高考鏈接立體幾何中的向量方法

1、第六節(jié) 立體幾何中的向量方法高考試題考點一 用向量方法求空間角1. 陜西卷 , 理 5 如下列圖 , 在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC 1=2CB,就直線 BC1與直線 AB1夾角的余弦值為 A 錯誤！未找到引用源；B 錯誤！未找到引用源；C 錯誤！未找到引用源；D 錯誤！未找到引用源；錯誤！未找到引用源；AB =-2,2,1, 解析 : 不妨令 CB=1,就 CA=CC 1=2. 可得 O0,0,0,B0,0,1,C10,2,0, A2,0,0,B10,2,1, 錯誤！未找到引用源；BC =0,2,-1,cos=錯誤！未找到引用源；BC 1AB 1=錯誤！未找到引用

2、源；4 19=1 5錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找BC 1AB 15到引用源； 0. 錯誤！未找到引用源； 與錯誤！未找到引用源； 的夾角即為直線 BC1 與直線 AB1的夾角 , 直線 BC1與直線 AB1夾角的余弦值為 錯誤！未找到引用源； . 應(yīng)選 A. 答案 :A 2. 大綱全國卷 , 理 10 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB,就 CD與平面 BDC所成角的正弦值等于 B 錯誤！未找到引用源；C 2D1 3錯誤！A 錯誤！未找到引用源；3未找到引用源；解析 : 建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 , 設(shè) AA1=2AB=2, 就 B1,1,0,C0,1,0,

3、D0,0,0,C 10,1,2, 故錯誤！未找到引用源；DB =1,1,0, 錯誤！未找到引用源； =0,1,2, 錯誤！未找到引用源； =0,1,0. 設(shè)平面 BDC 1的法向量為 n=x,y,z, 就錯誤！未找到引用源；n DB 0,n DC 1 0,x y 0,得錯誤！未找到引用源；y 2 z 0,令 z=1, 就 y=-2,x=2, 所以平面 BDC 1的一個法向量為 n=2,-2,1. n DC=錯誤！未找到引用源；.設(shè)直線 CD與平面 BDC 1 所成的角為 , 就 sin =|cos|=nDC應(yīng)選 A. 答案 :A 3.2022 年大綱全國卷 , 理 16 已知點 E、F 分別在

4、正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1、CC1上, 且 B1E=2EB,CF=2FC 1, 就面 AEF與面 ABC所成的二面角的正切值等于 . 解析 : 如下列圖 , 建立空間直角坐標(biāo)系 . 就平面 ABC的一個法向量為 n1=0,0,1, 設(shè)平面 AEF的法向量為 n2=x,y,z. 設(shè)正方體的棱長為 1, A1,0,0,E1,1, 錯誤！未找到引用源； , F0,1, 錯誤！未找到引用源； , AE=0,1, 錯誤！未找到引用源；, 錯誤！未找到引用源；EF =-1,0,錯誤！未找到引用源； , 就錯誤！未找到引用源；yx1 3zz0,取 x=1, 就 y=-1,z=3. 10,

5、3故 n2=1,-1,3, cos=錯誤！未找到引用源；n 1n n=錯誤！未找到引用源；3 11 11, n 1設(shè)平面 AEF與平面 ABC所成的二面角為 0 90 , 就 cos =錯誤！未找到引用源； ,sin 誤！未找到引用源； . 答案 : 錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源； , tan =錯4. 新課標(biāo)全國卷 , 理 18 如圖, 三棱柱 ABCA1B1C1 中,CA=CB,AB=AA 1, BAA1=60 . 1 證明 ABA1C; 2 如平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB,求直線 A1C 與平面 BB1C1C所成角的正弦值 . 1 證明 : 取 AB的中點 O

6、,連接 OC、OA1、A1B. 由于 CA=CB,所以 OCAB. 由于 AB=AA 1, BAA1=60 , 故 AA1B 為等邊三角形 , 所以 OA1AB. 由于 OCOA1=O, 所以 AB平面 OA1C. 又 A1C. 平面 OA1C,故 ABA1C. 2 解: 由1 知 OCAB,OA1AB. 又平面 ABC平面 AA1B1B, 交線為 AB, 所以 OC平面 AA1B1B, 故 OA,OA 1,OC兩兩垂直 . 以 O為坐標(biāo)原點 , 錯誤！未找到引用源； 的方向 為 x 軸的正方向 , | 錯誤！未找到引用源； | 為單位長 , 建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 O xyz. 設(shè) A

7、B=2,就 A1,0,0,A 10, 錯誤！未找到引用源； ,0,C0,0, 3 , B-1,0,0. 就錯誤！未找到引用源； =1,0, 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源；=錯誤！未找到引用源； =-1, 錯誤！未找到引用源；,0, 錯誤！未找到引用源； =0,- 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； . 設(shè) n=x,y,z 是平面 BB1C1C的法向量 , 就錯誤！未找到引用源；n BC 0,n BB 1 0.x 3 z 0,即錯誤！未找到引用源；x 3 y 0.可取 n=錯誤！未找到引用源； ,1,-1. 故 cos=錯誤！未找到引用源；n AC=-10錯誤！未n

8、AC5找到引用源； . 所以 A1C與平面 BB1C1C所成角的正弦值為 10 . 55. 重慶卷 , 理 19 如圖 , 四棱錐 P ABCD中,PA底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4,ACB=ACD=錯誤！未找到引用源； ,F 為 PC的中點 ,AFPB. 1 求 PA的長; 2 求二面角 B AF D的正弦值 . 解:1 如圖 , 連接 BD交 AC于點 O, 由于 BC=CD, 即 BCD為等腰三角形 , 又 AC平分 BCD, 故 ACBD. 以 O為坐標(biāo)原點 , 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到 引用源； 的方向分別為 x 軸,y 軸,z 軸的

9、正方向 , 建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz, 就 OC=CDcos錯誤！未找到引用源； =1, 而 AC=4, 得 AO=AC-OC=3, 又 OD=CDsin 錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源； , 故 A0,-3,0,B錯誤！未找到引用源； ,0,0,C0,1,0,D-錯誤！未找到引用源； ,0,0. 因 PA底面 ABCD,可設(shè) P0,-3,z, 由 F 為 PC邊中點 ,F0,-1,錯誤！未找到引用源；. 又錯誤！未找到引用源； =0,2, 錯誤！未找到引用源；= 錯誤！未找到引用源； ,3,-z, 由于 AFPB, z , 錯誤！未找到引用源；2故錯誤！未找到引用源； 錯誤

10、！未找到引用源； =0, 即 6- 錯誤！未找到引用源； =0,z=2 錯誤！未找到引用源； 舍去 z=-2 3 , 所以 | 錯誤！未找到引用源； |=2 錯誤！未找到引用源； . 2 由1 知錯誤！未找到引用源； =- 錯誤！未找到引用源； ,3,0, 錯誤！未找 到引用源； =錯誤！未找到引用源； ,3,0, 錯誤！未找到引用源； =0,2, 錯誤！未找到引用源；. 設(shè)平面 FAD的法向量為 n1=x1,y1,z1, 平面 FAB的法向量為 n2=x2,y2,z2, 由 n1 錯誤！未找到引用源； =0,n 1錯誤！未找到引用源； =0, 得錯誤！未找到引用源；23 x 13y 10,y

11、 13 z 10,因此可取 n1=3, 錯誤！未找到引用源； ,-2. 由 n2 錯誤！未找到引用源； =0,n 2錯誤！未找到引用源； =0, 得錯誤！未找到引用源；23x 23 y20,y23 z20,故可取 n2=3,- 錯誤！未找到引用源； ,2. 從而法向量 n1,n2的夾角的余弦值為cos=錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源；1. 8故二面角 B AF D的正弦值為3 7 8錯誤！未找到引用源； . 6. 四川卷 , 理 19 如圖 , 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 側(cè)棱 AA1底面 ABC,AB=AC=2AABAC=120 ,D,D1分別是線段 BC,B1C1 的中

12、點 ,P 是線段 AD的中點 . 1 在平面 ABC內(nèi), 試作出過點 P與平面 A1BC平行的直線 l, 說明理由 , 并證明直線 l 平面 ADD 1A1; 2 設(shè)1 中的直線 l 交 AB于點 M,交 AC于點 N,求二面角 A A1M N的余弦值 . 解:1 如圖 , 在平面 ABC內(nèi), 過點 P 作直線 l BC,由于 l 在平面 A1BC外,BC 在平面 A1BC內(nèi), 由直線與平面平行的判定定理可知由已知 ,AB=AC,D是 BC的中點 , ,l 平面 A1BC. 所以 BCAD,就直線 l AD. 由于 AA1平面 ABC,所以 AA1直線 l. 又 AD,AA1 在平面 ADD

13、1A1內(nèi), 且 AD與 AA1相交 , 所以直線 l 平面 ADD 1A1. 2 法一 連接 A1P,過 A 作 AEA1P于 E,過 E 作 EFA1M于 F, 連接 AF. 由1 知,MN平面 AEA1, 所以平面 AEA1平面 A1MN. 所以 AE平面 A1MN,就 A1MAE. 所以 A1M平面 AEF,就 A1MAF. 故 AFE為二面角 A A1MN的平面角 設(shè)為 . 設(shè) AA1=1, 就由 AB=AC=2AA 1, BAC=120 , 有 BAD=60 ,AB=2,AD=1. 又 P 為 AD的中點 , 所以 M為 AB的中點 , 且 AP=錯誤！未找到引用源； ,AM=1,

14、所以在 Rt AA1P中,A 1P=5 2; 在 Rt A1AM中,A 1M=錯誤！未找到引用源； . 從而 AE=錯誤！未找到引用源；AA 1AP=1 5錯誤！未找到引用源； ,AF=錯誤！未25. A P找到引用源；AA 1AM=1 2, A M 1所以 sin =錯誤！未找到引用源；AE AF=所以 cos =錯誤！未找到引用源；1sin2=122錯誤！未找到引用源；5=15 5. 故二面角 A A1M N的余弦值為 錯誤！未找到引用源； . 法二 設(shè) A1A=1.如圖, 過 A1 作 A1E平行于 B1C1, 以 A1 為坐標(biāo)原點 , 分別以 錯誤！未找到引用源；A E , A D 錯

15、誤！未找到引用源；, 錯誤！未找到引用源；1A A的方向為 x 軸,y 軸,z 軸的正方向 , 建立空間直角坐標(biāo)系O xyz 點 O與點 A1 重合 . 就 A10,0,0,A0,0,1. 由于 P 為 AD的中點 , 所以 M,N分別為 AB,AC的中點 , 故 M錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； ,1,N-錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； ,1, 所以 錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； ,1,錯誤！未找到引用源； =0,0,1,NM = 錯誤！未找到引用源； ,0,0. 設(shè)平面 AA1M的一個法向量為n1=x 1,y 1,z

16、 1, 就n 1A M0,錯誤！未找到引用源；n 1n 1A M,即錯誤！未找到引用源；A A ,n 1A A0,故有 錯誤！未找到引用源；x 1,y z 13 1 ,2 2,10,從而 錯誤！未找到引用源；x 1,y z 10,0,10,3x 11y 1z 10,22z 10.取 x1=1, 就 y1=-錯誤！未找到引用源； , 所以 n1=1,- 錯誤！未找到引用源； ,0. 設(shè)平面 A1MN的一個法向量為n2=x 2,y 2,z 2, 就n 2A M0,錯誤！未找到引用源；n 2n 2A M,即錯誤！未找到引用源；NM,n 2NM0,故有 錯誤！未找到引用源；x 2,y 2,z 23 1

17、 ,2 2,10,x 2,y 2,z 23,0,00,3x 21y2z 20,從而 錯誤！未找到引用源；223x 20.取 y2=2, 就 z2=-1, 所以 n2=0,2,-1. 設(shè)二面角 A A1M N的平面角為 , 又 為銳角 . 就 cos =n 1n 2n 1n2=1,3,0 0, 2, 125=錯誤！未找到引用源； . 故二面角 A A1M N的余弦值為 錯誤！未找到引用源； . 7. 四川卷 , 理 19 改編 如下列圖 , 在三棱錐 P ABC中, APB=90 , PAB=60 ,AB=BC=CA,平面 PAB平面 ABC. 1 求直線 PC與平面 ABC所成的角的正弦值 ;

18、 2 求二面角 B AP C的余弦值 . 解:1 如下列圖 , 設(shè) AB的中點為 D,作 POAB于點 O,連接 CD. 由于平面 PAB平面 ABC, 平面 PAB平面 ABC=AD, 所以 PO平面 ABC. 所以 POCD. 由 AB=BC=CA,知 CDAB. 設(shè) E 為 AC的中點 , 就 EO CD, 從而 OEPO,OEAB. 如下列圖 , 以 O為坐標(biāo)原點 ,OB、OE、OP所在直線分別為 x、y、z 軸建立空間直 角坐標(biāo)系 O xyz. 不妨設(shè) PA=2,由已知可得 AB=4,OA=OD=1,OP= 錯誤！未找到引用源； ,CD=2錯誤！未找到引用源； . 所以 O0,0,0

19、,A-1,0,0,C1,2錯誤！未找到引用源；,0,P0,0,錯誤！未找到引用源； , 所以 錯誤！未找到引用源；CP =-1,-2錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； . 而錯誤！未找到引用源； =0,0, 錯誤！未找到引用源； 為平面 ABC的一個法向 量, 設(shè) 為直線 PC與平面 ABC所成的角 , 就 sin =CP OP CP OP=0 1603 3=錯誤！未找到引用源；. 故直線 PC與平面 ABC所成的角的正弦值為 錯誤！未找到引用源； . 2 由1 有錯誤！未找到引用源； =1,0, 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到 引用源； =2,2 3 ,0. 設(shè)平面 AP

20、C的一個法向量為 n=x 1,y 1,z 1, 就錯誤！未找到引用源；nAP ,. 錯誤！未找到引用源；n AP0,nAC,n AC0. 錯誤！未找到引用源；x y z 11,0, 30,x y z 12,23,00.從而 錯誤！未找到引用源；x 13z 10,2 x 12 3y 10.取 x1=-錯誤！未找到引用源； , 就 y1=1,z 1=1, 所以 n=- 錯誤！未找到引用源； ,1,1. 設(shè)二面角 B AP C的平面角為 , 易知 為銳角 . 而平面 ABP的一個法向量為 m=0,1,0, 就cos =n m n m= 3 1 1 1= 5錯誤！未找到引用源；5 . 故二面角 B A

21、P C的余弦值為 錯誤！未找到引用源；. 8. 浙江卷 , 理 20 如圖 , 在四周體 A BCD中,AD平面 BCD,BCCD,AD=2,BD=2錯 誤！未找到引用源；,M 是 AD的中點 ,P 是 BM的中點 , 點 Q在線段 AC上, 且 AQ=3QC. 1 證明 :PQ 平面 BCD; 2 如二面角 C BMD的大小為 60 , 求BDC的大小 . 1 證明 : 如下列圖 , 取 BD的中點 O, 以 O為原點 ,OD,OP所在射線為 y,z 軸的正半軸 , 建立空間直角坐標(biāo)系O xyz. ,2,B0,-錯誤！未找到引用源； ,0, 由題意知 A0, 錯誤！未找到引用源；D0, 錯誤

22、！未找到引用源； ,0. 設(shè)點 C的坐標(biāo)為 x 0,y 0,0, 由于 AQ 錯誤！未找到引用源； =3 QC錯誤！未找到引用源； , 所以 Q錯誤！未找到引用源；3 4x0, 錯誤！未找到引用源； +錯誤！未找到引用源；y0, 錯誤！未找到引用源； . 由于點 M為 AD的中點 , 故 M0, 錯誤！未找到引用源； ,1. 又點 P 為 BM的中點 , 故 P0,0, 錯誤！未找到引用源； , 所以 錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源；+錯誤！未找到引用源； y0,0. 又平面 BCD的一個法向量為 a=0,0,1, 故 PQ 錯誤！未找到引用源； a=0. 又 PQ.平面 BCD,

23、 所以 PQ 平面 BCD. 2 解: 設(shè) m=x,y,z 為平面 BMC的一個法向量 . x0, 錯誤！未找到引用源；由錯誤！未找到引用源；CM =-x 0, 錯誤！未找到引用源； -y 0,1, 錯誤！未找到引用源；BM =0,2 錯誤！未找到引用源； ,1, 知錯誤！未找到引用源；x xz2y0yz0,2 2y0.取 y=-1, 得 m=錯誤！未找到引用源； ,-1,2錯誤！未找到引用源； . 又平面 BDM的一個法向量為 n=1,0,0,于是9y0 x 0 x222=|cos|=m n m n錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源；0y 0錯誤！未找到引用源； , 即y 0 x 0

24、2錯誤！未找到引用源； 2=3. 又 BCCD, 所以CB錯誤！未找到引用源； 錯誤！未找到引用源； =0, 故-x 0,- 錯誤！未找到引用源； -y 0,0 -x 0, 錯誤！未找到引用源； -y 0,0=0, 即 x 錯誤！未找到引用源； + y 錯誤！未找到引用源； =2. x 0 0,聯(lián)立 , 解得 錯誤！未找到引用源；y 0 2 舍去或x 0 6 ,2y 0 2 .2所以 tan BDC= x 0 =錯誤！未找到引用源； . 2 y 0又 BDC是銳角 , 所以 BDC=60 . 考點二 用向量法證明直線、平面的平行或垂直關(guān)系 安徽卷 , 理 18 平面圖形 ABB1A1C1C如圖

25、所示 , 其中 BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=錯誤！未找到引用源； ,A 1B1=A1C1=錯誤！未找到引用源； .現(xiàn)將該平面圖形分別沿 BC和 B1C1折疊 , 使 ABC與 A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直 , 再分別連接 A1A,A1B,A1C,得到如圖所示的空間圖形 , 對此空間圖形 解答以下問題 . 1 證明 :AA1BC; 2 求 AA1 的長; 3 求二面角 A BCA1的余弦值 . 1 證明 : 取 BC、B1C1的中點分別為 D和 D1, 連接 A1D1、DD1、AD. 由 BB1C1C為矩形知 ,DD1B1C1. 由于平面 BB1C1C平

26、面 A1B1C1, 所以 DD1平面 A1B1C1. 又由 A1B1=A1C1知,A 1D1B1C1. 故以 D1為坐標(biāo)原點 , 可建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 D1 xyz. 由題設(shè) , 可得 A1D1=2,AD=1. 由以上可知 AD平面 BB1C1C,A1D1平面 BB1C1C, 于是 AD A1D1. 所以 A0,-1,4,B1,0,4,A 10,2,0,C-1,0,4, D0,0,4, 故錯誤！未找到引用源；AA =0,3,-4,錯誤！未找到引用源； =-2,0,0,錯誤！未找到引用源； 錯誤！未找到引用源； =0, 因此 錯誤！未找到引用源； 錯誤！未找到引用源；, 即 AA1BC

27、. 2 解: 由于 錯誤！未找到引用源； =0,3,-4, 所以| 錯誤！未找到引用源； |=5,即 AA1=5. 3 解: 法一 連接 A1D. 由 BCAD,BCAA1, 可知 BC平面 A1AD,所以 BCA1D, 所以 ADA 1為二面角 A BC A1的平面角 . 錯誤！未找到引用源；=0,2,-4, 由于 錯誤！未找到引用源；DA =0,-1,0,所以 cos=-錯誤！未找到引用源；1222 42=-5 5錯誤！未找到引用源； , 即二面角 A BCA1的余弦值為 - 錯誤！未找到引用源； . 法二 設(shè)平面 A1BC的法向量為 n1=x1,y1,z1, 又由于 錯誤！未找到引用源；

28、 =-1,-2,4,所以 錯誤！未找到引用源；AC n 10,A B n 10,錯誤！未找到引用源； =1,-2,4, 即錯誤！未找到引用源；x 12y 14z 10,. 錯誤！未找到引用源；x 10,.2402z 1x 1y 1z 1y 1令 z1=1, 就 n1=0,2,1. 又由于平面 ABCz 軸, 所以取平面 ABC的一個法向量 n2=0,0,1, 就 cos=錯誤！未找到引用源；n 1n n=錯誤！未找到引用源；21=錯誤！n15未找到引用源； , 所以二面角 A BCA1的余弦值為 - 錯誤！未找到引用源； . 考點三 用向量法求點到面的距離或兩點間的距離 1.2022 年福建卷

29、 , 理 20 如圖, 四棱錐 P ABCD中,PA底面 ABCD,四邊形 ABCD 中,ABAD,AB+AD=4,CD= 錯誤！未找到引用源； , CDA=45 . 1 求證 : 平面 PAB平面 PAD. 2 設(shè) AB=AP. 如直線 PB與平面 PCD所成的角為 30 , 求線段 AB的長 ; 在線段 AD上是否存在一個點 G,使得點 G到點 P,B,C,D 的距離都相等 .說明理 由. 1 證明 : 分別以 AB、AD、AP所在直線為 x 軸、y 軸、 z 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz, 如下列圖 . 易知平面 PAB的一個法向量為 n1=0,1,0,n1 n2=0, n1n2,

30、 平面 PAB平面 PAD. 2 解: 設(shè) AB=AP=a0a4, 平面 PAD的一個法向量為 n2=1,0,0, 就 P0,0,a,Ba,0,0,D0,4-a,0,C1,4-a-1,0, PB =a,0,-a, 設(shè)平面 PCD的一個法向量為 m=x,y,z, 由錯誤！未找到引用源；m PD0,得錯誤！未找到引用源；4a yaz0,xy0.m CD0,令 y=a 得 m=a,a,4-a. 由直線 PB與平面 PCD所成的角為 30 , 得 sin 30 =|cos|=a23a48a16=錯誤！未找到2 aa2a引用源； , 整理 , 得 5a 2-24a+16=0, 解得 a=錯誤！未找到引用

31、源； 或 a=4舍去 , 即 AB長為錯誤！未找到引用源； . 假設(shè)線段 AD上存在點 G0,t,00t 4-a, 使|GP|=|GB|=|GC|=|GD|, 錯誤！未找到引用源； =0,-t,a, 錯誤！未找到引用源； =1,3-a-t,0,錯誤！未找到引用源； =a,-t,0, 錯誤！未找到引用源； =0,4-a-t,0, 由| 錯誤！未找到引用源； |=| 錯誤！未找到引用源；| 得 1 2+3-a-t2=4-a-t2, 即 t=3-a. 由| 錯誤！未找到引用源； |=| 錯誤！未找到引用源；| 得4-a-t2=t2+a 2, 得 8-4a-4t+at=0.聯(lián)立消去 t 得 a 2-3

32、a+4=0. 由于方程的判別式 =-32-4 40,故方程無實根 . 所以在線段 AD上不存在一個點 G,使得點 G到點 P、B、C、D的距離都相等 . 2.2022 年江蘇卷 ,22 如圖 , 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,點 N是 BC 的中點 , 點 M在 CC1 上. 設(shè)二面角 A1 DNM的大小為 . 1 當(dāng) =90 時 , 求 AM的長 ; 2 當(dāng) cos =錯誤！未找到引用源；6 6時, 求 CM的長. 解: 建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 D xyz. 設(shè) CM=t0t 2, 就各點的坐標(biāo)為 A1,0,0,A 11,0,2,N 錯誤！未找到引用源

33、； ,1,0,M0,1,t. 所以DN錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源；,1,0, 錯誤！未找到引用源； =0,1,t, 錯誤！未找到引用源； =1,0,2. 設(shè)平面 DMN的法向量為 n1=x 1,y 1,z 1, 就 n1 錯誤！未找到引用源； =0,n 1即 x1+2y1=0,y 1+tz 1=0. 令 z1=1, 就 y1=-t,x 1=2t. 錯誤！未找到引用源； =0. 所以 n1=2t,-t,1 是平面 DMN的一個法向量 . 設(shè)平面 A1DN的法向量為 n2=x2,y2,z2, 就 n2 錯誤！未找到引用源； =0,n 2即 x2+2z2=0,x 2+2y2=0. 令

34、 z2=1, 就 x2=-2,y 2=1. 錯誤！未找到引用源； =0. 所以 n2=-2,1,1 是平面 A1DN的一個法向量 . 1 由于 =90 , 所以 n1n2=-5t+1=0, 解得 t= 錯誤！未找到引用源； . 從而 M0,1, 錯誤！未找到引用源； . 所以 AM=錯誤！未找到引用源；1252 112=錯誤！未找到引用源；51 5. 1. 52 由于 |n1|= 錯誤！未找到引用源；t21,|n2|= 錯誤！未找到引用源； , 所以 cos=錯誤！未找到引用源；n 1n n=錯誤！未找到引用源；265t5 t1n 12由于 = 或 - , 所以65t5t11=錯誤！未找到引用

35、源； , 解得 t=0 或 t= 錯誤！未找到引用源； . 2依據(jù)圖形和 1 的結(jié)論可知 t= 錯誤！未找到引用源； , 從而 CM的長為 錯誤！未找 到引用源； . 3.2022 年江西卷 , 理 20 如圖 , BCD與 MCD都是邊長為 2 的正三角形 , 平面 MCD平面 BCD,AB平面 BCD,AB=2錯誤！未找到引用源； . 1 求點 A 到平面 MBC的距離 ; 2 求平面 ACM與平面 BCD所成二面角的正弦值 . 解: 取 CD中點 O,連接 OB,OM,就 OBCD,OMCD. 又平面 MCD平面 BCD,所以 MO平面 BCD. 取 O為原點 , 直線 OC、BO、OM

36、為 x 軸、y 軸、z 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系如圖 ,OB=OM= 錯誤！未找到引用源； , 就各點坐標(biāo)分別為C1,0,0,M0,0,錯誤！未找到引用源； ,B0,-錯誤！未找到引用源； ,0,A0,-錯誤！未找到引用源； ,2 錯誤！未找到引用源； . 1 設(shè) n=x,y,z 是平面 MBC的法向量 . 錯誤！未找到引用源； =1, 錯誤！未找到引用源； ,0, 錯誤！未找到引用源；=0, 錯誤！未找到引用源； , 3 . 由 n錯誤！未找到引用源； 得 x+錯誤！未找到引用源； y=0; 由 n錯誤！未找到引用源； 得錯誤！未找到引用源；z=0. y+錯誤！未找到引用源；取 n=錯誤！未

37、找到引用源； ,-1,1,錯誤！未找到引用源； =0,0,2錯誤！未找到引用源； , BA n就所求距離 =錯誤！未找到引用源；n =2 3 5=錯誤！未找到引用源； . 2 錯誤！未找到引用源；CM =-1,0, 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； =-1,-錯誤！未找到引用源； ,2 錯誤！未找到引用源； . 設(shè)平面 ACM的法向量為 n1=x 1,y 1,z 1, 由 n1錯誤！未找到引用源； ,n1錯誤！未找到引用源；得錯誤！未找到引用源；x 13 z 10,0,x 13y 12 3 z 1解得 x1=錯誤！未找到引用源； z1,y 1=z1, 取 n1=錯誤！未找到引用源

38、； ,1,1. 又平面 BCD的法向量為 n2=0,0,1, 所以 cos=錯誤！未找到引用源； =1 5錯誤！未找到引用源； . 設(shè)所求二面角為 , 就 sin =2 5 5錯誤！未找到引用源； . 故所求二面角的正弦值為 錯誤！未找到引用源； . 模擬試題考點一 求空間角1.2022 浙江溫州高三適應(yīng)性測試 垂直 , 且BAC= 如下列圖 , 已知 ABC與 BCD所在平面相互BCD=90 ,AB=AC,CB=CD,點 P,Q 分別在線段 BD,CD上, 沿直線 PQ將 PQD向上 翻折 , 使 D與 A 重合. 1 求證 :ABCQ; 2 求直線 AP與平面 ACQ所成的角 . 1 證明

39、 : 平面 ABC平面 BCQ, 平面 BCQ平面 ABCD=BC, 又 CQBC,CQ平面 ABC,CQAB. 2 解: 取 BC的中點 O,BD的中點 E,連接 OA,OE, 就 OE CD, OEBC. AB=AC, AOBC, AO平面 BCD. 如下列圖 , 以 OB所在直線為 x 軸, 以 OE所在直線為 y 軸, 以 OA所在直線為 z 軸,建立空間直角坐標(biāo)系 . 不妨設(shè) BC=2,就 A0,0,1,E0,1,0,C-1,0,0,D-1,2,0, 設(shè) Px,1-x,0, 由|AP|=|DP|, 即 x 2+1-x 2+1=x+1 2+x+1 2, 解得 x=0, 所以 P0,1,

40、0, 故錯誤！未找到引用源； =0,1,-1,P 與 E 兩點重合 . 設(shè) n=x,y,z 為平面 ACQ的法向量 , 錯誤！未找到引用源； =-1,0,-1, 設(shè) CQ 錯誤！未找到引用源； = OE 錯誤！未找到引用源； = 0,1,0, 由錯誤！未找到引用源；n AC0,得錯誤！未找到引用源；xz0,y0,n CQ0,可取 n=1,0,-1. 設(shè)直線 AP與平面 ACQ所成的角為 , 就 sin =|cos|= 錯誤！未找到引用源；212=錯誤！未找到引用源； , 所以 =錯誤！未找到引用源；, 即直線 AP與平面 ACQ所成的角為 錯誤！未找到引用源；. 2.2022 海南瓊州模擬 已

41、知在四棱錐 P ABCD中, 底面 ABCD是矩形 , 且AD=2,AB=1,PA平面 ABCD,E、F 分別是線段 AB、BC的中點 . 1 證明 :PFFD; 2PA 上是否存在點 G,使得 EG 平面 PFD.說明理由 ; 3 如 PB與平面 ABCD所成的角為 45 , 求二面角 A PD F 的余弦值 . 1 證明 :PA平面 ABCD,ABAD, AB=1,AD=2, 建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 A xyz, 就 A0,0,0,B1,0,0,F1,1,0,D0,2,0. 不妨令 P0,0,t, 就錯誤！未找到引用源；PF =1,1,-t, 又錯誤！未找到引用源；=1,-1,0,

42、錯誤！未找到引用源； 錯誤！未找到引用源； =1 1+1 -1+-t 0=0, 即 PFFD. 解:2 設(shè)平面 PFD的法向量為 n=x,y,z, 由錯誤！未找到引用源；n PF0,得錯誤！未找到引用源；xytz0,xy0,n DF0,令 z=1, 解得 x=y=錯誤！未找到引用源； , 此時,n= 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； ,1. 設(shè) PA上存在 G0,0,m 滿意條件 , 又 E錯誤！未找到引用源； ,0,0, 就錯誤！未找到引用源； =- 錯誤！未找到引用源； ,0,m, 要使 EG 平面 PFD,只需 錯誤！未找到引用源；EG n=0, 即- 錯誤！未找到引用源；

43、 錯誤！未找到引用源； +0 錯誤！未找到引用源；+1 m=0, 得 m=錯誤！未找到引用源； t, 從而點 G存在且滿意 AG=錯誤！未找到引用源； AP. 3 易知 AB平面 PAD, 錯誤！未找到引用源； 是平面 PAD的一個法向量 , 易得錯誤！未找到引用源；=1,0,0, 又 PA平面 ABCD, PBA是 PB與平面 ABCD所成的角 , 得 PBA=45 . PA=1,平面 PFD的一個法向量為 n=錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； ,1, cos= 錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源；111+1=6 6錯誤！未找到引用源； , 2+44故所求二面角 A P

44、DF 的余弦值為 錯誤！未找到引用源； . 考點二 向量法證直線、平面的平行、垂直關(guān)系 1.2022 山東臨沂高三上期末 如下列圖 , 在三棱錐 S ABC中,SC平面 ABC,點 P、M分別是 SC和 SB的中點 , 設(shè) PM=AC=1,ACB=90 , 直線 AM與直線 SC所成的角為 60 . 1 求證 :BC 平面 AMP; 2 求證 : 平面 MAP平面 SAC; 3 求二面角 M AB C的余弦值 . 1 證明 : P,M分別為 SC,SB中點 , PM 錯誤！未找到引用源；BC.由 PM=1,得 BC=2, 又 BC.平面 AMP,MP. 平面 AMP, BC 平面 AMP. 2

45、 證明 : 分別以 CA、CB、CS所在直線為 x 軸、y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 , 如下列圖 . 就 A1,0,0, 設(shè) M0,1,mm0, 就 AM 錯誤！未找到引用源； =-1,1,m,S0,0,2m, 錯誤！未找到引用源；SC=0,0,-2m, 由直線 AM與直線 SC所成的角為 60 得 , cos 60 =錯誤！未找到引用源； =22m24m2, 錯誤！未找到引用m2解得 m=6 3錯誤！未找到引用源； . 此時 P0,0,6 3,M0,1,源； . 設(shè)平面 MAP的法向量是 n=x,y,z, 由錯誤！未找到引用源；n PA0,得錯誤！未找到引用源；x6z0,3n MP0

46、,y0,令 z=1, 得 n=錯誤！未找到引用源； ,0,1. 又平面 SAC的一個法向量為 錯誤！未找到引用源； =0,2,0, nCB 錯誤！未找到引用源；=0, n錯誤！未找到引用源； , 即平面 MAP平面 SAC. 3 解: 設(shè)平面 MAB的法向量為 m1=x,y,z, 又錯誤！未找到引用源； =-1,1, =-1,2,0, 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源；由錯誤！未找到引用源；m 1AM0,得錯誤！未找到引用源；x yy6 3z0,m 1AB0,x20.令 z=錯誤！未找到引用源； , 得 m1=4,2, 錯誤！未找到引用源； , 又平面 ABC的一個法向量 m2=0

47、,0,1, cos=錯誤！未找到引用源；1666=錯誤！未找到引用源；, 4即二面角 M AB C的余弦值為39 13錯誤！未找到引用源； . 2.2022 山東臨沂高三一模 如下列圖 , 在四棱錐 P ABCD中,E 是 PC的中點 ,PA、AB、AD兩兩垂直 ,AB CD,AB=1,PA=AD=CD=2. 1 求證 :BE 平面 PAD; 2 求證 :BE平面 PCD. 證明 :1 建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 , 就 B0,1,0,C-2,2,0,P0,0,2, E-1,1,1, BE 錯誤！未找到引用源； =-1,0,1. 又平面 PAD的一個法向量 n=錯誤！未找到引用源；=0,1,

48、0, 錯誤！未找到引用源； n=0, 錯誤！未找到引用源； n, BE 平面 PAD. 2 設(shè)平面 PCD的法向量 m=x,y,z, 又 D-2,0,0,錯誤！未找到引用源；=0,2,0, PD 錯誤！未找到引用源；=-2,0,-2, 就由 錯誤！未找到引用源；m DC0,得錯誤！未找到引用源；y0,0,xzm PD0,令 z=-1 得 m=1,0,-1. 錯誤！未找到引用源； =-1,0,1=-m, 即 BE平面 PCD. 考點三 向量法求空間的距離錯誤！未找到引用源； m, 2022 山東淄博高三上期末考試 在三棱錐 S ABC中, ABC是邊長為 4 的正三角 形, 平面 SAC平面 A

49、BC,SA=SC=2錯誤！未找到引用源； ,M、N分別為 AB、SB的 中點 . 1 證明 :ACSB; 2 求二面角 N CMB 的余弦值 ; 3 求 B 點到平面 CMN的距離 . 1 證明 : 取 AC的中點 O,連接 SO,OB, SA=SC,O為 AC中點, SOAC, 又 ABC是正三角形 ,O 為 AC中點 , OBAC. 又 SOOB=O,AC平面 SOB, SB. 平面 SOB,ACSB. 解:2 平面 SAC平面 ABC,平面 SAC平面 ABC=AC,SO . 平面 SAC,SOAC, SO平面 ABC. 分別以 OA、OB、OS所在直線為 x 軸、 y 軸、z 軸, 建

50、立空間直角坐標(biāo)系 O xyz, 如 圖所示 . 在 Rt AOB中,AB=4,AO=2,OB=2錯誤！未找到引用源； , 在 Rt SAO中,SA=2 錯誤！未找到引用源； ,OA=2,SO=2錯誤！未找到引用源； , A2,0,0,B0,2 錯誤！未找到引用源； ,0,M1, 錯誤！未找到引用源； ,0,S0,0,2 錯誤！未找到引用源；,N0, 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； ,C-2,0,0, 錯誤！未找到引用源； CN =2, 錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源；, NM錯誤！未找到引用源； =1,0,-錯誤！未找到引用源； . 設(shè)平面 NCM的法向量 m=x

51、,y,z, 由錯誤！未找到引用源；m CN0,得錯誤！未找到引用源；2x3y0.2 z0,m NM0,x2z令 z=1, 得 m=錯誤！未找到引用源； ,- 錯誤！未找到引用源； ,1, 又平面 CMB的一個法向量 n=0,0,1, cos=錯誤！未找到引用源； , 就二面角 N CMB 的余弦值是 錯誤！未找到引用源；1 3. 3 錯誤！未找到引用源；BM=1,- 錯誤！未找到引用源； ,0, 設(shè)點 B到平面 CMN 的距離為 d, 就 d=| 錯誤！未找到引用源； | 到引用源；BM m mcos|=錯誤！未找=錯誤！未找到引用源；2 3 2 =錯誤！未找到引用源； , 3即 B 到平面

52、CMN的距離為 錯誤！未找到引用源；4 3. 2綜合檢測 1.2022 山東臨沂一中高三模擬 在正方體 ABCDA1B1C1D1 中,M、N分別是 CD、CC1 的中點 , 就異面直線 A1M與 DN所成的角是 A30 B45 C60 D90 解析 : 以 D為原點 , 分別以 DA、DC、DD1所在直線為 x 軸、 y 軸、z 軸, 建立空間直 角坐標(biāo)系 D xyz, 如下列圖 . 設(shè)正方體棱長為 1, 就 D0,0,0,A11,0,1,M0,錯誤！未找到引用源；,0,N0,1,錯誤！未找到引用源； , 1A M =-1, 錯誤！未找到引用源； ,-1,錯誤！未找到引用源； =0,1, 錯誤

53、！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； 錯誤！未找到引用源； =錯誤！未找到引用源； - 錯 誤！未找到引用源； =0, 錯誤！未找到引用源； DN 錯誤！未找到引用源； , 即 A1MDN,異面直線 A1M與 DN所成的角是 90 . 答案 :D 2.2022 山東泰安一模 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, 各側(cè)面均為正方形 , 側(cè)面 AA1C1C的 . 對角線相交于點 M,就 BM與平面 AA1C1C所成角的大小是 解析 : 由題意可知 , 三棱柱 ABCA1B1C1是各棱均相等的正三棱柱 , 分別取 AB、A1B1 的中點 O、O1, 連接 OO 1,OC,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系 O xyz. 設(shè)三棱柱棱長為 1, 就 B0,- 錯誤！未找到引用源； ,0,A0, 錯誤！未找到引用源； ,0,C-錯誤！未找到引用源； ,0,0,C 1- 錯誤！未找到引用源； ,0,1,A 10, 錯誤！未找到引用源； ,1, M-錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源；1 4, 錯誤！未找到引用源； ,錯誤！未找到引用源； =- 錯誤！未找到引用源；,3 4錯誤！未找到引用源； , 錯誤！未找到引用源； . 錯誤！未找到引用源； =-=0,0,1, 3 2,- 錯誤！未找到引用源； ,0, 錯誤！未找到引用源；設(shè)平面 ACC 1A1的法向量 n=x,y,z, 0,得錯誤