高考數(shù)學總復習教案導數(shù)在研究報告函數(shù)中應(yīng)用

1、其次章函數(shù)與導數(shù)第12 課時個人資料整理僅限學習使用導數(shù)在爭論函數(shù)中的應(yīng)用對應(yīng)同學用書 文、 理3032頁 考情分析 考點新知 導數(shù)與函數(shù)內(nèi)容的結(jié)合命題已成為近幾. 懂得函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系,能利用導. 年高考的流行趨勢,應(yīng)引起足夠的重視以導數(shù)為爭論函數(shù)的重要工具來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題是高考的熱點,同時解數(shù)爭論函數(shù)的單調(diào)性. 答題側(cè)重于導數(shù)的綜合應(yīng)用,即導數(shù)與函把握利用導數(shù)求函數(shù)極值與最值的方法數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合應(yīng)用會利用導數(shù)解決某些實際問題. , 1. 選修 22P28 例 1 改編 函數(shù) fxx315x233x6 的單調(diào)減區(qū)間為 _答案： 1,11 解讀： f x 3x2 3

2、0 x33 3x 11x 1,由 x11x 1亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間2. 選修 22P34 習題 3 改編 如函數(shù) fxexax 在 x 1 處取到極值,就 a _答案： e 解讀：由題意,f10,由于 f xexa,所以 ae. 3. 選修 22P34 習題 8函數(shù) yxsinx, x0,2 的值域為 _答案： 0,2 解讀：由y1cosx 0,所以函數(shù)yx sinx 在0,2 上是單調(diào)增函數(shù),所以值域為0,2 4. 原創(chuàng) 已知函數(shù)fx 錯誤 .x2blnx 在區(qū)間 錯誤 ., 上是減函數(shù),就b 的取值范疇是_答案： ,4 解讀： f x x錯誤 .0 在2, 上恒成立,即bx2 在2

3、, 上恒成立5. 選修 22P35 例 1 改編 用長為 90cm 、寬為 48cm 的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻折90 角,再焊接而成,就該容器的高為_cm 時,容器的容積最大答案： 10 解讀：設(shè)容器的高為xcm,即小正方形的邊長為xcm,該容器的容積為V,就 V902x48 2xx 4x3 69x2 1080 x , 0 x 12x 10 x 36,當0 x0；當 10 x12 時, V上是減函數(shù),故當x10 時, V 最大1. 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 在區(qū)間 a,b內(nèi),函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系：假如 f x0,那么函數(shù)yfx為該區(qū)間上

4、的增函數(shù)；假如 f x為該區(qū)間上的減函數(shù)2. 函數(shù)的極值與導數(shù)1 函數(shù)極值的定義如函數(shù) fx在點 x a 處的函數(shù)值fa比它在點 xa 鄰近其他點的函數(shù)值都要小,fa叫函數(shù)的微小值如函數(shù) fx在點 x b 處的函數(shù)值fb比它在點xb 鄰近其他點的函數(shù)值都要大,fb叫函數(shù)的極大值,微小值和極大值統(tǒng)稱為極值2 求函數(shù)極值的方法解方程 f x 0,當 f 0 0 時,假如在 x0 鄰近左側(cè)單調(diào)遞增,右側(cè)單調(diào)遞減,那么 fx0是極大值假如在 x0 鄰近左側(cè)單調(diào)遞減,右側(cè)單調(diào)遞增,那么 fx0是微小值3. 函數(shù)的最值1 最大值與最小值的概念假如在函數(shù)定義域 I 內(nèi)存在 x0,使得對任意的 xI,總有 f

5、x fx 0,就稱 fx0為函數(shù) fx在定義域上的最大值假如在函數(shù)定義域 I 內(nèi)存在 x0,使得對任意的 xI,總有 fx fx0,就稱 fx0為函數(shù) fx在定義域上的最小值2 求函數(shù) yfx在a,b上的最大值與最小值的步驟求函數(shù) yfx在a,b內(nèi)的極值將函數(shù)y fx的各極值與fa、fb比較,其中值最大的一個是最大值,值最小的一個是最小值4. 生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路是：錯誤 .錯誤 .錯誤 .錯誤 .題型 1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性例 1 已知函數(shù) fxx3ax1. 1 如 a3 時,求 fx的單調(diào)區(qū)間；2 如 fx在實數(shù)集 R 上單調(diào)遞增,求實數(shù) a 的取值范疇；3 是否存在實數(shù)

6、a,使 fx在1,1上單調(diào)遞減？如存在,求出 a 的取值范疇；如不存在,說明理由解： 1 當 a3 時, fxx33x 1, fx3x23,令 f x0即 3x230,解得 x1 或 x的單調(diào)增區(qū)間為 , 11, ,同理可求 fx的單調(diào)減區(qū)間為 1, 12 f3x2 a. fx在實數(shù)集 R上單調(diào)遞增, fx 0恒成立,即 3x2a0恒成立, a3x2min. 3x2 的最小值為 0, a0. 3 假設(shè)存在實數(shù) a 使 fx在1,1上單調(diào)遞減, fx 0在1,1上恒成立,即 a3x2. 個人資料整理 僅限學習使用又 3x20,3, a3. 存在實數(shù) a 使 fx在1,1上單調(diào)遞減,且 a3.錯誤

7、 .1 已知函數(shù) fx錯誤 .x2mlnx m1x,當 m 0 時,試爭論函數(shù) fx 的單調(diào)性；2 如函數(shù) fx 錯誤 .錯誤 .錯誤 . blnx 在1, 上是減函數(shù),求實數(shù) b 的取值范疇解： 1函數(shù)的定義域為 錯誤 .,fxx錯誤 .m1錯誤 . 錯誤 .當 10,得 0 x1,令 f x0,得 mx的單調(diào)遞增區(qū)間是 錯誤 .和錯誤 .,單調(diào)遞減區(qū)間是 錯誤 .；當 m1 時,同理可得,函數(shù) fx的單調(diào)遞增區(qū)間是 錯誤 .和錯誤 .,單調(diào)遞減區(qū)間是 錯誤 .2由 fx 錯誤 .錯誤 .錯誤 .blnx,得 f x x2錯誤 .,由題意,知f x 0 即 錯誤 .錯誤 .0 在錯誤 .上恒

8、成立,b錯誤 .錯誤 .,當 x錯誤 .時, 錯誤 .錯誤 ., b1.題型 2 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值例 2 設(shè)函數(shù) fx x2axbexx R1 如 a2,b 2,求函數(shù) fx的極大值；2 如 x 1 是函數(shù) fx的一個極值點試用 a 表示 b；設(shè)a0,函數(shù)gxa214ex4.如 1、20,4,使得 |f 1g 2| 1 成立,求 a 的取值范疇解： 1 f 2xaexx2axbexx22axabex,當 a2, b 2 時, fxx22x2ex,就 f xx24xex,令 f x0 得x24xex0, ex 0, x24x0,解得 x 4 或 x0,列表如下：x , 4 4 4,0 0

9、0, f x0 0 fx Z極大值微小值Z當 x 4 時,函數(shù) fx取極大值, fx極大值 錯誤 . 2 由1知 f xx22axabex. x1 是函數(shù) fx的一個極值點, f10,即 e12aab0,解得 b 32a. 由 知 f xexx22 ax3a exx1x3a,當 a0 時, fx在區(qū)間 0,1上的單調(diào)遞減,在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增,函數(shù) fx在區(qū)間 0,4上的最小值為 f1 a2e. f0b 32a0,f42a13e40,函數(shù) fx在區(qū)間 0,4上的值域是 f1 ,f4,即a2e,2a13e4又 gx a2 14ex 4 在區(qū)間 0 , 4 上是增函數(shù),且它在區(qū)間0 , 4 上的

10、值域是a214e4,a214e8,a2 14e42a13e4a22a1e4 a 12e4 0,個人資料整理僅限學習使用a存在1、20,4使得 |f 1g 2| 1 成立只須 a214e42a13e41T12e41T a12錯誤 .T1錯誤 .a1錯誤 .錯誤 .已知函數(shù) fx ax3bx23xa、bR在點 x 1 處取得極大值為 2. 1 求函數(shù) fx的解讀式；2 如對于區(qū)間 2,2上任意兩個自變量的值x1、x2,都有 |fx1 fx2| c,求實數(shù)c 的最小值解： 1 f3ax2 2bx3. 由題意,得 錯誤 .即錯誤 .解得 錯誤 .所以 fxx33x. 2 令 f x0,即 3x230,

11、得 x 1. 1, 1 1 1,2 2 x 2 2, 1 1 f x微小值2 fx 2 增極大值減增由于 f12,f1 2,所以當 x2,2時, fxmax2, fxmin 2. 就對于區(qū)間 2,2上任意兩個自變量的值4,所以 c4.所以 c 的最小值為 4. 題型 3 導數(shù)在實際問題中的應(yīng)用x1、 x2,都有 |fx1 fx2| |fxmaxfxmin|例 3請你設(shè)計一個包裝盒,如下列圖,ABCD是邊長為 60 cm 的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A、B、C、D 四個點重合于圖中的點 P,正好形成一個正四棱柱外形的包裝盒,E、 F 在 AB 上

12、是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè) AE FBx cm.1 某廣告商要求包裝盒側(cè)面積 Scm2最大,試問 x 應(yīng)取何值？2 某廠商要求包裝盒容積 Vcm3最大,試問 x 應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值解： 1 S6024x2602x2240 x8x20 x,所以 x15 cm 時側(cè)面積最大2 V錯誤 .x2錯誤 .602x2錯誤 .x230 x0 x,所以 V6錯誤 .x20 x,令 V 0,得 x20,當 0 x20 時, V 遞增；當 20 x經(jīng)猜測,一個橋墩的費用為256 萬元,相鄰兩個橋墩之間的距離均為x,且相鄰兩個橋墩之間的橋面工程費用為1錯誤 .x 萬元,假

13、設(shè)全部橋墩都視為點且不考慮其他因素,記工程總費用為 y 萬元1 試寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；2 當 m1 280M 時,需要新建多少個橋墩才能使 y 最??？解：依據(jù)題意,需要建個人資料整理僅限學習使用錯誤 .個橋墩和 錯誤 .段橋面工程1 y256錯誤 .錯誤 .1 錯誤 .xm錯誤 .m256錯誤 .2 當 m1 280 時, y1 280錯誤 .1 536,y 1 280錯誤 .,令 y0,得 x64,當 0 x64 時, y64 時, y0. 所以當 x64 時, y 有最小值 16 896,此時要建 21 個橋墩答：需要建 21 個橋墩才能使 y 最小【示例】 此題模擬高考評分

14、標準,滿分 14 分 已知函數(shù) fx lnxaxaR1 求函數(shù) fx的單調(diào)區(qū)間；2 當 a0 時,求函數(shù)fx在1,2上的最小值f x0,fx在 1, 2上的單調(diào)性,再確定最值是端點值仍是極值； 由于解讀式中含有參數(shù) a,要對參數(shù) a 進行分類爭論規(guī)范解答：解： 1 f 錯誤 .ax01 分 當 a0時, fx錯誤 .a0,即函數(shù) fx的單調(diào)增區(qū)間是 0, 3 分當 a0 時,令 f x錯誤 .a0,得 x錯誤 .,當 0 x錯誤 .0,當 x錯誤 .時, fx錯誤 .的單調(diào)增區(qū)間是 錯誤 .,單調(diào)減區(qū)間是 錯誤 .6 分 2 當錯誤 .1,即 a1時,函數(shù) fx在區(qū)間 1, 2上是減函數(shù),所以

15、 fx的最小值是 f2ln22a.8 分 當 錯誤 .2,即 0在區(qū)間 1,2上是增函數(shù),所以 fx的最小值是f1 a.10 分 fx在區(qū)間 錯誤 .上是增函數(shù),在區(qū)間錯誤 .上是減函當1錯誤 .2,即 錯誤 .af1ln2a,所以當 錯誤 .a a；當 ln2aln22a.12 分 綜上可知,當 0a 1. 2022 新課標 如存在正數(shù) x 使 2xxa解讀：由于 2xxax錯誤 .,令 fxx錯誤 .,所以 f x12xln20,所以 fx在0, 上單調(diào)遞增,所以 fxf001 1,所以 a 的取值范疇是 1,2. 2022大綱 如函數(shù) fxx2 ax錯誤 .在錯誤 .上是增函數(shù),就a 的

16、取值范疇是 _答案： a3解讀： f x2x a錯誤 .0 在錯誤 .上恒成立,即a錯誤 .2x 在錯誤 .上恒成立令gx個人資料整理 僅限學習使用錯誤 .2x,求導可得 gx在錯誤 .上的最大值為 3,所以 a3.3. 2022 揚州期末 已知函數(shù)fx lnx錯誤 .mR在區(qū)間 1,e上取得最小值4,就m_答案： 3e 解讀： f x錯誤 .錯誤 .錯誤 .,令 f x0,就 x m,且當 x單調(diào)遞減,當 xm 時, fx0,fx單調(diào)遞增如m1,即 m1 時, fxminf1m1,不行能等于 4；如 1me,即 emmin fmln m1,令 ln m14,得 m e3e, 1；如 me,即

17、 mmin fe1錯誤 .,令 1錯誤 .4,得 m 3e,符合題意綜上所述,m 3e.4. 2022 南京二模 設(shè)函數(shù) fxx2a2xalnx. 1 求函數(shù) fx的單調(diào)區(qū)間；2 如函數(shù) fx有兩個零點,求滿意條件的最小正整數(shù) a 的值；3 如方程 fxc 有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2,求證： f 錯誤 .0.1 解： f x2xa2 錯誤 .錯誤 .錯誤 .x0當 a0時, fx0,函數(shù) fx在0, 上單調(diào)遞增,所以函數(shù) fx的單調(diào)增區(qū)間為 0, 當 a0 時,由 f x0,得 x錯誤 .；由 f x0,得 0 x的單調(diào)增區(qū)間為 錯誤 .,單調(diào)減區(qū)間為 錯誤 .2 解：由 1得,如函數(shù) f

18、x有兩個零點,就 a0,且 fx的最小值 f錯誤 .0,即 a24a4aln錯誤 .0,所以 a 4ln錯誤 .40. 令 ha a 4ln錯誤 . 4,明顯ha在0, 上為增函數(shù),且h2 2 4ln錯誤 . 1ln錯誤 .10,所以存在 a02,3,ha00. 當 aa0 時, ha0；當 0a32ln30,f10,所以 a3 時, fx有兩個零點綜上所述,滿意條件的最小正整數(shù) a 的值為 3. 3 證明：由于 x1、x2 是方程 fxc 的兩個不等實根,由 1知 a0. 不妨設(shè) 0 x1x1alnx1c,x錯誤 .a2x2alnx2c.兩式相減得 x錯誤 .a2x1 alnx1x錯誤 .

19、a 2x2alnx20,即 x錯誤 . 2x1x錯誤 .2x2 ax1alnx1ax2alnx2ax1lnx1 x2lnx2所以 a錯誤 .由于 f 錯誤 .0,當 x 錯誤 .時, fx0,故只要證 錯誤 .錯誤 .即可,即證明 x1x2錯誤 .,即證明 x錯誤 .x錯誤 .x1x2lnx1lnx2x錯誤 .2x1x錯誤 .2x2,即證明 ln錯誤 .錯誤 . 設(shè) t錯誤 .0t令 gtlnt 錯誤 .,就 gt錯誤 .錯誤 .錯誤 .由于 t0,所以 gt 0,當且僅當 t1 時, gt0,所以 gt在0, 上是增函數(shù)又 g10,所以當 t0,1,gt上有且僅有一個解,那么實數(shù) a 的取值

20、范圍為 _答案： a0或 a2 解讀：由 ax錯誤 .3,得 a 錯誤 .錯誤 .令 t錯誤 .,就 ft3tt3,t 0, 用導數(shù)爭論 ft的圖象,得 fmaxt 2,當 x 0, 1時, ft 遞增,當 x1, 時, ft遞減,所以 a0或 a2.2. 已知函數(shù) fx lnx 錯誤 .,如函數(shù) fx在 0, 上為增函數(shù),就 a 的取值范疇是_答案： a2解讀： f x錯誤 .0 在0, 上恒成立,易得a2.MN 取得最小值時a 的值3. 設(shè)直線 y a 分別與曲線y2x 和 yex 交于點 M 、N,就當線段為_答案： 錯誤 .解讀：由題意,Ma2,a, Nlna,a,故 MN 的長 l|

21、a2 lna| a2lnaa0,由 l 2a錯誤 .錯誤 .錯誤 .,令 l ,得 la2lna 在錯誤 .上單調(diào)遞增；a錯誤 .時,線段MN 的長取得微小值,令 l ,得 la2lna 在錯誤 .上單調(diào)遞減,所以當也是最小值4. 已知函數(shù) fxax2xex,其中 e 是自然數(shù)的底數(shù),aR. 1 當 a0；2 如 fx在1,1上是單調(diào)函數(shù),求 a 的取值范疇；3 當 a0 時,求整數(shù) k 的全部值,使方程 fxx2 在k,k1上有解解： 1 由于 ex0,所以不等式 fx0 即為 ax2x0. 又 a0,所以不等式可化為 x錯誤 .0 的解集為 錯誤 .2 f2ax1exax2xex ax22a 1x1ex,當a0 時, fxx1ex, fx 0在1,1上恒成立,當且僅當x 1 時取等號,故 a0 符合要求；當 a 0時,令 gxax2 2a