(壓軸題)高中數(shù)學(xué)必修五第二章《解三角形》測(cè)試題(有答案解析)

1、 一、選題1在ABC中，內(nèi)角 A B 所對(duì)的邊分別是 bc，已知 ， B 3sin C ， ABC 的積為 A B ，則 a ）C D2一艘客船上午 9:30 在 A 處測(cè)得燈塔 在它的北偏東 30 ，之后它以每小時(shí) 3海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午0: 里，則燈塔 S在 處（ ）A北偏東 C偏南 到達(dá) B 處，此時(shí)測(cè)得船與燈塔 SB偏東 75 或東偏南 上方位都不對(duì)相距 海3 中角 B 所對(duì)的邊分別為 b c若 a 3, A ，則邊c （ ）A B C D4在銳角ABC中，內(nèi)角 A ， 所對(duì)的邊分別為 a ， ， a 12c2，則 A 取值范圍是（ ） A C 2, 5若ABC的內(nèi)角

2、 A， 的對(duì)邊分別為 ，b，c， b，c eq oac(,，) 的面積 SACcos A則 a（ ）B6在三棱錐A BCD中，已知所有棱長(zhǎng)均為 ， 是 的中點(diǎn)，則異面直線與BD 所角的余弦值為（ ）AB16C13337如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目 A，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距 4km 的 ， 兩點(diǎn)，測(cè)得 ， 45 ， 45(A， 在一平面 內(nèi)則兩目標(biāo) A， 間距離為 )km.A8 3B C 8設(shè) ， b ， 分別為 ABC 內(nèi)角 A ， B ， C 對(duì)邊已知 C ， C 5c sin A，則c（ ）AB C 3 349在中，角 A ， ，所對(duì)的邊分別為 a ， c ， sin cos co

3、s B ，的形狀是（ ）A銳角三角形 C角三角形B角三角形 確定10ABC中，角 A ， B 所對(duì)的邊分別為 ， b ， c ，BC 邊上的高為 ，則c bb c的最大值是（ ）AB C 3 11 中， 60AC ， ，則 ABC 的面積為A 4 B 4C 2 12圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔 AB ，選與塔底 B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn) C 與 D現(xiàn)得 45， 30 m ，在點(diǎn) C 測(cè)得塔頂 的仰角為 30 ，則塔高 AB ( )A 2mB 20 Cmm二、填空13圖，點(diǎn) 是半徑為 1 的半圓 O 的徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， OA 3 ， 為半圓上任意一點(diǎn)，以 AB 為邊作等邊 ，則四邊形 OACB 的面

4、積的最大值_.14船正離開島 A 沿偏西的方向以每小時(shí) 海的速度航行，乙船在島 處南偏西 的 B 處，且 AB 的離為 海，若乙船要用 2 小時(shí)追上甲船，則乙船速度大小為每小時(shí)_海里.15知 的角 A， 的邊別為 a，若 2 a ，且ABC的面積為 4 則 3a22的最小值為16 中角 A， 的邊分別為 a，滿足 a ， ， A 30 的三角形解的個(gè)數(shù)是_.在 中 AB ， ，則 AB 的值范圍_.18平面四邊形 ABCD 中， A B 0 （，），則 cos 的為_），已知 AB 的取值范圍是19中， ，且最大邊與最小邊是方程 3 x x 0 的個(gè)實(shí)根，則的外接圓半徑 外_.20三角形 中D

5、 為 BC 邊上一點(diǎn)，且BD CD， ，tan 三、解題 的最大值為21ABC中，已知角 A ， ，C的對(duì)邊分別為 a ， ， c ，b ，3 cos （）角 B 的??；（） BAC 的分線 AD 交 BC 于 D eq oac(,，) eq oac(, ) 的積為 3 ，求線段 BD 長(zhǎng)度22 ABC 中角A C所對(duì)的邊分別是 b c，且 B （）角 B （） 是BC的中點(diǎn)， AD 4 3 ， AB ，求ABC的面積23知 b c是 ABC 的內(nèi)角A C的對(duì)邊，且5cos C cos2 （）角 A 的小；.（） ABC 的積 S 32 c ，求 sin sin 的值24知半圓 O 的直徑 為

6、 ， A 為徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 O . 為半圓周上任意一點(diǎn)，以 AB 為邊，作等邊 ，角 等于何值時(shí)，四邊形 OACB 的面積最大最 大面積為多?25ABC中，A, B 的對(duì)邊分別為 b c且 cos B cos C cos A .（） B 的；（）2sinA cos( 的范圍26ABC 中，a、c 分別是 A、 、 C 的邊長(zhǎng)，已知 2 ac ， a22=acbc A 的小及 c的值【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要除一選題1C解析：【分析】首先利用正弦定理表示為2b ，再結(jié)合余弦定理求 和 sin ，利用ABC bc A 求 的.【詳解】 3sin C，由正弦定理可知2 ， 1 a ，可得

7、 a, b ， A b2 2 2 2bc 4， A 1 ，ABC 3 1 A a 4 4 ，解得： .故選：2B解析：【分析】根據(jù)題意作出示意圖，利用正弦定理求出 ，求得 ，即可得解 【詳解】如下圖所示：客船半小時(shí)的行程為 32 （海里），因?yàn)?海里）， BAS 30 ，由正弦定理可得 2 16 ，所以， 16sin 2 2，ASB 45 或1 .當(dāng) ASB 時(shí) ABS ，此時(shí)，燈塔 S在 處北偏東 75 ；當(dāng) ASB 時(shí) ，此時(shí)，燈塔 在 B 處的東偏南 75 .綜上所述，燈塔 S在 處北偏東 75 或偏南 75 .故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解測(cè)量角度問題時(shí)，方法如下：（）于和航有關(guān)的問題

8、，要抓住時(shí)間和路程兩個(gè)關(guān)鍵量，解三角形時(shí)將各種關(guān)系集中 在一個(gè)三角形中利用條件求解；（）據(jù)示意，把所求量放在有關(guān)三角形中，有時(shí)直接解此三角形解不出來，需要先在 其他三角形中求解相關(guān)量3C解析：【解析】試題分析： 222 2 cos60 c2 ，解得 或 （舍去）考點(diǎn)：余弦定理，正弦定理 4B解析：【分析】根據(jù)題中條件，由三角形的余弦定理、正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得tan 3tan ，再由兩角和的正切公式，以及銳角三角形的定義，可得tan ，tan C 【詳解】，解不等式可得所求范圍因?yàn)閍22122，由余弦定理可得， cos A ，則cbc ，可得 cos A ，由正弦定理可得： co

9、s A ，可得sin( sin cos B cos ，化為 A cos ，在銳角 中， cos ， cos B ，則 3tan B，又 C tan( B ) tan B 1 tan A tan 1tan tan A 311 2 A 3，由tan A ，tan ，可得 tan A ，解得 tan ，故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，以及兩角和的三角函數(shù)公式，考查方程思 想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題5A解析：【分析】由三角形的面積公式和已知條件得出 sin 12cos ，由同角三角函數(shù)間的關(guān)系求得 cos2 5，運(yùn)用余弦定理可求得邊 a【詳解】因?yàn)?b， ，S521 cos

10、A bcsin A sin A，所以 cos . 2 2所以 sinA2A5 2A cos又4 ，所以sin A所以 ，故解得 cos A2 5.所以 abccos A22 2 51，所以 故選：【點(diǎn)睛】本題綜合考查運(yùn)用三角形面積公式和余弦定理求解三角形，屬于中檔. 6A解析：【分析】取 的點(diǎn) F 連接CF、 ，是得到異面直線與 BD 所的角為 CEF，然后計(jì)算出的三條邊長(zhǎng)，并利用余弦定理計(jì)算出 ，即可得出答案【詳解】如下圖所示，取 AD 中點(diǎn) F ，連接CF、 EF ，由于 E 、 F 分為 、 的點(diǎn)，則 / ，且 EF BD ，所以，異面直線 CE 與 BD 所成角為 或其補(bǔ)角，三棱錐 A

11、 是邊長(zhǎng)為 2 的四面體，則 、 ACD 均是邊長(zhǎng)為 的等邊三角 形，E 為 AB 的點(diǎn)，則 AB，且 AC AE ，同理可得 CF 3 ，在中，由余弦定理得 CEF CE2EF CF CE 3 ，因此，異面直線與 BD 所成角的余弦值為，故選 A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，利用平移法求異面直線所成角的基本步驟如下： （）作：平直線，找出異面直線所成的角；（）證：對(duì)面直線所成的角進(jìn)行說明；（）計(jì)算：擇合適的三角形，并計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算所求的角 7B解析：【分析】由已知可求 30， ，由正弦定理可求 的，在BCD中，CBD 【詳解】，由正弦定理可求 的，進(jìn)而由余弦定理

12、可求 AB 的由已知，ACD中， ，ACD ，由正弦定理， sin sin，所以 CDsinACD sin ，在中， ，由正弦定理， sin sin，所以BD CD BCD 4 6sinCBD ，在 中，由余弦定理， AB 2 BD ADBDADB ，解得：所以 A與 的距離 .故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思 想，屬于中檔題8C解析：【分析】先根據(jù)正弦定理對(duì) b C A邊角互化得b a，再結(jié)合余弦定理整理得 .【詳解】解：因?yàn)?c sin A，所以 bc ， 所以由余弦定理得：2 2 a 2a 2，整理化簡(jiǎn)得： 故選：【點(diǎn)睛】本題考

13、查邊角互化，余弦定理解散三角形，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ). 9B解析：【分析】 根據(jù)正弦定理得到 sin 2 B sin B cos cos B ，簡(jiǎn)得到 算得到答案【詳解】 cos ，計(jì) sin2B cos B ，以 sin A 2B B A B ，所以sin A sin B ，即 cos .因?yàn)?以 A 2，故 ABC 是直角三角形故選： 【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和三角恒等變換，意在考查學(xué)生對(duì)于三角公式的綜合應(yīng) 10解析：【分析】首先利用面積公式可得： a bc sin A ，利余弦定理 b A，兩者結(jié)合可得 b2 2c b2 2 sin cos ， b c bc，即可得c b c2 ，利用

14、輔助角公式即可求.【詳解】 1 由已知可得： bc A a a ， 2 6所以 a bc sin A ，因?yàn)?cos 2bc，所以 b222 2 3bc sin bc cos A所以 b b2 c bc2 3 sin A A ，所以c b c的最大值是 4故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積公式、余弦定理、以及輔助角公式，屬于中檔.11解析：【分析】利用三角形中的正弦定理求出角 B，用角形內(nèi)角和求出角 C，利用三角形的面積公 式求出三角形的面積，求得結(jié).【詳解】因?yàn)橹校?， ， 3 ，由正弦定理得：BC sin A ，所以 3 4 ，所以sin B ，所以 30，所以SABC 3 30 ，故

15、選 【點(diǎn)睛】該題所考查的是有關(guān)三角形面積的求解問題，在解題的過程中，需要注意根據(jù)題中所給的條件，應(yīng)用正弦定理求得 B ，從而求得 90 30，之后應(yīng)用三角形面積公式求得結(jié).12解析：【分析】由正弦定理確定 的，再 【詳解】BCD BDC 45 CBD 120BC 求 由正弦定理得： sin120BCsin 45AB sin 45 BC tan 3故選 D【點(diǎn)睛】本題是正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是利用正弦定理求出 BC ，于基礎(chǔ)題二、填題13【分析】設(shè)表示出的面積及的面積進(jìn)而表示出四邊形的面積并化簡(jiǎn)所得面 積的解析式為正弦函數(shù)形式再根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解【詳解】四邊形 的面積的面積的面積設(shè)則

16、的面積的面積四邊形的面積故當(dāng)即時(shí)四邊形的面積 解析 【分析】設(shè)AOB ，表示出ABC的面積及的面積，進(jìn)而表示出四邊形 OACB 的積，并化簡(jiǎn)所得面積的解析式為正弦函數(shù)形式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解 【詳解】四邊形 OACB 面積 的面積 的面積，設(shè) AOB ， 2 2 OB 3 cos則1 的面積 AB AB 3 2 4 2的面積 OA 3 sin ，3 四邊形 OACB 的積 cos 2 1 3( sin cos2 2 3 3sin(故當(dāng) 60 150時(shí)，四邊形 的積最大值為 3 2 3 ，故答案為： 3 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用余弦定理一定要熟記兩種形式：1 a2 2 2 bc ；（）

17、cos 2bc，同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住30 等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14【分析】由題意畫出示意圖三角形（假設(shè)在處追上）然后設(shè)乙船速度為由 此表示出的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度在借助于余弦定理求出的長(zhǎng)則速度可求【詳解】 解：由題意設(shè)乙船的速度為且在處乙船與甲船相遇做出圖形如右：所以由題意 解析： 3【分析】由題意畫出示意圖三角形 ABC （設(shè)在 C 處上），然后設(shè)乙船速度為 x ，由此表示出BC的長(zhǎng)度，求出的長(zhǎng)度，在借助于余弦定理求出BC的長(zhǎng)，則速度可求【詳解】解：由題意，設(shè)乙船的速度為 ，且在處乙船與甲船相遇，做出圖形如右：

18、所以 由題意知 AC 2 ， x ， BAC 120在 中由余弦定理得 AB AB CAB即 4x 2cos120 ，所以 2 ， x 3 海里 / 小時(shí)）故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的應(yīng)用舉例問題，根據(jù)題意建立合適的解三角形模型，運(yùn)用正余弦定理 構(gòu)造方程求解，屬于中檔題1580【析】由已知結(jié)合正弦定理以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)有根據(jù)面積公式有 再應(yīng)用余弦定理可得結(jié)合目標(biāo)式有利用基本不等式即可求最小值；【詳解】由 及正弦定理可得 即又故故因?yàn)榈拿娣e為所以即故由余弦定理可得 當(dāng)且 解析：【分析】由已知結(jié)合正弦定理，以及三角形內(nèi)角和性質(zhì)有 ，根據(jù)面積公式有 ，再應(yīng)用余弦定理可得 c 2 a ，合

19、目標(biāo)式有 3a2242 2 ，利用基本不等式即可求最小值； 【詳解】由 2c cos 及正弦定理可得 2sin 2sin A sin ，2sin C cos B ，即 B C B ，又sin ，故 2，故 因?yàn)榈拿娣e為 4 所以ab ，即 4 3 故 2 ，由余弦定理可得 2 2 2 ，a 4ab 80 ，且僅當(dāng) a 2時(shí)等號(hào)成立，故 3a 的最小值為 故答案為：2 22 2【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，應(yīng)用了三角形內(nèi)角和性質(zhì)、三角形面積公式以及基本不等式求最 值；16【分析】直接利用正弦定理得到答案【詳解】根據(jù)正弦定理得到：故故滿 足條件的三角形共有個(gè)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理

20、判斷三角 形的個(gè)數(shù)問題意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力解析：【分析】直接利用正弦定理得到答.【詳解】根據(jù)正弦定理得到： 9 ， ，1 sin B sin A.故滿足條件的三角形共有 個(gè)故答案為： .【點(diǎn)睛】本題考查了利用正弦定理判斷三角形的個(gè)數(shù)問題，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能.17【分析】首先根據(jù)正弦定理得化簡(jiǎn)得到再求其范圍即可【詳解】由正弦定 理得：所以所以因?yàn)樗约垂实娜≈捣秶枪蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查 正弦定理的應(yīng)用同時(shí)考查三角函數(shù)的值域問題屬于中檔題解析：6,2【分析】首先根據(jù)正弦定理得BC 4sin A，化簡(jiǎn)得到 ，再求其范圍即可【詳解】由正弦定理得：AB ，以 A sin .所以AB AB

21、cos cos cos 8sin cos 1 8sin A A cos A 4sin 2 A 2 因?yàn)?0 A ，以 30 330 ，即sin ， 4sin .故 AB 的值范圍 6,2 .故答案為：6,2(1,2) (1,2)(1,2) (1,2)【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的值域問題，屬于中檔.18【分析】延長(zhǎng)交與點(diǎn)過 C 作交與 F 點(diǎn)可得由 AB 的取值范圍是可得設(shè)在 與中分別運(yùn)用正弦定理可得關(guān)于的方程聯(lián)立可得答案【詳解】解：如圖延長(zhǎng)交 與點(diǎn)過點(diǎn) C 作交與 F 點(diǎn)可得由 AB 的取值范圍是可得設(shè)在中由正弦定理可得解析：【分析】延長(zhǎng) BA ,CD交與 E點(diǎn)，過點(diǎn)

22、 C 作 AD交與 點(diǎn)可得 BFABBE ,由 AB 的取值范圍是 ，可得BF BE ,設(shè) ， 與 中分別運(yùn)用正弦定理可得關(guān)于 的程，聯(lián)立可得答. 【詳解】解：如圖， ，延長(zhǎng) BA ,CD交與 E點(diǎn)，過點(diǎn) C 作 AD交與 點(diǎn)可得 BFAB ,由 AB 的取值范圍是 ，可得BF BE ,設(shè)BC ，在中，由正弦定理可得： BEsin ,即： 2sin( sin x，可得 ，2cos 同理，在BCF中，由正弦定理可得： BFsin BFC BCF,即：1 ，可得2 x cos，故可得：4cos2，可得cos 2 ，又，故 cos ,故答案為： .【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理解三角形，考查學(xué)生數(shù)

23、學(xué)建模的能力與運(yùn)算能力，屬于中檔. 19【分析】綜合韋達(dá)定理與余弦定理可算 a 接著由正弦定理可得本題答案 【詳解】由題意得所以得因?yàn)榧吹霉蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定 理及韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用解析：7 33【分析】綜合韋達(dá)定理與余弦定理可算得 a接著由正弦定理可得本題答案 【詳解】由題意得， bc ，所以a2 2 bc cos A b ) 2 bc cos A 64 32 493 3，得a ，因?yàn)閟in A R 3 ，即 ， .故答案為：7 3【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理及韋達(dá)定理的綜合應(yīng).20【分析】設(shè)則在 ABD 和 ACD 中由正弦定理化簡(jiǎn)可得由兩角差的正弦公 式化簡(jiǎn)可得根據(jù)正

24、弦函數(shù)的值域即可求解的最大值【詳解】如圖由已知設(shè)則在 ABC 中由正弦定理可得:在 ACD 中由正弦定理可得:所以化簡(jiǎn)解析：【分析】設(shè)BD x則 , CD x,在 和 ACD 中由弦定理化簡(jiǎn)可得3 x B B 2 sin sin( )tan 2 B sin ,由兩角差的正弦公式化可得,根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求解 tan B 的大值【詳解】2 B B 0,2 B B 0,如圖由知設(shè)BD ,則 , CD x,3x eq oac(, )ABC 中,正弦定理可: 2 sin x, eq oac(, ) 中由弦定理可得b BAC ) sin .3 x x B B 所以 2 sin BAC ) BAC c

25、os cos BAC 化簡(jiǎn)可:tan BAC B,可:tan 3sin 2 2.可得 tan BAC B 的大為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在解三角形和化簡(jiǎn)中的應(yīng),借助公共邊把兩個(gè)三角形聯(lián)系起來是解答 本題的關(guān)鍵屬中檔題三、解題211）B ；（） BD 【分析】（）已知條，結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系、輔助角公式得 ，根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)，即可求角 （）題設(shè)，用正弦定理得AD ，結(jié)合三角形面積公式有 3 即可求線段 BD 的長(zhǎng)度 【詳解】（） b B ， B cos 即 B cos B ，得 ， 2 ， B 4 ，可知 B 3 2，解得 6（） BAD 是 的分線，有 CAD ， eq oac(, )

26、中，由正弦定理得 sin ，以 sin eq oac(, )ACD 的面積為 所以 sin ，12BD ， BD 2 3 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（）合應(yīng)用弦定理邊角互化，輔助角公式，三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角； （）用正弦理及三角形面積公式求邊.221） 3；（） 3 【分析】（）用誘導(dǎo)式和二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式可求得 B ，由B 可得結(jié)果；（） ABD 中用余弦定理造方程可求得 BD，根據(jù) S ，利用三角形面積公式可求得結(jié)果 【詳解】（） ， ，由 得： B ，即 ，解得：cos ，B ， B .（） ABD 中由余弦定理： AD22BD2 AB cos B ，即2 解得： ；D為BC中點(diǎn)， ABC ABD AB sin B 3 . 2231） ；（）12.【分析】（）已知化可得 2 5cos ，出 12即可求出角 A 的大??；（）用面積式可求得 ，利用余弦定理可求得 ，進(jìn)而求出 ABC 外接圓直徑，得出所求 【詳解】（）5cos B sin ， ) 2cos2A ， 2cosA 5cos A 解得 12或cos A （舍去）0 A ，所以 .（）3 S sin2 3