導數(shù)在實際生活中的應用 省賽獲獎-完整版獲獎課件

1、 第3章 導數(shù)及其應用3.4 導數(shù)在實際生活中的應用新課引入: 導數(shù)在實際生活中有著廣泛的應用,利用導數(shù)求最值的方法,可以求出實際生活中的某些最值問題.1.幾何方面的應用2.物理方面的應用.3.經(jīng)濟學方面的應用(面積和體積等的最值)(利潤方面最值)(功和功率等最值)知識建構：例1：在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？由題意可知，當x過小（接近0）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值。答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解

2、：設箱底邊長為xcm，則箱高 cm， 得箱子容積令 ，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16000解：設圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積例2：圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最??？S=2Rh+2R2由V=R2h，得 ，則令解得， ，從而答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省.即 h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值物理方面的應用：例3 在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為r，電動勢為，外電阻為多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少?rR解：電功率PI2R，其中IE/(R+r)為電流強度，則PE/(Rr)2R= E2

3、R/(Rr) 2由P0，解得：R=r列表分析，當R=r時，P取得極大值，且是最大值,最大值為PE2/(4r)答：當外電阻R等于內(nèi)電阻r時，電功率最大，最大電功率是E2/(4r)例4 強度分別為a,b的兩個點光源A,B，它們間的距離為d，試問在連接這兩個光源的線段AB上，何處照度最??？試就a=8,b=1,d=3時回答上述問題（照度與光的強度成正比，與光源距離的平方成反比）.APBx3-x解:如圖,設點p在線段AB上,且P距光源A為x,則P距 光源B為3-x(0 x3).P點受A光源的照度為解得x=2,故當0 x2時，因此，x=2時，I取得極小值，且是最小值。答：在連結兩光源的線段AB上，距光源A

4、為2處的照度 最小.（其中，k為比例常數(shù)）練習1 如圖：質(zhì)點P在半徑為10cm的圓上逆時針做勻速圓周運動，角速度為2rad/s,設A（10，0）為起始點，求時刻t時，點P在y軸上的射影點M的速度.PyXAMoN角的弧度數(shù)為_2t分析：求M點位移的變化率。練習2 已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式為： ，求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關系式，再用導數(shù)求最大利潤解：收入經(jīng)濟學中的應用：答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大。令 ，即 ，求得唯一的極值點利潤練習3 生產(chǎn)某塑

5、料管的利潤函數(shù)為： P（n）=-n3+600n2+67500n-1200000,其中n為工廠每月生產(chǎn)該塑料管的根數(shù)，利潤P(n)的單位為元。 （1）求邊際利潤函數(shù)P(n); （2）求使P(n)=0的n值； （3）解釋(2)中的n值的實際意義。解：（1）（2）由得：（負舍去）（3）當n=450時，每增加1根所增加的利潤為0元。例5 在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x);出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x); R(x)- C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x).（1）設C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際成本C(x) 最低?（2）設C(x)=50 x+10000，產(chǎn)品的單價p =100-0.01x，怎樣定價可使利潤最大？例6 某產(chǎn)品制造過程中，次品數(shù)y依賴于日產(chǎn)量x，其函數(shù)關系為y=3x/(100-x) (x96)；又該產(chǎn)品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就損失a/3元為獲取該產(chǎn)品的最大利潤，日產(chǎn)量應為多少？解：設利潤為P（x）,則P（x）=y(-a/3)+a(x-y)即：由：得：或（舍去）列表分析得：當日產(chǎn)量為80時，能獲得該產(chǎn)品的最大利潤。實際應用問題審 題（設）分析、聯(lián)想、抽象、轉(zhuǎn)化構建數(shù)學模型數(shù)學化（列）尋找解題思路（解）解答數(shù)學問題還原（