高二上數(shù)知識點歸納總結(jié)

1、第一章 不等式 不等式的概念和性質(zhì) 基本學(xué)問 ： 1不等式的定義 ：用不等號 “, , , , ”將兩個代數(shù)式連接而成的式子叫做不等式； 2兩個實數(shù)的大小 ： 用作差運(yùn)算定義： ab0aab; aba0b; ab; a b 0 ab. 用作商運(yùn)算定義： a1b; a b1a1ab; bb3不等式的性質(zhì) ： 不等號不轉(zhuǎn)變方向的： a a aa c a c a c a c a 0 a abba（對稱性） b, b c ac （傳遞性） bambm（不等量加等量） ba c b d （同向不等式相加） （留意：異向不等式不能相加！ ） d ba c b d （異向不等式相減） （留意：同向不等式不能

2、相減！ ） dbac bc （不等量乘正量） ； abac bc （不等量除正量） 0c 0b0ac bd （同向不等式相乘） （留意：異向不等式不能相乘！ ） d0b0ab（異向不等式相除） （留意：同向不等式不能相除！ ） c dc db0an b n （不等式的乘方） b0nanb （不等式的開方） 不等號要轉(zhuǎn)變方向的： a c b0ac bc （不等量乘負(fù)量） ； abac bc （不等量除負(fù)量） 0c 0 a ab b11（不等量取倒數(shù)） ab均值不等式 第 1 頁,共 15 頁基本學(xué)問 ： 1均值不等式 1：假如 a,b R ,那么 a2b22ab （當(dāng)且僅當(dāng) a b時取“ =”）

3、 b時取“ =”） b時取“ =”） 證明： a2b22ab a 2 b 2 當(dāng) b 時,b 0 2 2a a b 2 0 a b當(dāng) b 時,2均值不等式 2：假如 a, b 是正數(shù), 那么 a a a22ab ab （當(dāng)且僅當(dāng) a b證明： a2b 22 ab a b2 ab 即： ab2ab 當(dāng)且僅當(dāng) ab 時 a2bab 3變式：ab ab2, ab a2b2R）（當(dāng)且僅當(dāng) a（ a, b 24均方方均不等式 a： 2b 2 a22b25推廣 ：（不作要求） （1） 定理：假如 a,b,c R3,那么 a b33 c 3abc （當(dāng)且僅當(dāng) abc 時 取“ =”） 證明： a 3 b3

4、c 3 3abc a b 3c3 3a 2b 3ab 23abc bc 時取“ =”） a bc a 2 b a bc 2 c 3aba bc a b2 c a 2ab b 2 ac bc c 2 3ab a b2 c a b 2 c2 ab bc ca 1 a 2b c a b2b c 2c a 2 a, b, c R上式 0 從而 a3b33 c 3abc 指出：這里 a, b, c R a b c 0 就不能保證 （ 2）推論：假如 a, b,c a R ,那么 bc 3abc（當(dāng)且僅當(dāng) a 3（ 3 ） 如 a1, a 2 ,., an R, 就 a1 a 2 n. an na1a2

5、.an （ 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 第 2 頁,共 15 頁a1 a 2 . an 時取“ =”） 2y xy x 2y x 2 2y 2 6不等式鏈 ：如 x, y R, 就 1x （調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)） 7柯西不等式 （特例）： ac 2 bd a 2 b 2 c 2 d 2 柯西不等式 二維形式 a2+b2c2+ d2 ac+bd2 等 號 成 立 條 件 ： ad=bc a/b=c/d 擴(kuò) 展 : （ a12;+a22;+a32;+.+an2;b12;+b22;+b32;+.bn2; a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn2; 等號成立條件： a1:b1=a2:b2=

6、 =an:b當(dāng) nai=0或 時 ai 和 bi 都等于 0, 不考慮 ai:bi , i=1,2,3, ,）n 三角形式 bi=0a2+b2+c2+d2-ca2+b-d2注：“表”示平方根, 向量形式 | |,=a1,a, ,an, =b1,b, ,bn（ n N, n2） 等號成立條件： 為零向量,或 =（ R）； 一 般 形 式 （ai2;bi2; ai bi2; 等號成立條件： a1:b1=a2:b2= =an:bn,或 ai, bi 均為 零 ； 上 述 不 等 式 等 同 于 圖 片 中 的 不 等 式 ； 推 廣 形 式 x1+y1+ x2+y2+ xn+yn x1/n+ y1/

7、n+ 注：“n x表”x1 , x2, , xn 的乘積,其余同理；此推廣形式又稱 卡爾松不等式 ,其表述是：在 示 m*n 矩陣 中,各行元素之和的幾何平均 不小于各列元素之和的幾何平均之積； （應(yīng)為之積的幾何 平均之和） 編輯本段 柯西不等式的證明 二維形式的證明 a2+b2c2+d2 （ a,b,c,d R=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2 2abcd+b2 c2=ac+bd2+ad bc2 ac+bd,2等在且僅在 ad bc=0 即 ad=bc 時成立； 號 三角形式的證明 a2+b2+c2+d2-ca2+b-d2 證 明 ： a2+b

8、2+ c2+d22=a2+b2+c2+d2+2* a2+b2* c2+d2 a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示 絕 對 值 ； * 表示乘 a2+b2+c2+d2-2 （a*c+b*d ） =a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2 =a-c2+b-d2 兩邊開根號即得 a2+b2+ c2+d2 -c2+ba-d2一般形式的證明 求 證 ： ai2 bi2 ai bi2 /2 證 明 ： 等 式 左 邊 =ai2bj2+aj2bi2+. 共 n2 項 等 式 右 邊 = （aibi）ajbj+ajbjaibi+. 共 n2 /2 項 用均值不等式簡潔證明 等式左

9、邊 等式右邊 得證 第 3 頁,共 15 頁向量形式的證明 令 m =a1, a2, , an , n=b1, b2, , bn m n=a1b1+a2b2+anbn=|m |n |cos= a12+a22+ +an2 b12+b22+ +bn2 cos cos 1 a1b1+a2b2+ +anbn a12+a22+ +an2 b12+b22+ +bn2注：“表”示平方根； 注：以上僅是柯西不等式部分形 式的證明； 8確定值不等式 ：定 理 | a | | b | | a b | | a | | b |； 三角不等式 | a | | b | | a b | | a | | b | a,b同號時

10、右邊取“ =”,a,b 異號時左邊取“ =” 推論 1： | a1 a 2 an | | a1 | | a 2 | | an | . 推論 2： | a | | b | | a b | | a | | b | 不等式的證明 基本學(xué)問 ：證明不等式時,常用的基本方法是比較法,綜合法,分析法； 1比較法 ： （ 1）求差比較法： a b0aabba1（ 2）求商比較法： bb02綜合法 ：由已證不等式和不等式性質(zhì)推證結(jié)論； 3分析法 ：從結(jié)論動身,分析使這個不等式成立的充分條件,如這些充分條件 均具備,就可判定欲證的不等式成立； 4反證法：（正難就反） 反設(shè)結(jié)論； 推出沖突； 確定回答； 5換元法

11、： 常見類型（最常見的 ） 2 如 x 2 y 1,就設(shè) x cos 2,如 x 2 y 1,就設(shè) x sec . y sin y tan 2 如 x 2 y 1, 就設(shè) x r cos ,且 r 1. y r sin 如 x 1,就設(shè) x sin , R. 第 4 頁,共 15 頁2 如 x 2 y 2 a , 就設(shè) x a cos . a x cos . y asin 2 如 ax 2 by R2R a x 2 R b y 2 1, 就設(shè) R b y sin 如 0 x 1, 就設(shè) x cos ,0 2或 x R 2 . sin , 2如 x 1, 就設(shè) x sec , 0 2. 如 x

12、R,就設(shè) x tan , 26放縮法： 適當(dāng)放縮,適應(yīng)結(jié)論 2 . 7判別式法： 依據(jù)已知（或構(gòu)造）的一元二次方程的根,一元二次不等式的解 集,二次函數(shù)的最值等性質(zhì)確定其判別式應(yīng)中意的條件,從而得證； 8最值法 ： x y 恒成x ymax ； x y 恒成x ym i n 立 立 （略） 9導(dǎo)數(shù)法,添項法,幾何法,構(gòu)造函數(shù)法 不等式的解法 除已講的一元一次不等式,一元二次不等式, 簡潔高次不等式,分式不等式的解法外, 把握 無理不等式,指數(shù)不等式,對數(shù)不等式的解法； 基本學(xué)問 ： 1 無理不等式： f x g x g x 0或 g x 0f x 2 gx f x 0 f x g x 0g x

13、 f x 0或0 時無g x 解 f x g x 2 f x g x型 f x 0定義域 g x 02 指數(shù)不等式： a f x a 1 f x g x a g x f x g x a f x 0 aa 1g x f x gx 第 5 頁,共 15 頁3 對數(shù)不等式： log a f x log g x f x 0g x 0a 1 f x g x log a f x 0 a 1log a g x f x 0g x 0f x g x 含確定值的不等式的解法 基本學(xué)問 ： 1實數(shù)的確定值的意義（前面已講,此略） 2和差的確定值與確定值的和差的關(guān)系： 定 理 | a | | b | | a b |

14、| a | | b |； 三角不等式 號時左邊取“ =” | a | | b | | a b | | a | | b | a,b 同號時右邊取“ =”, a,b異 推 論 1| a1 a 2 an | | a1 | | a 2 | | an | . 推 論 2| a | | b | | a b | | a | | b | 3含確定值的不等式的解法 x a 0 x a, a ； x aa 0 x ax x 0 ； aax R. a x ax , a a, x ； aa000 f x gx f 2 x 2 g x 綜合應(yīng)用 ： 1一元二次不等式的有解問題,恒成立問題； 2一元二次的有解無解問題；

15、3二次函數(shù)的最值問題； 4多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積,體積的最值問題； 5點,線,面之間的位置關(guān)系問題； 6三角式的最值問題； 等等； 其次章 解析幾何 直線的方程 基本學(xué)問 ： 第 6 頁,共 15 頁1 直線方程與方程的直線（略） 2直線的傾角 ：直線與 x 軸正向所成的最小正角； 3直線傾角 與斜率 k ： 關(guān)系 ： k tan y2 y1 90 0 x2 x1 表示： 當(dāng) k 0 時 , arctank; 當(dāng) k 0 arctank; pai+arctank 時 , 范疇 ： 0 0 ,180 0 ； k R對比 ： 4直線方程的形式 ： 點斜式： y y1 kx x1 ；斜截式： y kx

16、 b； 兩點式： y y2 y1 x x1 ； 截距式： x ay b1 ； y1 x2 x1 一般式： Ax By C0 （ A,B 不同時為 0） 特殊的直線方程： 垂直于 x 軸且橫截距為 a 的直線方程是 x a , y 軸的方程是 x 0垂直于 y 軸且橫截距為 b 的直線方程是 y b , x 軸的方程是 y 05特殊形式和一般形式之間的關(guān)系 ： 第 7 頁,共 15 頁 點斜式是四種特殊形式中最基本,最特殊的； 在確定條件下,特殊形式和一般形式之間可以互化； 6直線方程的一般求法： 直接法：選用符合條件的方程形式直接寫出； 待定系數(shù)法：設(shè)方程,求系數(shù),定答案； 兩直線的位置關(guān)系

17、基本學(xué)問 ： 1 點與直線的位置 ： 點到直線的距離： 點 P（ x0, y0）到直線 l : Ax By C0 的距離： d Ax0 By0 C 2 A 2 B 兩平行直線 Ax By C1 0 和 Ax By C 2 0 間的距離： dC1 C2 2 A 2 B 2兩直線的平行與垂直： 直線位置關(guān)系： 設(shè)直線 l1 和 l 2 分別有斜截式方程 此時,斜率存在 ： l1 : y k1 x b1 , 1 ； l 2 : y k 2 x b2 . k 1 k 2 兩線平行： l 1 l2 k1 k2 且 b1 b2 ； 兩線垂直： l 1 l 2 3兩直線所成的角： tan 1 k 2 k 2

18、 k1 k1 0 ,180 ； 0 0 tan 1 k 2 k 2 k1 k1 0 ,90 0 0 4兩直線的交點 ：設(shè)直線 l1 : A1x B1 y C1 0,l 2 : A2x B2 C2 0 ,就 A1 x B1 y C1 0 A1 B1 C1 （ 1） A2 x B2 y C2 0 無 解 l 1 l2 A2 B2 C 2 . A1 x B1 y C1 0 A1 B1 （ 2） A2 x B2 y C2 0 有唯獨解 l1 與 l 2相交 A2 B2 . 第 8 頁,共 15 頁A1 （ 3 ） A1 x B1 y C1 0有 無 窮 解 l 1 與 l 2重A B C1. 或 0A

19、 x B y C2A2 B2 C2 B1 B2 , 且 C 合 1C2A2 5巧設(shè)直線方程 ： 過兩點 x1 , y1 , x2 , y2 的任意直線： y y1 x2 x1 y2 y1 x x1 ； 過點 Px0 , y0 的直線： Ax x0 B y y0 0 A B 0 或 y y0 k x x0 ； 與 直 線 Ax By C 0平 行 的 直 線 ： Ax By m 0m C 或 y A x m; B （ B 0, m C） 與直線 Ax By C 0 垂直的直線： Bx Ay m 0 或 y B x m（ A 0 ） A 過直線 A1x B1y C1 0 與 A2 x B2 y C

20、2 0 的直線： A1x B1 y C1 A2x B2 y C2 0（不表后直線） ； 簡潔的線性規(guī)劃 基本學(xué)問 ： 1平面區(qū)域的判定 設(shè)直線 l : Ax By C0如 A0, 就 Ax By C 0 表示 l 右半平面區(qū)域； 就 Ax By C0 表示 l 左半平面區(qū)域 . （同正右方,否就左方 ） 如 B0,就 Ax By C 0 表示 l 上半平面區(qū) 域； 就 Ax By C0 表示 l 下半平面區(qū)域 . （同正上方,否就下方 ） 2線性規(guī)劃 線性約束條件 : 對于變量 x,y 的約束條件,都是關(guān)于 x,y 的一次不等式； 目標(biāo)函數(shù) ：欲達(dá)到最值所涉及的變量 x,y 的解析式 Z=f

21、x,y 線性目標(biāo)函數(shù) ：當(dāng)解析式 Z=f x,y 是 x,y 的一次式時 稱 線性規(guī)劃： 求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件的最值問題 可行解： 中意約束條件的解 x,y 可行域： 由全部可行解構(gòu)成的集合 最優(yōu)解： 使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解 整點的求法： 第 9 頁,共 15 頁目標(biāo)函數(shù)的斜率為正,為負(fù)時的區(qū)分： 曲線與方程 基本學(xué)問 ： 1曲線的方程,方程的曲線 在直角坐標(biāo)系中, 假如某曲線 C（看著適合某條件的點的集合或軌跡） 上的點與一個二 元方程 f x, y 0 的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系： （ 1） 曲線 C 上的點的坐標(biāo)都是方程 f x, y 0 的解；（純粹性） （ 2） 方程 f x, y

22、 0 的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點 ,（完備性） 那么,這個方程叫做 曲線的方程 ；這條曲線叫做 方程的曲線（圖形） 2 如曲線 C 的方程是 f x, y 0 ,就 點 P0 x0 , y0 在曲線 C 上 f x0 , y0 =0.3求曲線方程的一般步驟 ： （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為 M（ x, y ） .（2）寫出適合條件 p 的點 M 的集合 P M p M ; （ 可據(jù)情省略 ） （3）用坐標(biāo)表示條件 pM ,列出方程 f x, y 0 ； （4）化方程 f x, y 0 為最簡形式 （ 5）證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點 . （ 可省略 ） 圓

23、的方程 基本學(xué)問 ： 1圓的定義： 平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）是 圓. 定點就是 圓心（確定圓的位置） ,定長就是半徑（確定圓的大小） 2圓的方程： 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ： x 2 a y b2r 2,圓心在 C（ a, b）,半徑為 r 圓的一般方程 ： x2 y2 Dx Ey F 0 , A化為標(biāo)準(zhǔn)方程 x D 2 2 y E 2 2D22 E 4F 4第 10 頁,共 15 頁B圓心坐標(biāo)為（ D 2, E ）,半徑 r1D22 E 4 F 0. 0 4 AF 0222 C方程 Ax Bxy 2 Cy Dx Ey F 0 表示圓 B 0A C D22 E 圓的參數(shù)方程 2 A圓

24、x 2 y 2 r r 0 的參數(shù)方程為 x r cos 是參數(shù) y r sin B圓 x 2 a y 2 b r2 的參數(shù)方程為 x ar cos 是參數(shù) y br sin 2點,直線,圓的位置關(guān)系： 點在圓內(nèi),上,外； 直線與圓相離,切,交； 圓與圓相離（內(nèi)離和外離）,切（內(nèi)切和外切）,交； 3巧設(shè)與圓有關(guān)的方程： 如直線 l : Ax By C2 0 ,圓 C ： x 2 y 2Dx 2 Ey F 00（圓 C , C , C 2圓 C1： x 2 y 2 D x E y F 0,圓 C ： x 2yD x E y F 均存在） 過直線 l 和圓 C 交點的圓系方程為： 2 x 2 y

25、Dx Ey F Ax By C 0 過圓 C1 和圓 C 2 交點的圓系方程為： x 2 y 2 Dx E y F x 2 y 2 D x E y F 0 （不含 C ） 過 圓 C1 和 圓 C 2 交 點 的 直 線 （ 公 共 弦 ） 方 程 為 ： D1 D 2 x E1 E2 x F1 F2 0第 11 頁,共 15 頁定義 第三章 圓錐曲線 是橢圓上任一點） 橢 圓 基本學(xué)問 ： 橢圓的一般式 ： 2 mx 2 ny 1m 0, n 0, m n 1平面內(nèi)與兩個定點 F1, F2 的距離的和等于常數(shù)（大于 F1F2 ）的動點的軌跡叫橢圓 . 2平面內(nèi)與確定點的距離和確定直線的距離的

26、比是常數(shù)的動點的軌跡是橢圓； （下設(shè) M x 0 , y 0 圖 形 1 長 2 a ,短軸長 2b,關(guān)系 a 2 b 2 c2 , ab0, a c 0； 相 2離心率 ec 0 a e1 cos 2cos 2；3 橢圓面積 S ab ； ； 4. 通徑端點坐標(biāo) c, b2,通徑長 = 2 b 2= 2 a ec ；兩準(zhǔn)線間的距離 2 2a 同 c aa5弦長 AB 1k 2a12 k x 1x 211y 1y 2； k 2點 6 P x0 , y 0 在橢圓內(nèi) x 0 2y0 21; P x , y 在橢圓外 x0 2y 0 21; a2b2a2b2a c； 7如過焦點 F1 的弦兩端點為

27、 A,B,就 CABF 24a ； 8 MF max a c, MF min 9在焦點 F1 MF 2 中, S F1MF 2 2 b tan 2； ac tan 2tan 2； ac 10焦半徑為直徑的圓與長軸為直徑的圓相內(nèi)切,焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相離； 不 方程 11 橢圓上不同三點 A x1 , y1 , Bx2 , y 2 , C x3 , y3 對同一焦點的三條焦半徑成等差數(shù)列 12 x2 x1 x3 或 2 y2 y1 y3 12如焦點弦 P, Q 兩端點在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影為 P , Q ,就 P FQ 是銳角； 2 x 2 y 1; x a2 m y 2 n 1y 22 x

28、 1; y an 2 x b2 m a2b22b2a2b222焦點 左： F1（ c, 0） 右： F2（ c, 0） 下： F1（ 0, c） 上： F2（ 0,c） a 左：- a,0 ,右 a,0 ,上：0,b ,下 0,-b左： -b,0 ,右： b,0 ,上： 0, a ,下： 0,- 頂點 第 12 頁,共 15 頁同 準(zhǔn)線 左： x a2,右 : x a2下： y a2,上： y a2c c c c 點 焦半徑 MF1 a ex0 , MF2 a ex0 MF1 a ey0 , MF2 a ey0 參數(shù)方程 x ma cos bsin （ 是參數(shù)） x mbcos （ 是參數(shù)）

29、y ny nasin 雙曲線 定義 基本學(xué)問： 雙 曲 線（ 一般式： 2 mx 2 ny 1 mn 0 ） . 1.平面內(nèi)到兩定點 F1, F2 的距離的差的確定值等于常數(shù)（小于 F1F2）的動點的軌跡叫雙曲線 2.平面內(nèi)與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)的動點的軌跡是雙曲線 ； 圖 形 2 1實軸長 2a,虛軸長 2b,關(guān)系 c a2b2, c a0, c b0 ；2離心率 e c e 1； a不 相 方程 3弦長公式,通徑端點坐標(biāo),通徑長公式,兩準(zhǔn)線間距離公式同橢圓 ； 4. 焦點弦為直徑的圓與相應(yīng)準(zhǔn)線相交； 同 5過焦點 F1 的弦兩端點為 A, B,如 AB m, 就 C

30、ABF2 4a 2m； 點 6在焦點 F1 MF 2 中, S F MF 1 2 2 b cot 2； ac tan 2cot 2； ac 2 x y 21; x am 2 y b2 n 1y 22 x 1; y a2 m x b2 n 1a2b2222 a b222焦點 左： F1（ c, 0） 右： F2（c, 0） 下： F1（ 0, c） 上： F2（0, c） 同 頂點 左： a ,0 , 右：（ a,0 ） 下： 0, a , 上：（ 0, a ） 點 準(zhǔn)線 左： x a2,右： x a2下： y a2,上： y a2c c c c 焦半徑 MF 1 aex0 , MF 2 aex0 MF1 aey0 , MF 2 aey0 y bx y ax 漸 ab進(jìn) 求法：代入公式 y bx 求得 求法：代入公式 y ax 求得 ab線 令 2 x 2 y 0,得 x y 0令 y 2x 20,得 y x 0aba2b2aba 2 b 2 第 13 頁,共 15 頁巧 1同漸進(jìn)線 y bx 的雙曲線方程設(shè)為： 2 x 2 ka 2 y 2 kb 1 k 0 或 x 21y 2aa2b22 同漸進(jìn)線 y ax 的雙曲線方程設(shè)為： 2 y 2 x 1 k 0 或 y 2x 2b2 ka 2 kb 2 y a2b23同漸進(jìn)線 y kx 的雙曲線