認知結構中已有的概念，以定義的方式直接揭示概念的本質特征（1）明確概念的內涵 概念的內涵就是反映在概念中的對象的本質屬性，它說明概念所反映的事物是什么樣的“平行四邊形”的含義是：兩組對邊分別平行，這就是“平行四邊形”的內涵它揭示了“平行四邊形”與“四邊形”的隸屬關系，以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，反映了“平行四邊形“的本質屬性其中的關鍵詞“兩組對邊分別平行”，既可以作為平行四邊形的判定方法，又可以是平行四邊形的一個性質（2）明確概念的外延概念的外延就是指具有概念所反映的本質屬性的對象，它說明概念所反映的是哪些事物“平行四邊形”是指矩形、菱形、正方形的全體，這就是“平行四邊形”

6、的外延它反映的是概念的量的方面，是概念的使用范圍教學中，給“平行四邊形”下定義后，教師不僅要指出符合“平行四邊形”定義的對象，而且也要讓學生自己舉出例子來這樣，從概念的引入（具體）到明確概念（一般），再到舉出實例（具體），形成了一個完整的概念認知的過程既符合學生的認知需要，又體現(xiàn)了概念形成的特點，“合情合理”2概念的表示在描述數(shù)學概念時，除了上述使用文字語言的方式外，還可以用符號語言和圖形語言（1）用符號表示概念數(shù)學符號是數(shù)學專有的特殊文字，其含義的高度概括和形式的高度濃縮，體現(xiàn)了數(shù)學簡明性的特點在概念教學中，真正讓學生掌握概念符號的意義尤為重要用符號語言描述平行四邊形的定義為：在四邊形中，若

7、/，/，則四邊形是平行四邊形，記作（2）用圖形表示概念如圖，畫出“兩組對邊分別平行”的四邊形，即結合圖形，可以使學生對“平行四邊形”的概念有一個更加直觀、清晰的認識通常情況下，學習幾何概念，往往把圖形語言和符號語言聯(lián)系在一起這里，需要注意的是，應盡量排除標準圖形的負遷移作用，以及防止出現(xiàn)符號與概念意義的脫節(jié)，避免把個性特征作為概念的本質特征例如，在中，有“/，/”，而對于，同樣具有本質特征“/，/”符號語言的簡明性與圖形語言的直觀性，合乎學生對“平行四邊形”概念的理解和記憶，符合“人之常情”，教師再適時地提醒“回到定義中去”，讓學生始終牢記其中的“道理”，即“兩組對邊分別平行”，可以很好地實現(xiàn)

8、“情理交融”3概念的深化幾何概念，無外乎從位置關系和數(shù)量關系兩個角度進行刻畫“平行四邊形”定義中的“兩組對邊分別平行”，是從“位置關系”出發(fā)，刻畫了“邊”的本質屬性如果從“數(shù)量關系”的角度，再來研究“平行四邊形”的某些幾何要素“邊”或“角”，自然又可以得到進一步的結論，這是對“平行四邊形”概念的深化在研究平行四邊形“邊”或“角”的數(shù)量關系時，教師不妨通過引導學生從平行四邊形的位置關系“兩組對邊分別平行”出發(fā)，經歷觀察、猜想、實驗、概括直至論證的過程，一方面，突出合情推理在解決問題中的作用，詮釋“實驗幾何”與“論證幾何”相輔相成的關系；另一方面，可以使學生對平行四邊形的概念理解得更加深入，即“平

9、行四邊形的兩組對邊分別相等”，相對于定義中的“兩組對邊分別平行”，是由位置關系向數(shù)量關系的一種延伸，“平行四邊形的兩組對角分別相等”，相對于“兩組對邊分別平行”，是由“相鄰的角互補”產生的思維的一種深化三、關于概念的應用為了更好地理解概念，需要有一個應用概念的過程，即通過運用概念，去認識同類事物，推進對概念本質的理解這是一個應用與理解同步的過程，概念的應用可以在知覺水平上進行，也可以在思維水平上進行1在知覺水平上的應用在知覺水平上的應用，就是要引導學生能用概念去判斷面臨的某一事物是否屬于概念反映的具體對象例如，如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，轉動其中一張，形成了一個四邊形，這個

10、四邊形是平行四邊形嗎？線段和的長度有什么關系？本題首先要求學生判斷一個四邊形是否為平行四邊形，由于這個“四邊形”滿足“兩條對邊平行”，屬于“平行四邊形”概念所反映的本質屬性，因此，學生只要可以正確地完成這樣的判斷，我們就認為他從知覺上理解了“平行四邊形”的概念另外，本題還要求判斷“線段和的長度有什么關系”，由于我們已經得到了“平行四邊形的兩組對邊相等”的結論，學生已不需要再重復一系列的認識過程，可以直接從知覺上觀察，得到，這是認知結構中已有概念在知覺水平上應用的另一種情形2在思維水平上的應用在思維水平上的應用，就是需要將“平行四邊形”的概念，納入到原有的概念或命題中，或者在解決復雜的問題時，與

11、原有的概念或命題重新組合例如，如圖，四邊形是平行四邊形，平分且交于點，且交于點，求的大小本題要求的大小，一種方法是先求，可借助于，將問題轉化為求，這時就需要利用平行四邊形的“對邊平行”，有/，得，再由已知“平分”和“”推出的，可以得到；另一種方法是在中，考慮與相關的角，需要求及，求時，需要綜合（平行線的性質）、平分（角平分線的性質），得到，而求時，就需要根據(jù)“平行四邊形的對邊平行”，將問題轉化為“相鄰的角互補”，得，于是，可得在上述分析過程中，我們看到本題主要綜合了“平行線的性質”及“角平分線的性質”，將“平行四邊形”的概念應用其中將“兩條直線平行，同位角相等”、“兩條直線平行，同旁內角互補”、“三角形內角和為”與“平行四邊形的對邊平行”重新組合、整理，使學生在尋求解題方案的同時，獲得新舊知識之間的聯(lián)系，對“平行四邊形”的概念達到靈活應用的水平世人常說世事應遵從“合情合理”，筆者以為，我們的課堂教學，也應該追求一種“合情合理”的境界當我們看到，每