分離變量法1課件

1、第二章 分離變量法第一講數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)上節(jié)課內(nèi)容回顧數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟（偏微分方程）定解條件的推導(dǎo)定解問題的概念三類初始條件邊界條件(1) 首先確定所要研究的物理量(2) 根據(jù)物理規(guī)律分析微元和相鄰部分的相互作用(抓住主要影響，忽略次要影響)，這種相互作用在一個(gè)短時(shí)間段里如何影響物理量數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟：(3) 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出這種相互影響，經(jīng)簡化整理就得到數(shù)學(xué)物理方程。三種典型的偏微分方程定解條件初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài) 的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上 約束情況的條件。第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件2、邊界條件描述系統(tǒng)在

2、邊界上的狀況A、 弦振動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：振動(dòng)過程中端點(diǎn) (x=a) 保持不動(dòng)，其邊界條件為：或：(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧支承或第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件本節(jié)課內(nèi)容微分方程的分類疊加原理分離變量法有界弦的自由振動(dòng)1、偏微分方程一般分類 (2) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否線性，分為線性微分方程和 非線性微分方程；(1) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程。(3) 線性微分方程按自由項(xiàng)是否為零，分為齊次方程和 非齊次方程思考判斷下列方程的類型二階、線性、非齊次二階

3、、線性、齊次二階、非線性一個(gè)含n個(gè)變量的二階線性偏微分方程的一般形式：2、疊加原理 線性微分方程的解具有疊加性 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)定解問題的最常用解法分離變量法核心思想：將未知函數(shù)按多個(gè)單元函數(shù)分開偏微分方程若干常微分方程 求解常微分方程： 特解線性無關(guān)的特解疊加出通解用定解條件定出疊加系數(shù)求解一階線性偏微分方程： 轉(zhuǎn)化為一階線性常微分方程二階及高階偏微分方程：難以求出待定系數(shù)分離變量法： 滿足方程及一部分定解問題的全部特解 用另一部分定解條件求出疊加系數(shù)2.1 兩端固定弦的自由振動(dòng)（波動(dòng)方程）長為 l 、兩端固定的弦，發(fā)生自由振動(dòng)

4、方程及定解條件為方程和邊界條件是齊次的，初始條件為非齊次的。 齊次偏微分方程一類邊界條件（齊次）初始條件選取相應(yīng)的齊次定解條件，與其中一個(gè)常微分方程構(gòu)成本征值問題。 將代入邊界條件，得常微分方程含有一個(gè)待定常數(shù) 定解條件是一對(duì)齊次邊界條件 X(x) 的常微分方程的定解問題稱為本征值問題當(dāng) 時(shí)，方程 為 既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解 X(x) ，稱為本征函數(shù)，相應(yīng)的 值稱為本征值。 第二步：求解本征值方程的通解為 由邊界條件 ， 知 即 因此， 不是本征值。 當(dāng) 時(shí)，常微分方程的通解是 由邊界條件 ， 知 即得 即 當(dāng) 時(shí)，常微分方程的通解是 由邊界條件 ， 知 ， 相應(yīng)的本

5、征函數(shù)為 第三步：求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解將 代入方程 得 可知滿足偏微分方程和邊界條件的特解為： ，特解有無窮多個(gè)，將特解疊加，只要保證級(jí)數(shù)收斂可得一般解。 為什么將特解疊加即為一般解？疊加定理只是說疊加后也是另一個(gè)解但沒說一定是通解？不明白為什么要疊加一般解既滿足偏微分方程又滿足邊界條件，因而不同于通解。 將一般解代入初始條件，得 第四步：利用本征函數(shù)的正交性定出疊加系數(shù)本征函數(shù)的正交性： 對(duì)于 兩端同乘以 ，并積分，得 小 結(jié)分離變量法求解偏微分方程的基本步驟： 分離變量（齊次條件） 求解本征值 求出所有特解，疊加出一般解 利用本征函數(shù)正交性定出疊加系數(shù)驗(yàn)證： 解函數(shù)是否滿足偏微方程

6、級(jí)數(shù)解的收斂性 （是否可以逐項(xiàng)求偏微分）。 解函數(shù)是否滿足邊界條件級(jí)數(shù)解的和函數(shù)是否連續(xù)。 定疊加系數(shù)時(shí)，逐項(xiàng)積分是否合法。分離變量法的先決條件： 本征值問題有解 定解問題的解一定可以按照本征函數(shù)展開本征函數(shù)的全體是完備的 本征函數(shù)一定具有正交性對(duì)于任一時(shí)刻 t，有界弦的總能量是：動(dòng)能+勢能將一般解代入 E(t)，并利用正交性得顯然與 t 無關(guān)，即弦的總能量守恒波節(jié)：的各點(diǎn)上，振幅0共有 n +1 個(gè)波節(jié)（含兩個(gè)端點(diǎn)）波峰：的各點(diǎn)上，振幅 max共有 n 個(gè)波峰這種解法也稱為駐波法基頻：固有頻率中的最小值 決定音調(diào)（ ，材料一定，改變張力 T ）倍頻：基頻和倍頻的疊加系數(shù) 、 的相對(duì)大小頻譜分布聲強(qiáng)例1：設(shè)有一根長為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ， , 求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：2.3 例題解析由利用初始條件利用初始條件有有弦的振動(dòng)振幅放大100倍，紅色、藍(lán)色、綠色分別為n=1,2,3時(shí)的駐波。解：例2：求下列定解問題初始條件：初始條件：l=1,a=10時(shí)的震動(dòng)（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解 （三）將特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）將 疊加，利用初始條件確定系數(shù)（一）將偏微分方程化為常微分方程（方程齊次）總結(jié)：