高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)經(jīng)典歸納總結(jié)

1、高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)預(yù)備學(xué)問經(jīng)典總結(jié) 第一章 數(shù)學(xué)預(yù)備學(xué)問 本章表達(dá)如干數(shù)學(xué)預(yù)備學(xué)問,包括導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,靜態(tài)優(yōu)化,積分,微分方 程,差分方程以及相位圖分析等內(nèi)容； 這些預(yù)備性的數(shù)學(xué)學(xué)問對(duì)于學(xué)習(xí)高級(jí)宏觀 經(jīng)濟(jì)學(xué)是必需的,但是在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué),數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué),時(shí)間序列分析,高等數(shù)學(xué)等 課程中有詳細(xì)的爭(zhēng)辯, 在這里我們只是將與我們后面的學(xué)習(xí)有關(guān)的學(xué)問要點(diǎn)排列 在一起并在必要時(shí)做出確定的經(jīng)濟(jì)說明； 這里的數(shù)學(xué)學(xué)問只是與動(dòng)態(tài)優(yōu)化相關(guān)的 部分,對(duì)于學(xué)習(xí)高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)必需的其他數(shù)學(xué)學(xué)問并未涉及, 特殊是時(shí)間序列, 概率論等學(xué)問； 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 一,導(dǎo)數(shù) 有函數(shù) f q ,導(dǎo)數(shù)就是 dq1 lim qqlim

2、 qf q1 q f q1 ； dq q導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義是：邊際量, q 變動(dòng)一單位時(shí) 變動(dòng)的大 小, q 對(duì) 的變動(dòng) 速率； 二,常用求導(dǎo)公式 （1） f b 為常數(shù), df db dx b0 ； ； dx df dx bf （2） b 為常數(shù), d bf x dx （3） b 為常數(shù), b dx bxb1 ； dx （4） ln x 1； x （5） ax ax ln a ； （6） e x x e ； （7） f g f g； 第 1 頁,共 27 頁（8） fg f g 2fg ； f g fg ； （9） f gg（10）鏈?zhǔn)椒ň停?y f x, x g z dydy dxdz dx

3、dz 【例題 1-1】：求下面各題的導(dǎo)數(shù)； （1） y x 3 y 3x2（2） y x 3y 3x 4z 3 y2y 2x 5 6 y 2 12y 122x 5 （3） dz d z dydxdy dx （4） de ax dx ax de dax dax ax eadx 練習(xí)：求導(dǎo)數(shù) d ln ax d ln xt , dt 2, d ln x dx dx 三,二階導(dǎo)數(shù) 二階導(dǎo)數(shù)表示邊際量的變化速率,可用如下方式表示： d 2 y d dy f x, 2 , dx dx dx 四,微分 y f x, dy f dx dx f dx dx 2 f dx d dy 2 d y d f dx d

4、x 導(dǎo)數(shù)是微商； 五,偏導(dǎo)數(shù) y f x1 , x2 , f1 f x 2lim b 0 f x1 b, x2 f x1 , x2 ； x b第 2 頁,共 27 頁偏導(dǎo)數(shù)與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)常見假設(shè)其他條件不變（ ceteris paribus）假設(shè) 是對(duì)應(yīng)的； 高階偏導(dǎo)數(shù)： xi f f ij 2f x j xi x j 求偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)數(shù)的方法沒有太大的差別, 只是在求的時(shí)候讓其他變量固定 即可； Young 定理：只要 fij 和 f ji 存在,就 fij = f ji 六,齊次函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) k 次齊次函數(shù)是自變量都擴(kuò)大 t 倍,函數(shù)值擴(kuò)大 t 的 k 次方倍； 齊次函數(shù)有兩個(gè)重要性質(zhì)；

5、第一個(gè)性質(zhì)有時(shí)叫齊次性： k 次齊次函數(shù)的一階 偏導(dǎo)數(shù)是 k-1 次的； k f f tx1 ,tx2, txn t x1 f tx1, tx2, txn k tx1 t t f1 k 1f1tx1,tx2, txn t f1 x1 , x2, xn 齊次函數(shù)的其次個(gè)重要性質(zhì)是歐拉定理： kf x1 f1 x2 f2 xn f n k t f x1 , xn f tx1, txn 對(duì) t 求導(dǎo)： t k 1f x , x x f tx , tx x f tx , tx 令 t 1 kf x1 f1 x2 f 2 xn f n 假如 k 1 就有： f x f 1 1 x f ；這就是支配盡定理

6、；在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中我 們常常爭(zhēng)辯 CD 生產(chǎn)函數(shù)的齊次性問題； 在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中常常要爭(zhēng)辯由齊次函數(shù) 正單調(diào)變換得到的位似函數(shù)； 七,泰勒近似 泰勒近似在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中很有用, 由于有些方程不能得到顯示解, 只有對(duì)它 第 3 頁,共 27 頁進(jìn)行近似處理； 泰勒近似的另一應(yīng)用是用來直觀懂得優(yōu)化問題； 要得到優(yōu)化問題 的一階條件,我們對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行一階近似,而二階條件可從二階近似中得到； 任意函數(shù) x 可以近似被表述為 x 的多項(xiàng)式的形式： x x0 x0 x 1. x0 x0 x 2 x0 n x0 x n. n x0 0. 2. 我們常用的有線性近似 x x0 x0 x 1. x 0. 和二次近似

7、 x x0 0. x0 x 1. x0 x0 x 2. 2 x0 0 的鄰域內(nèi)進(jìn)行線性近 【例 1-2】：將 x 1 和 y x 1 x ln1 x 分別在 x 似； 1 x x 0 1x 0 0 x 0 1y x 0 11 x yx ln1 0 x x 二元函數(shù)的泰勒近似 f x1, x2 f x1 , x2 f1 x1 , x2 x1 x1 f2 x1 , x2 x2 x2 x 1 f 11 x , x x 2. x 22 f x , x x 1 x x 22 x2 f 22 x1 , x2 x2 第 4 頁,共 27 頁其次節(jié) 靜態(tài)優(yōu)化 一,約束優(yōu)化與拉格朗日乘子的說明 約束優(yōu)化問題為：

8、 max F x s.t G x c x x1, x2 一階條件（ FOC）： L F x c Gx LFx Gx 0 x1L Fx 2Gx 20 x2 Fx 1Gx 1Fx 2Gx 2值函數(shù)： V F x1 , x2 , c G x dc G1 dx1 G2 dx2 dV F1dx1 F2dx2 G1dx1 G2 dx2 dc dV dc 上面的公式可以通過包絡(luò)定理更簡(jiǎn)潔地推導(dǎo)出； 度量的是條件變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的影響,假如 F 是效用, G c 是預(yù) 算約束, 表示增加以單位貨幣時(shí)對(duì)最優(yōu)效用的影響； 影子價(jià)格： 仍可以看成是以目標(biāo)函數(shù)值度量的約束的單位支付意愿, 依據(jù) 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的學(xué)問可

9、知, 支付意愿即為價(jià)格, 而這種價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格有別, 甚至 有時(shí)并沒有通過市場(chǎng)來交易, 只是反應(yīng)的需求價(jià)格, 因而被稱為影子價(jià)格； 拉格 朗日乘子都可以作類似說明； 二,不等式約束 第 5 頁,共 27 頁非負(fù)約束： max f x s.t. f x 0 00, x 0, xf 不等式約束： max f x1, x2 s.t. g x1 , x2 0L f g z f1 g1 0f 2 g2 0g 0, 0, g 0三,包絡(luò)定理 M a maxf x, a x dM a f x x a da a假如是約束優(yōu)化問題,就右邊是拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： M a maxf x, a G x, a 0L

10、f x, a Gx, a dM a Lx x a da a推導(dǎo) 的表達(dá)式：假如問題與約束是 M a maxf x G x c L f x c Gx dM c L x dx L c dc dc 【例 2-1】 max 6 2 x 4x s.t. x 0第 6 頁,共 27 頁2 x 4 0 x 0 x 2 x 4 0 x 2x 0 x x 2 0 x 0【例 2-2】 max 2x1 x2 s.t. x1 0, x2 02x1 3x2 12 X1 Lx 1L2x1 x2 12 2x1 3x2 00, x1 0, Lx x1 10Lx 20, x2 0, Lx x2 200,12 3x2 2x1

11、0, 12 3x2 2x1 Lx 122 , L x 213有： 220, x1 0,2 2 x1 01030, x2 0,1 3 x2 x1=0,L x1 =2-2 0 x1 0,L x 101第 7 頁,共 27 頁x2 =0,1-3 0 + , x20,1-3 013 + , + , + , + 四種組合,第一排除 由于 1 和 1 沖突； 3 + 排除,由于 1 時(shí), L x 13220由此 1, x20 3由 12 2x1 3x2 012 2x1 3x2 0 x1 6x1 6x2 0四,靜態(tài)優(yōu)化的進(jìn)一步說明 1,從泰靳近似看靜態(tài)優(yōu)化 F x F x F x x x 1F x 2 x

12、x 2將任意函數(shù)近似為二次函數(shù)；假如 x 充分靠近 X ,二次項(xiàng)支配了高階項(xiàng)； 二次函數(shù)最大值（極大值）的條件是二次項(xiàng)的系數(shù)小于 0,即 F 0 是二階充分 條件； 2,從套利的思想看優(yōu)化過程 套利就是利用價(jià)格差來獲利, 在市場(chǎng)均衡時(shí)應(yīng)不會(huì)存在套利機(jī)會(huì)； 我們利用 一個(gè)例子來說明用套利思想說明優(yōu)化條件； 假定消費(fèi)者在既定收入 I 下選擇 x1 , x2 使效用最大化； 第一,消費(fèi)者進(jìn)行這樣的套利操作：將極少的收 dI 從消費(fèi)商品 2 轉(zhuǎn)移到消 dI 費(fèi)商品 1； x1 增加 P1dI , x2 削減 P2 ； Mu1 dx1是增加 x1 所增加的效用； Mu2dx2 是 x2 變動(dòng)帶來 的效用

13、變動(dòng)； 第 8 頁,共 27 頁Mu1dx1 Mu 2dx2 Mu1 dI Mu 2 dI Mu1 Mu2 dI P1P2 P1 P2 （留意,這里假定 dx 變動(dòng)如此之小,以至于 Mu1 來不及變化） 假如消費(fèi)者通過調(diào)整獲得效用增量為正, 就原消費(fèi)選擇不是最優(yōu)的； 假如初 始選擇是最優(yōu)的,就上式不行能為正； （這就是無套利）； Mu1 Mu 2 0p1 P2 其次,相反的操作,即削減用于 x 的支出 dI 用于多購買 x ,有 1 2Mu1 Mu2 0 Mu1 Mu 2 0P1 P2 P1 P2 此為無套利條件： 額外單位貨幣用于 1 和 2 是無差異的, 或微小地轉(zhuǎn)變選擇 不會(huì)帶來好處；（

14、嫻熟的人可以從無套利條件直接推導(dǎo)出優(yōu)化問題的一階條件） ； 第 9 頁,共 27 頁第三節(jié) 積分 一,積分 dF x f x f xdx F x c dx 積分是微分的逆運(yùn)算 二,不定積分的基本法就 n x dx n11n1 x c n 1 f udu x e dx ex c , x a dx x a / ln a c 1 dx x ln x c f xe f xdx ef x df x e f x c f xdx f x df x ln f x c f x f g dx fdx gdx 積的積分代換法就： f u dudx dx vdu uv udv （分部積分） 第 10 頁,共 27 頁

15、三,對(duì)定積分求導(dǎo)的 Leibniz 規(guī)章 這個(gè)公式在后面將一再顯現(xiàn)； F a, b, c b af c, t dt F bfc c,t dt 穿過去（上,下限沒有 c） c a F bf c, t t b f c,b F af c, a 如： F c bc a c f c, t dt f c, bc b c f c, a c a c dF b c ac fcc, t dt dc 【例 3-1 】：求積分 x3 dx 31c 25x5 c 14 x dx 5 c x 2315 22x 2e dx 2x 2e 14x dx 2 7 x 52 7 x 52 x e d2 x d 2 7 x 2 7

16、x 5 2 x e2 ln7 x 【例 3-2】 求對(duì) x 的導(dǎo)數(shù) f f x x2 2 l n 1t dt 11 2 x 2 1x 2 ln1 2 2 2 x x ln1 x 2 2 xln1 x 4 1 ln1 x 2 x 第 11 頁,共 27 頁第四節(jié) 微分方程（組） 宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)所用到的數(shù)學(xué)學(xué)問與微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)有顯著的區(qū)分； 一般情形下, 微 觀經(jīng)濟(jì)學(xué)用到優(yōu)化學(xué)問即可,而宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)遠(yuǎn)不止如此；微分,差分方程（組） 在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中用得遠(yuǎn)比微觀中頻繁；下面簡(jiǎn)潔介紹相關(guān)學(xué)問； 一,具有常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性微分方程 階：導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù) 次：導(dǎo)數(shù)的最高次冪 假如 dy dt ut y wt ,就

17、是一階線性的；這里沒有 dy y 之類的項(xiàng)； dt 留意： u , w 是自變量 t 的函數(shù),假如 u , w 與 t 無關(guān),就是有常數(shù)和常數(shù)項(xiàng) 的一階線性微分方程；嚴(yán)格來講自變量 t 不愿定是時(shí)間,可以是任意的自變量, 但是在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中遇到的許多情形中自變量 t 的確是指時(shí)間； 如 dy ay b a , b 為常數(shù) dt 假如 b 0 dy ay 0 齊次的 dt 假如 b 0 dy ay b 是非齊次的 dt 第 12 頁,共 27 頁非齊次的 dy dt ay b 的解與齊次方程 dy ay 0 的解相關(guān) dt （一）分別變量 dy ay 0eadt Ae at dt 1 dy y

18、adt 1dy y ln y at c y at e c A 是常數(shù),這一通解可由初始條件（如 y0 y0 ）得到定解 【例 4-1】 dy2 y 0y 0 1 0 2t y 10e y ？ dt y 2t Ae , A y10 10 問題：假如 a0 時(shí),如何？ dy dt 0練習(xí)： Arrow-Pratt 相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量： v x u x x ；假如是相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭 u x 惡系數(shù)為常數(shù)（我們常常假定如此） ,求效用函數(shù)的形式； （二）,非齊次方程 方程形式為： dy ay bdt 非齊次方程的解由余函數(shù) y 和特殊積分項(xiàng) y 組成；余函數(shù) y 是對(duì)應(yīng)齊次方 c p c 程的解,特殊積分項(xiàng)是

19、 y 是任意的特解（即 y 為常數(shù)）； py 為常數(shù) d y 0 y p bd t aat by yc yp Ae a 把 y0 A b代入 y0 b e at b aa a【例 4-2】：解方程 第 13 頁,共 27 頁dy 2 y 6 , y 0 31 0 dt y 10 3 e 2t 2t 3 7e dy by bt c dt 留意 ：分別變量法不但可解一階線性方程,其它的（只要可分別變量）都可 用此法 【例 4-3】 解方程 2 x d y x , y y x 2 312 x c 將 x 2代入得 d x ydy xdx ydy xdx 12 y y 3222 y 13 【例 4-4

20、】： 解方程 x1 y 2 dx y1 x2 dy 01ln c 分別變量： ydy xdx 2 1 y 2 1 x 12 ln1 y 12 ln1 x 222ln1 y2 ln c1 x2 2 1 y 2 c1 x 二,一階線性微分方程：可變系數(shù)和可變項(xiàng) 一般形式： dy ut y wt 0dy 1ut dt （一）先找到相應(yīng)齊次方程： dy ut y dt dt y 第 14 頁,共 27 頁兩邊對(duì) t 積分：左邊 1 dy dt dy ln y c A ； y dt y 右邊 utdt ln y utdt c y Ae udt 其中, A ec ；這就是通解；由初始條件可以得到特解,即找

21、到 【例 4-5】解方程 dy 2 3t y 03t 2 dt Ae t 3 dt y Ae udt Ae （二）非齊次方程： dy dt ut y wt 它的解的形式為： yt eudt A we udt dt （這一結(jié)果可以通過添加積分因子推導(dǎo)得到） ； 【例 4-6】解方程 dy2ty t t 2 eek k k A et 2 t 2 te dt dt 這里： u 2t, w t, udt 2 t k y e t 2k A t 2 te k dt t 2 Ae e k et 2 1t 2 ec Ae c e 122Be t 2 12留意：最終結(jié)果中沒有 k , c,實(shí)際做的時(shí)候可省 k

22、和 c ； 以上最終一例的結(jié)果可用添加積分因子的方法推導(dǎo)； 如： dy ay ct be at edy ay a c t be dt dt 第 15 頁,共 27 頁左邊 at de y deat y be a c tdt dt e at y b a c e a ct k y bect ke at ab（三）恰當(dāng)微分方程 恰當(dāng)微方程即使是非線性, 也可解出； 恰當(dāng)微分方程即全微分方程, 即方程 具有如下形式： Mdy Ndx 0F , N 視為 F ； 假如 MN,就上式是恰當(dāng)微方程；可將 M 視為 t y y t 上式： F dy F dt 0 ,它是 F 的全微分, dF y,t 0F c

23、 y t 通解為： F y M y,tdy t N y ,t dt c y 0t 0【例 4-7】解方程 2 2 ytdy y dt 02 y M2 y NM t 2 y N y , 所以它是恰當(dāng)微分方程； 這實(shí)際上是依據(jù)交叉二階偏導(dǎo)數(shù)相 等判定恰當(dāng)微分方程； 通解： y 2 y dy t 2 y dt 2 y t k c k , c 為常數(shù) 002 y t c ,其中 為常數(shù)； 假如方程不是恰當(dāng)形,可試圖添加積分因子,使它成恰當(dāng)形； 一階一次非線性微分方程一般難以求解, 但可通過分別變量, 化為恰當(dāng)微分 方程或線性等方法求解；或?qū)⑺鼈冇锰├斩ɡ斫瞥删€性方程； 第 16 頁,共 27 頁三,

24、二階常系數(shù)微分方程 我們只爭(zhēng)辯 a1 ,a2 是常數(shù)的情形； 但是常數(shù)項(xiàng)可以不是常數(shù)； 特殊系數(shù)的情 況可以用近似的方法進(jìn)行處理； y t a1 y a2 y bt （一）常數(shù)項(xiàng) bb 0 時(shí)是齊次方程： y a1 y a2 y 0rt rt 2 rt 試： y Ae y Are , y Ar e 方程： Ar e 2 rt a Are rt a 2 Ae rt 0 r 2a r a 2 0 此為特點(diǎn)方程 2它的兩根 r ,r 2 a a1 4a2 特點(diǎn)根； 2r t r t 如 y Ae , y 2 A e 中意方程,就它的線性組合是方程的通解, y c1 y1 c2 y2 如 r 1 r

25、（實(shí)）, y Ae r t 1 A e r t 2如 r1 r2 （實(shí)）, y A1e r1t A2te r1t （ A te 也中意方程） 復(fù)根 r i y e i t y 2 e i t 【例 4-8】解方程 y 2 y 3 y 00a2 y b ,它的解是 y a1 y a2 y 0 （的即對(duì)應(yīng)齊次 r22r 30r1 1,r2 3y Ae t 3t A e 練習(xí) ： y y 2 y b0 的常數(shù)： y a1 y 方程）的解 yc （即余函數(shù)）加上特殊積分解 yp （ yp 是無論 y 為何值時(shí),左右兩 邊均相等的特定的 y 值,即 y 為一個(gè)使得方程成立的常數(shù)） ；假如 a2 0 ,令

26、 y 第 17 頁,共 27 頁常數(shù), y y 0 yp b0, y k, ak bk byp bt a2 假如 a 0, 令 y kt, y a1 a1 【例 4-9】解方程 y y 2 y 10 t 2t yp 5 yc A1e A2 e t 2t y yc yp A1e A2e 5假如有 y0 12, y 0 2由 t 0, y 12 得 A1 A2 5 12 t 2t 由 t 0, y A1e 2A2 e A1 2A2 2 A1 4, A2 3y 4e t3e 2t 5（二）可變項(xiàng) bt : y a1 y a2 y bt y yc yp yc 的求法與前面相同； t yp 的求法：bt

27、 e Pm t ,我們只考慮這一形式, 其中 Pm 是 t 的 m 次多項(xiàng)式； 試 y Qte t 就 y e t Q Q y e t 2Q 2 Q Q t 代入原方程并消去 e 得 2Q 2 a1 Q a1 a2 Q Pm t 假如 不是 r 2 a r a 2 0 的根（即 2a 1 a 2 0）,就我們可以令 Qt 為 一個(gè) m 次多項(xiàng)式,即： Q Qt Qm t m B0t m1 B1t Bm 0 , 但 2a0 , 令 代入上式,求出 B , B 1 B my c y Q e t 如 果 是 r 2 a r a 20 的 單 根 , 即 2a 1a 2tQm t ； 如 果 2 是

28、r a1r a2 0 的 重 根 , 即 2a1 a2 0 , 且 有 第 18 頁,共 27 頁2a1 02 Q t Qm t ；其他的步驟同上面的操作； 【例 4-10】解方程 2y 5 y 3 y 6t t 10 , m 2 特點(diǎn)方程 r 25r 3 0, 不是它的根； y Qm B0t 2B1t B2 y 2B0t B1 , y 2B0 2左邊 2B 0 52B t B 32B t Bt B 3B0 t2 10B0 3B1t 2 B0 5B1 3B2 2右邊= 6t 1t 1特定系數(shù)法 y 3B0 63 y B0 210 B0 3B1 1B172 B0 5 B1 3B2 1B2 10

29、yp 2 2t 7ta 10 4t 4 y 2 e 練習(xí)：求 yp : y （三）穩(wěn)固性；一般的微分方程是難以得到顯示解的,這是利用穩(wěn)固性理論 判定解的性質(zhì)是有益的； 無論是一階仍是二階, 微分方程的穩(wěn)固性是指解是否足 夠接近某一特定的值； 在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 最有用的是漸進(jìn)穩(wěn)固性, 即當(dāng)時(shí)間趨于 無窮時(shí),解是否趨于某一特定值；這個(gè)特定值是指均衡值,即不變的,使得全部 導(dǎo)數(shù)都等于 0 的值,也就是特殊積分項(xiàng)； 穩(wěn)固性又分為局部與全局穩(wěn)固性； 這里 的基本觀點(diǎn)是：穩(wěn)固性取決于 y ,當(dāng) t 時(shí), y c 0 是穩(wěn)固的（即 y y ）； p我們?cè)诤竺娴南辔粓D中可以清楚的看出穩(wěn)固的情形； 四,微分方程

30、組 x a1x b1 y pt b1 y,1 y a2 x b2 y gt 齊次方程為： x a1x y a2 x b2 y,2 第 19 頁,共 27 頁第一種方法 ：迭代推導(dǎo)； 1 x a1 x b1 y x b1a2 x b1b2 b1 a1 x b1 x a1x b1 a2 x b2 y a1x a1x b1a2 x b2 x a1b2x a1 b2 x a1b2 a2b1x x a1 b2 x a1b2 a2b1 x 0化成了二階方程 特點(diǎn)方程： r2a1 b2 r a1b2 a2b1 0由此解出 x 和 y x A1e r1t A2 e r2t r2 a2 A2 y B1e r1t

31、 B2 e r2t B1 r1 a1 A1, B2 b1 b1 假如 p, g 是非 0 常數(shù),就 x, y 的解由等函數(shù) xc yc 和特殊積分 xp yp 組成； 求的方法是 x 0, y 0 求出 xp , yp ； steady 留意： x 0, y 0 求出的 xp , yp 值我們不能判定均衡點(diǎn)是否穩(wěn)態(tài)（ state）,這個(gè)均衡點(diǎn)是否穩(wěn)固（ stable）由 yc 是否在 t , yc 0 打算； 假如特點(diǎn)根是兩根實(shí)數(shù)： 兩負(fù) 穩(wěn)固 一正一負(fù) 鞍點(diǎn)穩(wěn)固 兩正 不穩(wěn)固 對(duì)于非線性系統(tǒng),假如在均衡點(diǎn)鄰近一階導(dǎo)數(shù)小于 0,就是穩(wěn)固的（局部）； 其次種懂得方法： 從線性代數(shù)的角度來看, 我

32、們可以如下求解： 第一由系數(shù) 矩陣得到行列式： a1 b1 0a2 b2 第 20 頁,共 27 頁再得到特點(diǎn)方程： a1 b2 b1a2 0變形后的這個(gè)方程與第一種方法得到的特點(diǎn)方程是相同的； 解出特點(diǎn)根 1 , 以及它們對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量 v1 , v2 ；假如兩個(gè)特點(diǎn)根不同, 就方程的解組為： x c e v t c e v t ； y 假如是重根, 就只有一個(gè)獨(dú)立的特點(diǎn)向量 v ；由 A I 2w 0 確定另一向量 x t t w ；方程組的解為： e c1v1 c2 w te c2 v y 鞍點(diǎn)穩(wěn)固是一種條件穩(wěn)固, 是指只有在由負(fù)的特點(diǎn)根對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量確定的 方向上才是穩(wěn)固的；（在數(shù)學(xué)中

33、這沒有什么意義,但是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中人們的理性行 為將保證初始位置處在這個(gè)方向上, 即穩(wěn)固臂上； 正的特點(diǎn)根對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)向量為 非穩(wěn)固臂；） 【例 4-11】：用兩種方法解方程組 x x 4 y 第五節(jié) 差分方程（組） y x y 一,迭代法： yt yt 1yt （差分） y t y t y ）； t 1 （留意有的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)書中定義 方程： yt 2和 yt 0. y1t 是差分方程 yt 1yt 2和 yt 1yt t即 yt 1t以上方程是一階線性差分方程,可以用迭代法解之； 【例 5-1】 yt 1yt 2第 21 頁,共 27 頁y2 y1 y0 222y0 y1 2y3 y2 2y0 3

34、2122t yt yt y0 二,一階線性差分方程： yt 1 ayt c 其中 a,c 為常數(shù)； 對(duì)應(yīng)齊次方程： yt 1 ayt 0 的解為等函數(shù) yc y c A a c , a 1特解： yp 1act, a 1（和微分方程一樣,特解是 y 為常數(shù)時(shí)的 y 值或是自變量的一次函數(shù)） ； yt A a c , a 111at A a ct,a 【例 5-3】 yt 15 yt 1, y0 7 47A 2yt t AS 1, y0 44練習(xí)： y t 1y 1, y 010 三,二階常系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)差分方程 二階差分 2yt yt yt 1yt yt yt 2 ） yt 2yt 1 yt 1

35、yt （有時(shí)定義二次差分： 2 yt 二階差分方程： yt 2a1 yt 1a2 yt c 第 22 頁,共 27 頁解的形式： yt yc yp 22ab1a20（特點(diǎn)根） c a2 , a1 a2 11 a1 特解： y c t, a 2 a 1,anda a1 c 2t ,a1 2a2 1,and a1 分別試 y p2 k, kt,kt ； b2余函數(shù) yc 是 yt 2a1 yt 1a2 yt 0 的解 yt t Ab t 2 Ab t a1b 1 t a 2Ab 0試 b1 ,b2 a 1a24a 212如為不等實(shí)根： yc t A1b t A2b 如為相等實(shí)根： yc t A1b

36、 t A2 tb 【例 5-4】 yt 2yt 12yt 12 y0 4, y1 5b 2 b20b 1, 2yc t A11 t A2 2 A1 t A2 2 a1 a2 121而 a1 2y p ct 212 ,t 1 2 4t a1 yt A1 t A2 2 4t y0 A1 A2 4y1 A1 2A2 45A13A2 1y 3 2t4t 練習(xí)： yt 26yt 19 yt 4第 23 頁,共 27 頁四,可變項(xiàng) 要點(diǎn)：只影響 yp ； t Btm,再不行試 y pBt 2m t cmtyt 2a 1yt 1ay2t t cm 試： y pcm t 代入,假如 B 0 試 y pn ct

37、 試 y pB 0Bt 1n B t n不行就試： yp t B0 B1t n Bnt 【例 5-5】 yt 25 yt 12 yt 2 t t A2 5217 t t2 對(duì)應(yīng)齊次方程： yt 25yt 12 yt 0b25b 2017 b5217 yc A1 5217 yp ：令 yt B0 B1t 2 B2t 2 14B t 8B t yt 1B0 2 B1t 1 B2 t 1 代入方程有： 8B 7B 9B B 8B B 0B t 2 B t 8B 201B2 1878 B1 14 B20 B1 32 8 B0 7 B1 9 B2 B0 13 256 五,差分方程組 yt 1a1 yt 2b1zt yt 2a1 b2 yt 1a1b2 a2b1 yt 0zt 2a2 yt b2 zt 特點(diǎn)方程： a b a b a b 0第 24 頁,共 27