高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《平面解析幾何》技巧及練習(xí)題附解析

1、【最新】數(shù)學(xué)平面解析幾何專題解析一、選擇題 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 221.設(shè)P為橢圓C： L 1上一動點(diǎn)，F(xiàn)l, F2分別為左、右焦點(diǎn)，延長 FP至點(diǎn)Q,73使得PQ PF2 ,則動點(diǎn)Q的軌跡方程為()_22 _22_22 _22A.(x 2) y28 B.(x 2) y7 C.(x 2) y28 D. (x 2) y7【答案】C【解析】【分析】推導(dǎo)出 PF |PF22a277,PQPF2,從而 PE PQ FQ2 J7,進(jìn)而得到Q的軌跡為圓，由此能求出動點(diǎn)Q的軌跡方程.【詳解】22Q P為橢圓C： 1上一

2、動點(diǎn)，F(xiàn)i, F2分別為左、右焦點(diǎn)，73延長FP至點(diǎn)Q,使得|PQ |PE ,PF| |PF2 2a 2后,PQ PF2 ,PF| |PQ FiQ 2,Q的軌跡是以52,0為圓心，2為半徑的圓，動點(diǎn)Q的軌跡方程為(x 2)2 y2 28 .故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查橢圓的定義、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算 求解能力，是中檔題. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark155 o Current Document 2 x 22.已知橢圓C: 一 y 1的右焦點(diǎn)為F,直線l: x 2,點(diǎn)A l ,線段AF交橢圓C于 2點(diǎn)B,若FA 3FEv

3、,則魅=()A.五B. 2C. 73D. 3【答案】A【解析】【分析】、A cULMuuv /口41設(shè)點(diǎn) A 2,n, B xo,yo,易知 F(1,0),根據(jù) FA3FB，得 x一，yo-n,根據(jù)點(diǎn) HYPERLINK l bookmark137 o Current Document 33【詳解】2由橢圓C：y21 ,知a2【詳解】2由橢圓C：y21 ,知a22 ,b21,c21 ,2即C 1,所以右焦點(diǎn)F(1,0).,uuv uuv / 口由 FA 3FB，得 1, n 3 xo 1, y .所以 1 3 xo 1 ,且 n 3yo.、，41所以 x0一，y- n. HYPERLINK l

4、 bookmark125 o Current Document 332 X 2將Xo, yo代入一 y 1 , 2 22 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document -141.信一 n1 .解得n 1 , HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 233所以 AFv J1 2 2 n2 yf11 我.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析幾何中的應(yīng)用; 正確表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.2 X3.如圖所不，已知雙曲線 C： ab21 a 0,b 0的右焦點(diǎn)為F ,雙曲線

5、的右支上一點(diǎn)A ,它關(guān)于原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為B ,滿足 AFB 120 ,且C的離心率是（）BFAFUHV.B在橢圓上，求得 n=1,進(jìn)而可求得 AFC C 與D-7【答案】C【解析】【分析】 利用雙曲線的性質(zhì)，推出 AF , BF ,通過求解三角形轉(zhuǎn)化求解離心率即可.【詳解】22解：雙曲線C:當(dāng) 與1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為F ,雙曲線C的右支上一點(diǎn) A,它關(guān)于 a b原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為B ,滿足 AFB 120 ,且| BF | 3| AF | ,可得| BF | | AF | 2a ,|AF | a , |BF | 3a,F BF 60 ,所以 F BF 60 ,所以 FF2AF BF 2

6、AFgBF cos60 ,可得 4c a 9a 6a4c2 7a2，所以雙曲線的離心率為:本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中 檔題.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的Z合產(chǎn)物，曲線 C:(x2 y2)3 16x2y2恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論：曲線C經(jīng)過5個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過2;曲線C給出下列結(jié)論：曲線C經(jīng)過5個整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過2;曲線C圍成區(qū)域的面積大于 4 ;方程 HY

7、PERLINK l bookmark15 o Current Document 22 32 2(x y )16x y xy 0表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是A.B.C.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得x2 y2 4 ,可判斷；x2 y24和x2D.2 32 2y 16x y聯(lián)立解得x2 y2 2可判斷；由圖可判斷.16x2 2y 16解得x2 y2 4 (當(dāng)且僅當(dāng)x2y22時取等號)，則正確;cccc 3c cCC將x y 4和x y 16x y聯(lián)立，解得x y 2,即圓x2 y2 4與曲線C相切于點(diǎn) &,亞,則和都錯誤；由xy 0 ,得正確.故選：B.【點(diǎn)睛】

8、本題考查曲線與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能 力，是一道有一定難度的題.已知直線y k(x 3)(k 0)與拋物線C:y2 4x相交于A, B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn).若FA 5 FB|,則k等于()A.1 B.-2 C.3A.1 B.-2 C.3D.【答案】B【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z y k(x 3)2 22222.由 /，得k2x26k24 x 9k20, 6k2436k40,得y 4xk2 1 , xx2 9，再利用拋物線的定義根據(jù)FA 5 FB ,得到x 5x2 4，從311而求得x2 1,代入拋物線方程得到 B(1,2),再代入直線方程求

9、解.【詳解】設(shè) A %,%, Bx2,y2，易知x10,x?0,yi0 ,y20,由 y2 k(x 3),得 k2x2 6k2 4 x 9k2 0, 6k2 4 2 36k4 0,y2 4x1所以 k2 - , xix29 .3因為 FA x1 x1 1 , FB x2 x2 1 ,且 FA 5 FB , 22所以x 5x2 4.由及x2 0得x2 1 ,所以 B(1,2),代入 y k(x 3),得k -. 2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，幾何性質(zhì)和直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.-25 o 256.設(shè)拋物線C：y2 2px p 0的焦點(diǎn)為F ,拋物線C與

10、圓C :x2 (y -)2 一于416A, B兩點(diǎn)，且AB J5若過拋物線C的焦點(diǎn)的弦MN的長為8,則弦MN的中點(diǎn)到直線x 2的距離為()A. 2B. 5C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】易得圓C過原點(diǎn)，拋物線y2 2Px也過原點(diǎn)，聯(lián)立圓和拋物線方程由AB求得交點(diǎn)坐標(biāo)，從而解出拋物線方程，根據(jù)拋物線定義即可求得弦MN的中點(diǎn)到直線x2的距離.【詳解】圓:C :x2 TOC o 1-5 h z 525225圓:C :x2y 5 二，即為x yy,可得圓經(jīng)過原點(diǎn).4162拋物線y2 2Px也過原點(diǎn).設(shè) A 0,0 ,B m,n , m 0.由 |AB 6可得 m2 n2 5,一 225又m

11、n n聯(lián)立可解得n 2,m 1. 2把B 1,2代人y2 2px ,解得p 2 ,故拋物線方程為y2 4x ,焦點(diǎn)為F 1,0 ,準(zhǔn)線l的方程為x 1 . 如圖，過M , N分另IJ作me l于E , NK l于K ,可得 |MF| |ME , NK NF|,即有 MN MF | NF| ME KN |.11設(shè)MN的中點(diǎn)為P0,則Po到準(zhǔn)線l的距離金(EM | KNI ) -|MN| 4,則MN的中點(diǎn)P0,到直線x 2的距離是4 1 5.故選：B【點(diǎn)睛】.屬于本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問題，解決問題的能力，數(shù)形結(jié)合思想 一般性題目.屬于2x2x7.已知雙曲線一2y x，點(diǎn)p電y2

12、1(b 0)的左右焦點(diǎn)分別為2y x，點(diǎn)p電buur uuur,yo)在該雙曲線上，則 PF1 PF2=()A. 12B. 2C. 0D. 4【答案】C【解析】由題知公=2 ,故凡= 土Hi 二 1, E1a,0),uuur umu-PF1 PF2 ( 2 V3, 1) (2 V3, 1) 3 4 1 0,故選擇 C.22x y8.已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線一2 22 1 a 0,b 0的右焦點(diǎn)，a bE為OF2的中點(diǎn)，過雙曲線左頂點(diǎn) A作兩漸近線的平行線分別與 y軸交于C, D兩點(diǎn),B為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形 ACBD的內(nèi)切圓經(jīng)過點(diǎn) E,則雙曲線的離心率為（2【答案】B2【

13、答案】B,2C.3D.由對稱性可得四邊形 ACBD為菱形，其內(nèi)切圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn) O,求出圓心。到BC的 1 一距離d ,由四邊形 ACBD的內(nèi)切圓經(jīng)過點(diǎn) E,可得d -|OF2 ,化簡得出雙曲線的離心率.【詳解】b由已知可設(shè)A a ,0 , B a,0 , kAC -,ab有直線點(diǎn)斜式方程可得直線 AC方程為y b x a ,a令x 0,可得C b,0 ,由直線的截距式方程可得直線BC方程為x 丫 1 ,即bx ay ab 0 ,a bO,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為由對稱性可得四邊形 ACBDO,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為圓心。到BC的距離為圓心。到BC的距離為db 0 a 0 ab.a2 b2ab r , c

14、又.四邊形ACBD的內(nèi)切圓經(jīng)過點(diǎn) E,.abc2ab2OF2c.abc2ab2OF2c2 ，4a2c4,同除以 a4得，e4 4e2 4 0，e22 2 0 ,e22 , e衣或石（舍）, e 2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，通過對稱的性質(zhì)得出相關(guān)的等量關(guān)系，考查運(yùn)算求解能 力和推理論證能力，是中檔題 .9 .已知一條拋物線恰好經(jīng)過等腰梯形ABCD的四個頂點(diǎn)，其中 AB 4,BC CD AD2,則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（A顯 4【答案】B【解析】【分析】B.c.、3D. 2.3不妨設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程2py(p0),將條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，代入解出p ,即得結(jié)果.不妨設(shè)拋物線

15、標(biāo)準(zhǔn)方程2py(p0)，可設(shè) C(1,m), B(2, m 73),1 2 pm 2p(m % 3)2p,3,即拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是叵,選22【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程及其性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基本題210.BC CD AD2,則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（A顯 4【答案】B【解析】【分析】B.c.、3D. 2.3不妨設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程2py(p0),將條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，代入解出p ,即得結(jié)果.不妨設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程2py(p0)，可設(shè) C(1,m), B(2, m 73),1 2 pm 2p(m % 3)2p,3,即拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是叵,選22【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方

16、程及其性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基本題210.已知拋物線x4 y的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l ,拋物線的對稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q, P為拋物線上的動點(diǎn),橢圓的離心率為（A. 32x/2由已知,PQMPFB.F(0,1), Q(0,m PQ ,當(dāng)m最小時，點(diǎn)P恰好在以F,Q為焦點(diǎn)的橢圓上，則1）,過點(diǎn)P作PMPFPMPQ與拋物線相切于點(diǎn)P.設(shè)P.3.2垂直于準(zhǔn)線，則.2 1PM PF .記s sin PQ當(dāng) 最小時,P(2, 1),所以m有最小值，此時直線 PQPQ 272, PF2,則PF2 X11.已知橢圓C : XPF2 X11.已知橢圓C : X2a2L 1 b20的右焦點(diǎn)F c,0b , O

17、為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓交圓 x2 y2 b2于P、Q兩點(diǎn)，且PQOF,則橢圓C的離心率為故選D.A百3【答案】D【解析】A百3【答案】D【解析】【分析】C 2C2D.吏3設(shè)點(diǎn)P為兩圓在第一象限的交點(diǎn)，利用對稱性以及條件PQOF可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為b2與cb2與c2的等量關(guān)系，由此可-,-,再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓x2 y2 b2的方程，可得出2 2得出橢圓的離心率的值.【詳解】如下圖所示，設(shè)點(diǎn) P為兩圓在第一象限的交點(diǎn)，設(shè) OF的中點(diǎn)為點(diǎn) M ,由于兩圓均關(guān)于 x軸對稱，則兩圓的交點(diǎn) p、軸對稱，則兩圓的交點(diǎn) p、Q也關(guān)于x軸對稱，又OFc ,則PQ為圓M的一條直徑，由下圖可知， PM x條直

18、徑，由下圖可知， PM x軸，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為c c2,22將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓x2y2 b2 2將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓x2y2 b2 得b2,可得c所以，2a2 3c2,因此,橢圓的離心率為2_ 2_ 2_ 22b 2a 2c ,故選：D.3【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計算，根據(jù)題意得出 算求解能力，屬于中等題【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的計算，根據(jù)題意得出 算求解能力，屬于中等題.c的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)212.如圖，尸2212.如圖，尸2是雙曲線C:當(dāng)a2 y b21(a0,b 0）的左、右焦點(diǎn)，過 F2的直線與雙曲線C交于A, B兩點(diǎn).若AB : BFi : AF13: 4:5 ,則雙

19、曲線的漸近線方程為（）A. y243xB. y2&xC. y3XxD. yV2x【答案】A【解析】【分析】設(shè)AB| 3, BFi 4, AFi| 5, AF2 x ,利用雙曲線的定義求出 x 3和a的值，再利用勾股b定理求c,由yx得到雙曲線的漸近線方程.a【詳解】設(shè) AB| 3, BFi 4, AFi| 5, AF2 x,由雙曲線的定義得：3 x 4 5 x,解得：x 3, TOC o 1-5 h z 所以 IF1F2I,42624x/i3c相,因為2a 5x 2a 1,所以b2曲, b -所以雙曲線的漸近線方程為y bx2.3x.a【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、漸近線方程，解題時要注意如果

20、題干出現(xiàn)焦半徑，一般會用到雙 曲線的定義，考查運(yùn)算求解能力. HYPERLINK l bookmark170 o Current Document 2213.已知拋物線y2 2 Px(p 0)交雙曲線 勺 當(dāng) 1(a 0,b 0)的漸近線于 A, B兩點(diǎn) a b(異于坐標(biāo)原點(diǎn) O),若雙曲線的離心率為 5 AOB的面積為32,則拋物線的焦點(diǎn)為()A. (2,0)B, (4,0)C, (6,0)D. (8,0)【答案】B【解析】【分析】b由題意可得一 2,設(shè)點(diǎn)a位于第一象限，且 A m,n ,結(jié)合圖形的對稱性列出方程組確a定p的值即可確定焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】22222 c a b , b l b

21、oe f 2- 1 f 5，一 2， a aaa設(shè)點(diǎn)A位于第一象限，且 A m,n ,結(jié)合圖形的對稱性可得：-2 mmn 32 ,解得：p 8，拋物線的焦點(diǎn)為4,0 ,故選B.n2 2 Pm【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的對稱性，雙曲線的漸近線，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解等知識，意在 TOC o 1-5 h z 考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2214.右圓 C1 ： x y 2mx 4ny 10 0 (m, n 0)始終平分圓 C2 ： HYPERLINK l bookmark97 o Current Document .2.212,、x 1 y 12的周長，則一一的取小值為()m nA. 9B.

22、 9C. 6D. 32【答案】D【解析】【分析】把兩圓的方程相減，得到兩圓的公共弦所在的直線l的方程，由題意知圓 C2的圓心在直線1l上，可得m 2n 3, m 2n 1,再利用基本不等式可求最小值 3【詳解】2222_把圓C2：x1 y 12化為一般式，得 x y2x 2y 0,22又圓 C1 ：xy2mx4ny 10 0 (m, n 0),兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在的直線l 兩圓的方程相減，可得兩圓的公共弦所在的直線l 的方程：m 1 x 2n 1 y 5 0.Q圓Q圓C1始終平分圓C2的周長,圓心C21, 1在直線l上,1-2n 15 0,即 m 2n 3, m 2n32n1

23、2n 2m2n 5 3 m n15 2 2315 2 23.3m 2n 3當(dāng)且僅當(dāng) 2n 2m即m n 1時，等號成立. m n120的取小值為 3.m n故選：D .【點(diǎn)睛】 TOC o 1-5 h z 本題考查兩圓的位置關(guān)系，考查基本不等式，屬于中檔題15.若A, B分別是直線x y 2 0與x軸，y軸的交點(diǎn)，圓C： 22x 4 y 48上有任意一點(diǎn)M ,則 AMB的面積的最大值是()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】先求出AB ,再求出M到直線的最大距離為點(diǎn) M到直線x y 2 0加上半徑，進(jìn)而可得面積最大值.【詳解】由已知A 2,0 , B 0, 2則 AB

24、 J2216.過雙曲線 1的左焦點(diǎn)F1引圓x216.過雙曲線 1的左焦點(diǎn)F1引圓x2 y2 3的切線，切點(diǎn)為 T,延長F1T交雙曲4線右支于P點(diǎn)，M為線段FF的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 MO MT ()A. 1B. 2 V3C. 1 73D. 2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，雙曲線的定義，及圓的切線性質(zhì)，即可得到結(jié)論.又點(diǎn)M到直線的最大距離為 4 J 2 冊 5收，、1 1所以最大面積為 -2 2 5.2 10. 2故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查圓上一點(diǎn)到直線的最大距離問題，是基礎(chǔ)題MO MT |MO| MFi TFiMO MFi TFi-PF2 PF1JOF12 OT 2 -2

25、73 2 2 43.22故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓與雙曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用雙曲線的定義，三角形的中位線性 質(zhì).已知拋物線C:x2 2py(p 0)的焦點(diǎn)為F , C的準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn) H ,直線y 、3x p與C y 、3x p與C 交于A, B兩點(diǎn)，若28A. 3B.-3【答案】C【解析】 【分析】注意到直線y J3x P過點(diǎn)H ,利用M| 2|AH | AM | 2 ,再利用拋物線的定義即可得到答案 【詳解】連接AF ,如圖，過 A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 直線 y 3x _p過點(diǎn) H , tan AHM J3, 4 3|AH | 丁，所以|AM | 2 ,由拋物線的定義可得|

26、 AF | 延，則 |AF |()32D. 4tan AHMJ3, | AH | -,可得M ,易知點(diǎn)F 0,-p ,H 0, -p .易知 22AHM ,則四J ,X 3|AH |2|AM | 2.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到利用拋物線的定義求焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與 化歸的思想，是一道中檔題.已知 P(cos ,sin ), Q(cos ,sin )，則 | PQ | 的最大值為()A.金B(yǎng). 2C. 4D. 242【答案】B【解析】【分析】由兩點(diǎn)的距離公式表示PQ ,再運(yùn)用兩角差的余弦公式化簡，利用余弦函數(shù)的值域求得最值.【詳解】P(cos ,sin ) , Q(cos ,sin ), | PQ | . (cos cos )2 (sin sin )222 二；2；2Z- ；cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin2222.cos sin cos sin 2 cos cos sin sin2 2cos( ). cos( ) 1,1, |PQ|