坐標系與參數(shù)方程知識點總結(jié)與題型歸納

1、坐標系與參數(shù)方程知識點總結(jié)與題型歸納 知識總結(jié)一、平面直角坐標系1平面直角坐標系(1)數(shù)軸：規(guī)定了原點，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸數(shù)軸上的點與實數(shù)之間可以建立一一相應(yīng)關(guān)系(2) 平面直角坐標系：定義：在同一種平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系；數(shù)軸的正方向：兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向；坐標軸水平的數(shù)軸叫做x軸或橫坐標軸，豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱坐標軸，x軸或y軸統(tǒng)稱為坐標軸；坐標原點：它們的公共原點稱為直角坐標系的原點；相應(yīng)關(guān)系：平面直角坐標系上的點與有序?qū)崝?shù)對(x，y)之間可以建立一一相應(yīng)關(guān)系距離公式與中

2、點坐標公式：設(shè)平面直角坐標系中，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，線段P1P2的中點為P，填表：兩點間的距離公式中點P的坐標公式|P1P2|eq r(（x1x2）2（y1y2）2)eq blc(avs4alco1(xf(x1x2,2),yf(y1y2,2)2.平面直角坐標系中的伸縮變換設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：eq blc(avs4alco1(xx（0）,yy（0）)的作用下，點P(x，y)相應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換二、極坐標系1.極坐標系定義：在平面內(nèi)取一種定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定

3、一種長度單位、一種角度單位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆時針方向)，這樣就建立了一種極坐標系2極坐標：(1)極坐標的定義：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為.有序數(shù)對(，)叫做點M的極坐標，記作M(，)(2)極坐標系中的點與它的極坐標的相應(yīng)關(guān)系：在極坐標系中，極點O的極坐標是(0，)，(R)，若點M的極坐標是M(，)，則點M的極坐標也可寫成M(，2k)，(kZ)若規(guī)定0，02，則除極點外極坐標系內(nèi)的點與有序數(shù)對(，)之間才是一一相應(yīng)關(guān)系3極坐標與直角坐標的互化公式把直角坐標系的原點作為極點，x軸的

4、正半軸作為極軸，且長度單位相似，設(shè)任意一點M的直角坐標與極坐標分別為(x，y)，(，)(1)極坐標化直角坐標 eq blc(avs4alco1(xcos ，,ysin .)；(2)直角坐標化極坐標eq blc(avs4alco1(2x2y2，,tan f(y,x)（x0）.)三、簡樸曲線的極坐標方程1曲線的極坐標方程一般地，在極坐標系中，如果平面曲線C上任意一點的極坐標中至少有一種滿足方程f(，)0，并且坐標適合方程f(，)0的點都在曲線C上，那么方程f(，)0叫做曲線C的極坐標方程2圓的極坐標方程(1)特殊情形如下表：圓心位置極坐標方程圖形圓心在極點(0，0)r(02)圓心在點(r，0)2r

5、cos_(eq f(,2)eq f(,2)圓心在點(r，eq f(,2)2rsin_(0)圓心在點(r，)2rcos_(eq f(,2)eq f(3,2)圓心在點(r，eq f(3,2)2rsin_(0) (2)一般情形：設(shè)圓心C(0，0)，半徑為r，M(，)為圓上任意一點，則|CM|r，COM|0|，根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標方程為220cos(0)eq oal(2,0)r20即3直線的極坐標方程(1)特殊情形如下表：直線位置極坐標方程圖形過極點，傾斜角為(1)(R) 或(R) (2)(0) 和(0)過點(a，0)，且與極軸垂直cos_aeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)

6、f(,2)過點eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(,2)，且與極軸平行sin_a(0)過點(a，0)傾斜角為sin()asin (0b0)的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xacos ,ybsin )(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范疇是0，2)(2)中心在原點，焦點在y軸上的橢圓eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xbcos ,yasin )(是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范疇是0，2)(3)中心在(h，k)的橢圓一般方程為eq f(（xh）2,a2)eq f(（yk）2,b2)1，則其參數(shù)方程為eq blc(a

7、vs4alco1(xhacos ,ykbsin )(是參數(shù))2雙曲線的參數(shù)方程(1)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xasec ,ybtan )(為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)的取值范疇為0，2)且eq f(,2)，eq f(3,2)(2)中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1的參數(shù)方程是eq blc(avs4alco1(xbtan ,yasec )(為參數(shù))3拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線y22px的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(x2pt2,y2pt)(t為參數(shù)

8、)(2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)六、直線的參數(shù)方程 1直線的參數(shù)方程通過點M0(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xx0tcos ,yy0tsin )(t為參數(shù))2直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義(1)參數(shù)t的絕對值表達參數(shù)t所相應(yīng)的點M到定點M0的距離(2)當eq o(M0M,sup6()與e(直線的單位方向向量)同向時，t取正數(shù)當eq o(M0M,sup6()與e反向時，t取負數(shù)，當M與M0重疊時，t03直線參數(shù)方程的其她形式對于同一條直線的一般方程，選用的參數(shù)不同，會得到不同的參數(shù)方程我們把過點M0(x0

9、，y0)，傾斜角為的直線，選用參數(shù)tM0M得到的參數(shù)方程eq blc(avs4alco1(xx0tcos ,yy0tsin )(t為參數(shù))稱為直線參數(shù)方程的原則形式，此時的參數(shù)t有明確的幾何意義一般地，過點M0(x0，y0)，斜率keq f(b,a)(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為eq blc(avs4alco1(xx0at,yy0bt)(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時的參數(shù)t不具有原則式中參數(shù)的幾何意義 題型歸納題型一：極坐標與直角坐標的互化?；セ恚ㄈ呛瘮?shù)定義）、數(shù)形結(jié)合。1在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），覺得極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并在兩種坐

10、標系中取相似的長度單位，曲線的極坐標方程為. （1）把曲線的極坐標方程化為一般方程； （2）求直線與曲線的交點的極坐標（）.試題解析：（1）由得，兩邊同乘以，得；（2）由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得直線的一般方程為，聯(lián)立曲線與直線的方程得，或，化為極坐標為或.考點：極坐標方程與直角坐標方程的互化，直線參數(shù)方程與一般方程的互化.考點：，.2在極坐標系中，設(shè)圓通過點，圓心是直線與極軸的交點，求圓的極坐標方程試題解析：法一：轉(zhuǎn)化為直角坐標為：直線的直角坐標方程為：它與軸的交點也就是圓心為 因此因此圓的方程為，得因此，圓的極坐標方程為：法二：由于圓心為直線與極軸的交點，因此令，得，即圓心是又圓通過點

11、，圓的半徑，圓過原點，圓的極坐標方程是考點：（1）轉(zhuǎn)化為直角坐標，求出所求方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標；（2）先求圓心坐標，再運用余弦定理求半徑，最后借助過原點寫出圓的極坐標方程.題型二：曲線（圓與橢圓）的參數(shù)方程。（1）一般方程互化和最值問題。“1”的代換（）、三角解決。3已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標分別為.（）求直線的直角坐標方程；（）設(shè)為曲線上的點，求點到直線距離的最大值.試題解析：（）將、化為直角坐標為，即， 直線的方程為，即 （）設(shè)，它到直線的距離為，（其中）， 考點：1.橢圓的參數(shù)方程；2.點到直線的距離公式；3.三角函數(shù)求最值4已知曲線的

12、極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）設(shè)直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值.試題解析：曲線的極坐標方程可化為. 又，因此曲線的直角坐標方程為.將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，得，令，得，即點的坐標為（2，0）. 又曲線的圓心坐標為（1，0），半徑，則， 因此.法二：設(shè)N的坐標為.因此考點：極坐標化為直角坐標，參數(shù)方程化為一般方程，直線與圓位置關(guān)系5已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)） ，以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為. （1）判斷直線與曲線的位置關(guān)系； （2）設(shè)為曲線上任意一點，求的取值范疇.試題解析：（1）直線的一般方程為，曲線的直角坐

13、標系下的方程為，由于圓心到直線的距離為,因此直線與曲線的的位置關(guān)系為相離.（2）設(shè)點，則.考點：直線與圓的參數(shù)方程和圓的極坐標方程. 6已知平面直角坐標系，覺得極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）寫出點的直角坐標及曲線的直角坐標方程；（2）若為曲線上的動點，求中點到直線的距離的最小值.試題解析：（1）點的直角坐標，由，得，因此曲線的直角坐標方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的一般方程為，設(shè)，則，那么點到直線的距離，因此點到直線的最小距離為.考點：1、極坐標和直角坐標的互化；2、參數(shù)方程和一般方程的互化；3、點到直線的距離（2）公共點

14、問題。聯(lián)立求解鑒別式，直線與圓d與r。7在直角坐標系中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若以直角坐標系中的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求曲線的一般方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線有公共點，求實數(shù)的取值范疇試題解析：（1）由得，又由得，因此曲線的一般方程為，即，又易知，曲線的一般方程為，由得，因此，因此曲線的直角坐標方程為（2）當直線過點時，與曲線有公共點，此時，從該位置向左下方平行移動直到與曲線相切總有公共點，聯(lián)立得，令，解得所求實數(shù)的取值范疇是考點：1、參數(shù)方程與一般方程的互化；2、極坐標方程與直角坐標方程的互化；3、直線與拋物線的位置關(guān)系8在直角坐

15、標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標系（以原點為極點，以軸非負半軸為極軸，且與直角坐標系取相似的長度單位）中，圓的方程為（）求圓的直角坐標方程；（）若直線與圓相切，求實數(shù)的值試題解析：（）由，圓的直角坐標方程為（或）； （）直線的參數(shù)方程為，圓的圓心為，半徑， 由直線與圓相切，得或考點：簡樸曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成一般方程9在極坐標系中，直線的極坐標方程為，以極點為原點極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且).（1）寫出直線的直角坐標方程和曲線的一般方程；（2）若直線與曲線有兩個公共點，求的取值范疇. 試題解析：（1）由直線的極坐標方程得：， 即直線的直角坐

16、標方程為：，由曲線 的參數(shù)方程 為參數(shù)，且). 得：（2）設(shè)曲線上任意一點為，則，直線與曲線 有兩個公共點，.考點：極坐標系，參數(shù)方程，直角坐標方程的轉(zhuǎn)換.題型三：直線參數(shù)方程（t的幾何意義）。定點到動點的距離。定標圖號聯(lián)、韋達三定理。、10在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相似的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標方程為.（1）求圓的直角坐標方程； （2）設(shè)圓與直線交于點，若點的坐標為，求.試題解析：（1）由，得，即.（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得，即.由于，故可設(shè)，是上述方程的兩實根，因此，又直線過點，故由上式及的幾何

17、意義得.考點：1.曲線的極坐標方程和一般方程的轉(zhuǎn)化；2.直線的參數(shù)方程的應(yīng)用11在直角坐標系中，過點的直線的斜率為1，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為,直線和曲線的交點為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求試題解析：（）由條件知，直線的傾斜角，因此.設(shè)點是直線上的任意一點，點到點的有向向量為，則 （）曲線的直角坐標方程為,由此得,即 . 設(shè)為此方程的兩個根，由于和的交點為，因此分別是點所相應(yīng)的參數(shù)，由韋達定理得 =考點：簡樸曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成一般方程12在直角坐標系中，以原點為極點，以軸正半軸為極軸，圓的極坐標方程為.（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方

18、程； （2）過點作斜率為1直線與圓交于兩點，試求的值.試題解析：（1）由，可得，即（2）過點作斜率為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.代入得，設(shè)點相應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.由的幾何意義可得.（注：此題也可直接求兩點坐標，再用兩點間的距離公式求出,.）考點：1.曲線的極坐標方程、參數(shù)方程和一般方程的轉(zhuǎn)化；2.直線與圓的位置關(guān)系13在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相似的長度單位，且以原點為極點，以軸非負半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標方程；（2）若點，設(shè)圓與直線交于點，求的最小值.試題解析：（1）由得，化為直角坐標方程為，即；（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得由，故可設(shè)是上述方程的兩根，因此，又直線過點，故結(jié)合的幾何意義得因此的最小值為考點：圓的極坐標方程與直角坐標方程的互化及直線參數(shù)方程在求最值中的應(yīng)用.題型四。跟蹤點參數(shù)方程的求法。跟蹤點法。14在直角坐標系 中,曲線的參