常數(shù)項級數(shù)講稿

1、關于常數(shù)項級數(shù)第一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一 常數(shù)項級數(shù)的概念及基本性質1 常數(shù)項級數(shù)的概念 定義：給定一個數(shù)列將各項依即次相加, 簡記為稱上式為無窮級數(shù)，其中第 n 項叫做級數(shù)的一般項。級數(shù)的前 n 項和第二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月稱為級數(shù)的部分和。收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和,記作當級數(shù)收斂時, 稱差值為級數(shù)的余項.則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .顯然第三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1. 討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù))( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散 .其和為第四張，PPT共四十

2、一頁，創(chuàng)作于2022年6月2). 若因此級數(shù)發(fā)散 ;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時, 幾何級數(shù)收斂 ;時, 幾何級數(shù)發(fā)散 .則級數(shù)成為不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.此時第五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月如果級數(shù)是發(fā)散的。解例2. 說明調和級數(shù):是收斂的，則但所以，級數(shù)是發(fā)散的第六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3. 判別下列級數(shù)的斂散性:解: (1) 所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ;第七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .第八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2 無窮級數(shù)的基本性質 說明: 級數(shù)各

3、項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即性質1 若級數(shù)收斂于 S ,則各項乘以常數(shù) c 所得級數(shù)也收斂 ,其和為 c S .即第九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月性質2 設有兩個收斂級數(shù)：則級數(shù)也收斂, 其和為即說明: 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若兩級數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.第十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例4判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和。解（1）因為均收斂，所以收斂，且和為（2）因為收斂，發(fā)散，發(fā)散。第十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月性質3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.性質4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)

4、仍收斂于原級數(shù)的和.證: 設收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列 為原級數(shù)部分和序列 的一個子序列,推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.因此必有例如第十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例5. 判斷級數(shù)的斂散性:解: 考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .第十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注意(1)并非級數(shù)收斂的充分條件.例如, 調和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散 .(2) 若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散 .設級數(shù)性質5. （收斂級數(shù)的必要條件）則必有收斂，第十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例6. 說明下列級數(shù)是發(fā)散的解（1）

5、所以原級數(shù)是發(fā)散的（2）所以原級數(shù)是發(fā)散的（3）級數(shù)是發(fā)散第十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二 正項級數(shù)及其審斂法若定理1 收斂的充要條件是則稱為正項級數(shù) .正項級數(shù)部分和有界 .序列第十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月都有定理2 (比較審斂法)設且存在對一切有(1) 若級數(shù)則級數(shù)(2) 若級數(shù)則級數(shù)證:設對一切則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示級數(shù)是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨部分和, 則有第十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(1) 若級數(shù)則因此有界,由定理 1 可知,則由(1)可知,(

6、2) 若級數(shù)收斂,收斂,也收斂 .從而級數(shù)有界,也收斂 .級數(shù)這與發(fā)散矛盾.第十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例7. 討論p-級數(shù)的收斂性解: 1) 若因為對一切而調和級數(shù)由比較判別法可知 p 級數(shù)發(fā)散 .發(fā)散 ,第十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月因為當故考慮級數(shù)的部分和時,2) 若p 級數(shù)收斂 .由比較判別法知故級數(shù)收斂 , 第二十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), p-級數(shù), 調和級數(shù).例8. 判別下列級數(shù)的斂散性 解 (1) 而 發(fā)散, 所以 原級數(shù)發(fā)散第二十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(2)收斂，所以收斂.(

7、3)收斂，所以收斂.(4) 所以 原級數(shù)收斂收斂第二十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月推論1 (比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當 l = 0 (3) 當 l = 設兩正項級數(shù)滿足(1) 當 0 l 時,第二十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月特別取推論2（極限審斂法）設為正項級數(shù)，如果則級數(shù)收斂；如果則級數(shù)發(fā)散.第二十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例9 判別下列級數(shù)的斂散性解(1)(2)收斂.第二十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月(3)(4)第二十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例10 判別級數(shù)的斂散性.

8、解當時，當時，發(fā)散;當時，收斂，發(fā)散;也收斂.第二十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例11 設正項級數(shù) 收斂，證明：級數(shù)收斂.證因為收斂，所以由于故收斂.第二十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理3 比值審斂法 ( Dalembert審斂法)設 為正項級數(shù), 且則(1) 當(2) 當時, 級數(shù)收斂 ;（或) 時, 級數(shù)發(fā)散 .說明: (1) 當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如（2）在判別收斂時，求極限過程不可缺.此時比值判別法失效.第二十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例12 判別下列級數(shù)的收斂性:解收斂.發(fā)散.第三十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6

9、月收斂.定理4 根值審斂法 ( Cauchy審斂法)設 為正則項級數(shù), 且(2) 當（或）時, 級數(shù)發(fā)散 .解 例13. 判別級數(shù) 的收斂性.該級數(shù)發(fā)散 .第三十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月三 任意項級數(shù)則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù) .定理5 ( Leibnitz 判別法 )則該交錯級數(shù)收斂 , 若 滿足條件:余項滿足1 交錯級數(shù)且和滿足第三十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月證: 又，故級數(shù)收斂于S，且，故余項因此第三十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例14 判別下列級數(shù)的斂散性：解(1)且所以收斂.(2)原級數(shù)收斂.第三十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2 絕對收斂與條件收斂 定義: 對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級收斂 ,數(shù)為條件收斂 .為絕對收斂.例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數(shù)條件收斂 .第三十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月證: 設根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂 ,令定理6 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .第三十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月說明：發(fā)散，若用正項級數(shù)的比值或根值審斂法判定是發(fā)散的.則可以斷定第三十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例15 判別下列級數(shù)斂散性，如果收斂指出是條件收斂，還是絕對收斂。解