2022年小學(xué)運(yùn)算技巧歸納

1、運(yùn)算技巧1湊整數(shù)法、運(yùn)用乘法公式法:1）1256183225=解題思路：1256183225=(1258)(425)618=61800000。2）99101=解題思路：99101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999。5.2+13.6+3.8+6.449253）計(jì)算199819971999的值為解：199819971999=1998-（1998-1）（1998+1）=1998-1998+1=14）199+9999有多少個(gè)0？ 解：199+9999 =1+299+9999=（1+99）=100 有4個(gè)0.4） 1999999999解法1：19999999991000999999

2、9991000999（1999）100099910001000（9991）100010001000000.解法2：19999999991999999（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.練習(xí)：1. 199999+9999999999的末尾有多少個(gè)零？ (個(gè)9) (個(gè)9) (個(gè)9)解：199999+9999999999(個(gè)9) (個(gè)9) (個(gè)9)=1+299999+9999999999(個(gè)9) (個(gè)9) (個(gè)9）=（1+99999）=（10000）=10的4004次方(個(gè)9) (個(gè)0)因此1999999+999999999

3、999的末尾有4004個(gè)零。(個(gè)9) (個(gè)9) (個(gè)9)2. 12345.100的積有多少個(gè)0？解：1002=50 1004=25 10016=64 10032=34 10064=136 100個(gè)數(shù)中有個(gè)50+25+6+3+1=85個(gè)21005=20 10025=4100中有24個(gè)524個(gè)0.31256183225的成果有多少個(gè)0？解：125=5 25=5 32= 618=2319 共有6個(gè)2，5個(gè)5。成果有5個(gè)0。2觀測尾數(shù)法1）425683544828= A.2488 B.2486 C.2484 D.2480答案為D。如果幾種數(shù)的數(shù)值較大，又似乎沒有什么規(guī)律可循，可以先考察幾種答案項(xiàng)尾數(shù)與

4、否都是唯一的，如果是，那么可以先運(yùn)用個(gè)位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算得到尾數(shù)，再從中找出唯一的相應(yīng)項(xiàng)。如上題，各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)相加=5+3+4+2）1111+6789+7897 A、15797 B、14798 C、15698 D、3）22+23+2524= A、1061 B、1062 C、1063 D、1064 答案B。解法：此題只需要計(jì)算出：2+3+543基準(zhǔn)數(shù)法1997+1998+1999 A.9993 B.9994 C.9995 D.9996答案為C。當(dāng)遇到兩個(gè)以上的數(shù)相加，且她們的值相近時(shí)，可以找一種中間數(shù)作為基準(zhǔn)，然后再加上每個(gè)加數(shù)與基準(zhǔn)的差，從而求得她們的和。在該題中，選作為基準(zhǔn)數(shù)，其她數(shù)分別比少3，少

5、2，少1，和多1，故五個(gè)數(shù)的和為9995。這種解題措施還可以用于求幾種相近數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。41） 132476111 解：111=100+10+1132476111=132476（100+10+1）=132476100+13247610+1324761=13247600+1324760+132476=147048362）=6327- =6327=+63270000+6327=6327+632710000+63271=6327(+10000+1)=6327直接寫：=63273）949393-929494解：原式=94（9300+93）-92（9400+94）=9493101-9294101=94

6、101=94944） HYPERLINK 原式=（-1）（+1）-=-+-1-=10000解：設(shè)a=,b=,則原式=(a+1)b-a(b+1)=b-a=100005）-=-=05分組結(jié)合法1）計(jì)算98+97-96-95+94+93-92-91+-4-3+2+1解：用分組法，觀測算式可以每四個(gè)數(shù)作為一組：98+97-96-95=4 94+93-92-91=4 6+5-4-3=4一共有96/4=24組，最后剩余2+1=3 因此和為244+3=992）計(jì)算100+99+98-97-96+95+94+93-92-91+10+9+8-7-6+5+4+3-2-1=(100+99+98-97-96)+(95

7、+94+93-92-91)+(10+9+8-7-6)+(5+4+3-2-1=104+99+14+9 （100/5=20個(gè)數(shù)，等差數(shù)列）=(104+9)20/2=11310=11303）計(jì)算 (13571999)(2461998) 解1：思路分析：從11999這1999個(gè)數(shù)中，奇數(shù)有1000個(gè)，偶數(shù)有999個(gè)除1外，將剩余的999個(gè)奇數(shù)和999個(gè)偶數(shù)兩兩分組 得到：1(32)(54)(76)(19991998) 199910004）計(jì)算（1351989）（2461988）解：先把兩個(gè)括號內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一種括號內(nèi)的數(shù)相加的成果是：從1到1989共有995個(gè)奇數(shù)，湊成497個(gè)1990，還

8、剩余995，第二個(gè)括號內(nèi)的數(shù)相加 的成果是：從2到1988共有994個(gè)偶數(shù)，湊成497個(gè)1990.19904979951990497995. 5） 用兩種措施計(jì)算(2469969981000)(135995997999)（2+4+6+996+998+1000）-（1+3+5+995+997+999），=2+4+6+996+998+1000-1-3-5-995-997-999）=2-1+4-3+6-5+1000-999=1500=5006. 分解質(zhì)因數(shù)法： 1）甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為1440，三個(gè)數(shù)之和是37且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？解：把1440分解質(zhì)因數(shù)： 1

9、440= 121210 =22322325 =（222）（33）（225） =8920 如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則： 89=72， 203+12=72 符合題中條件。答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。2）四個(gè)持續(xù)自然數(shù)的積是1680，這四個(gè)持續(xù)自然數(shù)的和是多少？1680=2222357=56785+6+7+8=267.提取公因數(shù)法：1）1239+828+417-=4139+4128+417-=41（27+16+7）-=2050-=402）簡便計(jì)算(1+12)+(2+122)+(3+123)（100+12100） (1+12)+(2+122)+(3+123)（100+121

10、00）=(1+12)+2(1+12)+3(1+12)100（1+12）=（1+2+3+100）13=505013=656503）計(jì)算 9999222233333334解：99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000. 4. 求11111（個(gè)）22222（個(gè)）33333（個(gè)）33333（個(gè)）所得商的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和分析：111222.2233333先除以111111等于100000003，中間的0都是1999個(gè)；再用100000003除以3等于33333334000001，得數(shù)

11、前面的3有1999個(gè)，因此答案是31999+4+1=6002解1：111222.2233333111111=100000003（兩個(gè)0都是1999個(gè)）；1000000033=33333334000001；33333334000001=33333334000001（得數(shù)前面的3有1999個(gè)）因此答案是31999+4+1=6002解2： 1233=41 11223333=3401 333=33401 .11111（個(gè)）22222（個(gè)）33333（個(gè)）33333（個(gè)）=3334001(1999個(gè)3,1個(gè)4,1999個(gè)01個(gè))因此答案是31999+4+1=6002練習(xí)：求算式93333（個(gè)3）5555

12、（個(gè)5）成果的各位數(shù)字和是多少？ 933335555=399995555=3(10000-1)5555=35555(10000-1)= 3(55550000-5555)=355544445=16663335各位數(shù)數(shù)字和=1+6+3+5=18045求算式93333（個(gè)3）5555（個(gè)5）的各位數(shù)的平方和是多少?9333333 555555= 3555555 999999= 166665 999999 【前1跟個(gè)6和1個(gè)5,后個(gè)9】= 166665 1000000 - 166665= 16666 3335 【1跟個(gè)6,后個(gè)3,1個(gè)5】各位數(shù)的平方和=1+=1+36+9+25=902158.數(shù)列規(guī)律

13、法： 1） 1+2+3+99+100= 2）1+3+5+99= 3） 2+4+6+.+100= 4）計(jì)算（1351989）（2461988）解答：（1+3+5+1989）（2+4+6+1988）=（1+1989）219902（2+1988）219882=995995995994=995(995994)=995直接用等差數(shù)列求和公式：偶數(shù)列n(n+1), 奇數(shù)列 n（1+3+5+1989）（2+4+6+1988）=995994995=9959.比例分派問題 例：一所學(xué)校一、二、三年級學(xué)生總?cè)藬?shù)450人，三個(gè)年級的學(xué)生比例為2：3：4，問 學(xué)生人數(shù)最多的年級有多少人？ A.100 B.150 C.

14、200 D.250 解答這種題，可以把總數(shù)看作涉及了234=9份，其中人數(shù)最多的肯定是占4/9 的 因此答案是200人。10.邏輯推理法：1）互為反序的兩個(gè)自然數(shù)之積是92565，求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)。（1204與4021是互為反序的自然數(shù)，120與21不是）解：這兩個(gè)自然數(shù)必須是三位數(shù)。一方面，這兩個(gè)自然數(shù)不能是不不小于100 的數(shù)，由于不不小于100 的兩個(gè)最大的反序數(shù)是99和99，而999992565.另一方面，這兩個(gè)自然數(shù)也不能不小于998，由于不小于998 的兩個(gè)最小的反序數(shù)是999和999，而99999992565.設(shè)abc與cba為所求的兩個(gè)自然數(shù)，即abccba=92565

15、ac的個(gè)位數(shù)字是5， 可以推得：ac=15或35或55或75或95;而當(dāng)ac35時(shí)有： abccba305503即abccba92565，這是不合題意的。我們可以斷定：ac=15，不妨設(shè)a=1 c=5.由1b55b1=有 b=1，b=6。經(jīng)檢查，只有b=6符合題意，這時(shí)有165561=82565. 答：所求的兩個(gè)互為反序的自然數(shù)手165和561.11裂項(xiàng)法 ；例1.計(jì)算：12+23+34+100101解：運(yùn)用裂項(xiàng)法 把各項(xiàng)作如下恒等變形。 有12=（123）323=（234-123）334=（345-234）3100101=（100101102-99100109）3將上面的等式代入對消。得：1

16、2+23+34+100101=（100101102-99100109+99100109+345-234+234-123+123）3=1001011023=343400可以推廣到一般的公式：12+23+34+n(n+1)= n(n+1) (n+2) 3例2. 111213+ 121314+ 131415+. +100101102解：運(yùn)用裂項(xiàng)法：各項(xiàng)作恒等變形： 111213=（11121314-10111213）4 121314=（12131415-11121314）4131415=（13141516-12131415）4.100101102=（100101102103-99100101102）

17、4把這90個(gè)等式代入相加得：111213+ 121314+ 131415+. +100101102=（100101102103-10111213）4=25101102103-10111313=26527650-4290=26523360一般的公式：111213+ 121314+ 131415+. + n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-101112134123+234+345+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4例3.求 S=+ =+ =(-) +(-) +(-) +.+(-) =1 - =S=1-=例4:計(jì)算+的值為考點(diǎn)： HYPERLINK 分?jǐn)?shù)

18、的巧算分析：可將原式中的分子變形：=，=原式=+=-+-+-=1-+-+-，由此中間抵銷，只剩兩端計(jì)算即可解答：+=+=-+-+-=1-+-+-=1-=1-=點(diǎn)評：完畢此類題目要認(rèn)真分析式中數(shù)，找出其內(nèi)在聯(lián)系，然后進(jìn)行巧算練習(xí)：5. 46+68+810+1820=(468-246+6810-468+182022-161820) =(182022-246) =13126. 712+1217+2227+2732=(71217-2712+121722-71217+273237-222732) =(273237-2712) =21207. 11!+22!+33!+44!+99!+1010!各項(xiàng)變形：1

19、1!=1!2-1!=2!-1! 22!=2!3-2!=3!-2!33!=3!4-3!=4！-3！原式=2!-1!+ 3!-2!+ 4！-3！+10!-9!+11!-10!=11!-1!=377167998. 13+24+35+46+911+1012 先找通項(xiàng)公式： n(n+2)= +2n +21+22+23+210 =+2(1+2+3+10) =+1011=4959. (1-) (1-) (1-) (1-)(1-) (1-)解：各項(xiàng)恒等變形：1-=(1+)(1-)= 1-=(1+)(1-)= 1-=(1+)(1-)=原式= =10. +對各項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算變化： =2=2(-) =2(-).=2(-

20、)原式=2(-+-+-)=2(-)=1-=11. 解：先進(jìn)行分子，分母觀測：1+2 1+2+3 1+2+3+4.2, 2+3, 2+3+4,做變化：1+2= 可以推出2= 可以推出通項(xiàng)公式：a=原式=附11計(jì)算1+ + + 通項(xiàng)恒等變化：1+2+3+.+n= ，= =2（- ）于是1+ + + =2(-)+ 2(-)+ 2(-)+2(-)=2(1-)+ 2(-)+ 2(-)+2(-)=2(1-+-+-+-)=2(1-)=2 = （1007分之）12.計(jì)算：+.+.+ 提成若干項(xiàng)，+（+）+（+）+.+（+.+）寫出通項(xiàng)公式=+.+.+=（2+3+4+101）=257513.計(jì)算1+原式=2（）

21、=2（）=12數(shù)陣計(jì)算法計(jì)算1100+299+398+992+1001=將各個(gè)加數(shù)列成數(shù)陣，然后分別補(bǔ)進(jìn)數(shù)字（斜體）成一種正方數(shù)陣。100 100 100.10099 99 99.9998 98 98 .98.3 3 3 33 3 32 2 2 2.2 21 1 1 1.1觀測后，方陣數(shù)字和為100（1+2+3+100）=1001001012補(bǔ)進(jìn)的三角數(shù)陣的和為+.+-（1+2+3+100）=-（+.+=）1100+299+398+992+1001=1001001012-+=+-=-=-=（3101-201）=102=171700解2：用三角數(shù)陣的旋轉(zhuǎn)法100 1 199 99 1 2 2 1

22、98 98 98 1 2 3 3 2 1. . .3 3 3 33 1 2 3. 98 9812 2 2 2.2 1 2 3 99 99 11 1 1 1 11 1 2 3,99 100 100 99 981每一種位置的數(shù)相加都是100+2，共有（1+100）2 100個(gè)位置1100+299+398+992+1001=(100+1+1)（1+100）2 100 =102101100=1717001+2+3+4+99+100+99+98+4+3+2+1=(1+99)99+100=1001 2 3 4.98 991 2 3 4 98 991+2+3+(n-1)+n+(n-1)+3+2+1=n平方和

23、可以看做一種自然數(shù)列與一種等差數(shù)列相乘，不用畫出三角形，取等差數(shù)列的首項(xiàng)一次，末項(xiàng)兩次相加，自然數(shù)列求和。兩者相乘再除以3.這種措施可以計(jì)算一種自然數(shù)列與一種等差數(shù)列相乘的成果。13+25+37+4999=(3+99+99)(1+49)492=8207513.錯(cuò)位相減法例1 計(jì)算：1+2+2+2+2+2+2分析 這是首項(xiàng)系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題解：設(shè)s=1+2+2+2+2+2+2 （1） 用2乘以上式兩邊得：2 s=2+2+2+2+2+2+2 （2） （2）- （1）得：s=（2+2+2+2+2+2+2）-（1+2+2+2+2+2）=2- 1=2048- 1=2047例2.計(jì)算10.5+3（

24、0.5）+5（0.5）+7（0.5）+17（0.5）+19（0.5）分析 這個(gè)式子每個(gè)項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的乘積，前一種因數(shù)構(gòu)成公差是2的等差數(shù)列，后一種因數(shù)構(gòu)成一種公比是0.5的等比數(shù)列，可稱為混合數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求解。解：設(shè)s=10.5+3（0.5）+5（0.5）+7（0.5）+17（0.5）+19（0.5）（1）兩邊乘2，得：2 s=1+30.5+5（0.5）+7（0.5）+9（0.5）+19（0.5）（2）兩式兩邊相減，得：s=1+20.5+2（0.5）+2（0.5）+2（0.5）+2（0.5）-19（0.5）=1+1+0.5+（0.5）+（0.5）+（0.5）+（0.5）-19（0.5）再

25、設(shè)A=1+0.5+（0.5）+（0.5）+（0.5）+（0.5）(3)2(3),得：2A=2+1+0.5+（0.5）+（0.5）+（0.5）（4）（4）- （3）得：A=2-（0.5）=2-0.00390625=1.99609375于是，有：s=1+1.99609375-19（0.5）=2. 99609375-190.=2. 99609375-0.=2.例：求通式：Sn=7+77+777+7777(n個(gè)7) 設(shè)=7777(n個(gè)7)= 9999（n個(gè)9） = (-1) 因此= (10-1)+(100-1)+.+(-1) = (-1) -n HYPERLINK t _blank 等比數(shù)列求和公式(

26、10+100+=(-1) = (-1) - n 因此7+77+777.=(7/9)(9+99+999+.)=(7/9)(10/9) ( -1)-n);N=10把10帶入就是(7/9) (10/9)(-1)-10= = 9+99+999+9999+.=()-1+()-1+.+()-1= (+.+)-n=(10/9) ( -1)-n (也可以用下面的措施推導(dǎo)：上面用了10-1+100-1+.+-1=10+100+-n設(shè)S=10+100+，則10S=100+1000+.+用下式減去上式，得到9S=-10=10（-1)因此S=10（-1) 9=10 9(-1)因此10-1+100-1+.+-1=10+

27、100+-n =10 9(-1)-n）例：求通式： Sn =+.(n個(gè)) 由題可知：an=K+10k+102k+.10(n-1)*k(k為常數(shù)，如K=)化簡an=k1+10+102+.+10(n-1) =k10n-1/9sn=k/910-1+102-1+.10n-1=k/910+102+.10n-n=k/9*10(10n-1)/9-n當(dāng)K=7或時(shí)，帶入上式可得鞏固練習(xí)1. 6472（44762480）5319（33231327）9354（73585362）6839（48432847）解：原式=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996=6472+5319+9

28、354+6839-19964=6472+5319+9354+6839-7984=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）=（6472+5319+6839）+1300+70=18630+1370=02.（46+56）（1724）+14(46+56)(1724)+14=(100+2)43+14=100 x43+2x43+14=4300+86+14=4300+100=44003.（494249434938493949414943）6認(rèn)真觀測可知此題核心是求括號中6個(gè)相接近的數(shù)之和，故可選49

29、40為基準(zhǔn)數(shù).（494249434938493949414943）6（4940623-2-113）6（494066）6（這里沒有把49406先算出來，而是運(yùn)用了除法中的巧算措施）49406666494014941.4. 計(jì)算19999919999199919919解答：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其他都是9，仍使用湊整法.但是這里是加1湊整.（如 1991200）19999919999199919919（199991）（199991）（19991）（1991）（191）500020020-5222220-522225.在波及所有數(shù)字都是9的計(jì)算中，常使用湊整法.例如將999化成1000-1去

30、計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.5.999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105. 6.389387383385384386388解法1：認(rèn)真觀測每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，因此選390為基準(zhǔn)數(shù). 原式3907-1-3-7-5-6-4-2730-282702.解法2：也可以選380為基準(zhǔn)數(shù)，則有389387383385384386388380797354682660422702.7.計(jì)算： 1+11+111+1+11+111+=+00000+30000000+800+90+10=8.已知:1+11+111+= 求:2+22+222+= 3+33+333+.+= 4+44+444+= 5+55+555+= 6+66+666+= 7+77+777+= 8+88+888+= 9+99+999+= 10+100+1000+解： 2+22+222+=2(1+11+111+)=2= 3+33+333+.+=3(1+11+111+)=3= 4+44+444+=4(