大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第二章行列式第七節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容非齊次線性方程組克拉默法則第七節(jié) 克拉默 (Cramer) 法則齊次線性方程組克拉默法則現(xiàn)在我們來應(yīng)用行列式解決線性方程組的問題.在這里只考慮方程個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等的情形.以后會看到，這是一個重要的情形.至于更一般的情形留到下一章討論.下面我們將得出與二元和三元線性方程組相仿的公式.一、非齊次線性方程組克拉默法則定理 5 (克拉默法則) 如果線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式d = | A | 0,那么線性方程組 (1) 有解，并且解是唯一的，解可以通過系數(shù)表為其中 dj 是把矩陣 A 中第 j 列換成方程組的常數(shù)項b1, b2, , bn 所成的矩陣的行列式，即證明1. 把方程組首先來

2、證明把 (3) 代入第 i 個方程，左端為因為簡寫為的確是 (1) 的解.所以根據(jù)第六節(jié)的有這與第 i 個方程的右端一致.也就是說方程組確為的解.2. 設(shè) (c1, c2, , cn) 是方程組于是有 n 個恒等式為了證明我們?nèi)∠禂?shù)矩陣中第 k 列元素的代數(shù)余子式 A1k, A2k, , Ank , 用它們分別乘以中 n 個恒等式，有的一個解，這還是 n 個恒等式.把它們加起來，即得等式右端等于在行列式 d 按第 k 列的展開式中把 aik分別換成 bi (i = 1, 2, , n)，因此，它等于把行列式d 中第 k 列換成 b1, b2, , bn 所得的行列式，也就是 dk .再來看左端

3、由上節(jié)中的公式當(dāng) j = k,當(dāng) j k,所以于是等式就變成dck = dk , k = 1, 2, , n .也就是這就是說，如果(c1, c2, , cn) 是方程組的一個解，它必為即解唯一.證畢例 1 任意輸入一個未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)相等的線性方程組，判斷其是否能由克拉默法則求解若能，求其解.應(yīng)該注意，定理 5 所討論的只是系數(shù)矩陣的行列式不為零的方程組，它只能應(yīng)用于這種方程組；至于方程組的系數(shù)行列式為零的情形，將在下一章的一般情形中一并討論.常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組.顯然，齊次線性方程組總是有解的，因為(0, 0, , 0) 就是一個解，它稱為零解.對于齊次線性方程組

4、，我們關(guān)心的問題是，它除去零解以外還有沒有其他解，或者說，它有沒有非零解.對于方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克拉默法則就有定理 6 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式 | A | 0，那么它只有零解.換句話說，如果它有非零解，則必有| A | = 0.二、齊次線性方程組克拉默法則 例 2 討論 為何值時, 線性方程組有唯一解, 并求出其解.定理 6 的證明，略. 解 方程組的系數(shù)矩陣的行列式 由此可知,當(dāng) 時, d 0, 這時方程組有唯一解.單擊這里求解單擊這里求解單擊這里求解所以單擊這里求解克拉默法則的意義主要在于它給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系，這一點在以后的許多問題的討論中是

5、重要的.但是用克拉默法則進(jìn)行計算是不方便的，因為按這一法則解一個 n 個未知量 n 個方程的線性方程組就要計算 n + 1 個 n 級行列式，這個計算量是很大的.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想

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