高中數(shù)學(xué)教案23等差數(shù)列的前n項和公式

1、一、教學(xué)設(shè)計思想等差數(shù)列的前 n 項和公式教學(xué)設(shè)計在以往的教學(xué)中,課堂教學(xué)實施往往過于留意學(xué)問傳授傾向,同學(xué)被動地接受,很難從多方面培育學(xué) 生的綜合素養(yǎng)；而本堂課的設(shè)計是以個性化教學(xué)思想為指導(dǎo)進行設(shè)計的；本堂課的教學(xué)設(shè)計對教材部分內(nèi) 容進行了有意識的挑選和改組,個性化地處理教材使同學(xué)更便于接受和懂得；為了表達(dá)個性化教學(xué)的教學(xué) 理念,在教法上,采納了以同學(xué)為主體,以問題為中心,以老師為引導(dǎo),以小組的合作為主要學(xué)習(xí)方式；在教學(xué)中通過生動詳細(xì)的現(xiàn)實問題,激發(fā)同學(xué)探究的愛好和欲望,樹立同學(xué)求真的士氣和自信心,增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗,產(chǎn)生喜愛數(shù)學(xué)的情感 二、同學(xué)情形與教材分析, 體驗在學(xué)習(xí)中獲得勝利

2、；1、同學(xué)情形分析：同學(xué)思維較活躍,有肯定的分析問題、探究問題進而解決問題的才能,并且同學(xué) 已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義和通項公式,把握了一些等差數(shù)列的性質(zhì),而且具有一些生活中的實際體會和 把握了高斯數(shù)的推導(dǎo)方法2、幾何能直觀地啟發(fā)思路,幫忙懂得,因此,借助幾何直觀學(xué)習(xí)和懂得數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要 方面；只有做到了直觀上的懂得,才是真正的懂得；因此在教學(xué)中,要勉勵同學(xué)借助幾何直觀進行摸索,揭示討論對象的性質(zhì)和關(guān)系,從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；三、教學(xué)目標(biāo) 1、學(xué)問目標(biāo)（1）把握等差數(shù)列前 n 項和公式 , 懂得公式的推導(dǎo)方法；（2）能較嫻熟應(yīng)用等差數(shù)列前 n 項和公式求和；2、才能目標(biāo)： 經(jīng)受

3、公式的推導(dǎo)過程,體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,體驗從特別到一般的討論方法,學(xué) 會觀看、歸納、反思和規(guī)律推理的才能；3、情感目標(biāo)： 通過生動詳細(xì)的現(xiàn)實問題,激發(fā)同學(xué)探究的愛好和欲望,樹立同學(xué)求真的士氣和自信心,增強同學(xué)學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗,產(chǎn)生喜愛數(shù)學(xué)的情感 四、教學(xué)重點、難點 1、等差數(shù)列前 n 項和公式是重點；, 體驗在學(xué)習(xí)中獲得勝利；2、獲得等差數(shù)列前n 項和公式推導(dǎo)的思路是難點；倒序相加法五、教學(xué)過程設(shè)計：1+2+3+ +100 教學(xué)設(shè)計流程圖：由 中的一題引4+5+6+ +11 （實物演示）入（設(shè)置障礙, 加以拓廣）類比探究出等差 數(shù)列前 n 項和公式課后延長反思小結(jié)公式應(yīng)用,加深懂得在教學(xué)過

4、程中,先引導(dǎo)同學(xué)進入問題情形,然后老師逐層設(shè)問,引導(dǎo)同學(xué)探究,在議、講、練相結(jié)合的合作探究式學(xué)習(xí)中,使同學(xué)經(jīng)受新學(xué)問的形成過程,然后學(xué)以致用,運用等差數(shù)列的前N,kn 項和公式及倒序 相 加 法 中 展 現(xiàn) 的 項 數(shù) 之 和 相 等 時 兩 項 之 和 也 相 等 （ 指k ,l,m ,nlmn時 ,akalama n）解決一些簡潔問題,鞏固新學(xué)問六、教學(xué)過程 三個階段 : 問題出現(xiàn)階段, 探究發(fā)覺階段 , 公式應(yīng)用階段 1. 問題出現(xiàn)階段引入新課 : 上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)等差數(shù)列的一些基本性質(zhì) 數(shù)列的前 n 項和公式 . 問題出現(xiàn)一 : , 那么這節(jié)課我們就來探討一下等差古算書 中卷有

5、一道題 : 今有與人錢 , 初一人與一錢；次一人與二錢 ; 次一人與三錢；以次為之 , 轉(zhuǎn)為一錢 , 共有百人；問 : 共與幾錢 . 老師： 題目中我們可以得到哪些信息 .要解決的問題是什么 . 同學(xué)：第一人得一錢 , 其次人得二錢 , 第三人得三錢 , 以后每個人都比前一個人多得一錢 , 共有 100 人,問共給了多少錢 . 老師： 很好 , 問題已經(jīng)出現(xiàn)出來了 , 你能用數(shù)學(xué)語言表示嗎 . 同學(xué) : 用 a 表示第 n 個人所得的錢數(shù) , 由題意得 : a =1, a =2, a =3, , a 100 =100. 只要求出1+2+3+ +100 即可 . 老師： 學(xué)校算術(shù)中稱 1+2+3

6、+ +100 為什么？同學(xué)： 高斯數(shù)老師 : 高斯在他 10 歲的時候就神速的算出了結(jié)果, 他的算法很高明, 請問他是如何算的. 同學(xué) :1+2+3+ +100=（ 1+100）+（2+99）+ +（ 50+51）=10150=5050. 老師 : 依據(jù)等差數(shù)列的特點,首尾配對求和的確是一種奇妙的方法. 上述問題我們可以看成是等差數(shù)列1,2,3, ,100, 的前 100 項和 . 即S 100a 1a2a 3a 100； 設(shè)計意圖： 通過情形引入活動、任務(wù),讓同學(xué)親身經(jīng)受, 將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行說明與應(yīng)用的過程,其作用就在于提升同學(xué)的體會,使之向連續(xù)的形式的、抽象的數(shù)學(xué)學(xué)問的轉(zhuǎn)變；

7、新教材中增加了一些數(shù)學(xué)史的學(xué)問,向同學(xué)們介紹了 張邱建算經(jīng) 和高斯及他的算法,講課的過程中適當(dāng)插入數(shù)學(xué)史,為數(shù)學(xué)教學(xué)輸入了新奇血液,培育同學(xué)的數(shù)學(xué)文化,營造濃郁的“ 人文” 氛圍； 問題出現(xiàn)二 : 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建,她雄偉壯麗,純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷,成為世界七大奇跡之一；陵寢以寶石鑲飾,圖案之細(xì)致令人叫絕；傳奇陵寢中有一個梯形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成,共有8 層 見下圖 ,你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？ 設(shè)計意圖： 圖中算數(shù),激發(fā)學(xué)習(xí)愛好 . 這一個問題旨在讓同學(xué)初步形成數(shù)形結(jié)合的思想 , 這是在高中數(shù)學(xué)學(xué)

8、習(xí)中特別重要的思想方法 . 借助圖形懂得逆序相加 , 也為后面公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ) . 這有利于同學(xué)用形象思維突破倒序相加這一難點,并激發(fā)同學(xué)的學(xué)習(xí)愛好,加深同學(xué)的懂得與記憶 得到平移旋轉(zhuǎn)8 4 11 解：寶石的數(shù)量S88 411 211 設(shè)計意圖：在知道了高斯算法之后,同學(xué)們很簡潔把此題與高斯算法聯(lián)系起來,也就是聯(lián)想到“ 首尾配對” 擺出幾何圖形 , 引導(dǎo)同學(xué)去摸索 , 如何將圖與倒序相加結(jié)合起來 , 讓他們借助幾何圖形 , 將兩個梯形拼成平行四邊形 . 構(gòu)建在同學(xué)已有生活體會與生命體驗基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)課程大大激發(fā)了同學(xué)“ 做數(shù)學(xué)”的熱忱,數(shù)學(xué)課變得更生動、更活潑,更能引發(fā)同學(xué)的愛好； 2. 探

9、究發(fā)覺階段：問題三 : 如何求等差數(shù)列 a 1a n的前 項和 S na n.等差數(shù)列前 n 項和公式：nSnn a 1an2a n 由 前 面 的 例 子 , 結(jié) 合 上 節(jié) 課 學(xué) 過 的 等 差 數(shù) 列 的 性 質(zhì) : 如 果k,l,m ,nN,klmn時 ,akalama n不難推出 S na 1a 2a 3an2a n1a 把項的次序倒過來,S 又可以寫成：S na n1a n2a n3a,兩 a式a左右分別相加,2S na 1ana 2an1a 3an2a n2a 3an1a2a na 1得到:S nn a 12a n 倒序相加法 設(shè)計意圖： 在前面兩個問題的基礎(chǔ)上,問題三提出了等

10、差數(shù)列求和公式的推導(dǎo),勉勵同學(xué)利用“ 倒序相加” 的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)公式； 老師： 公式與中學(xué)學(xué)過的什么公式相像？Sn同學(xué)： 梯形的面積公式Sha2b 設(shè)計意圖： 與梯形的面積公式進行類比,為同學(xué)記憶公式供應(yīng)記憶方法老師 ：假如已知等差數(shù)列的首項a ,公差 d 和項數(shù) n 能否求出S ？分析： 把Snna 12an中的a 用a 1n1 d表示同學(xué)： 將通項公式ana 1n1d,代入到上面的公式式,得到na 1n n21 d 設(shè)計意圖： 同學(xué)自己推導(dǎo),有利于同學(xué)對兩個公式聯(lián)系的懂得 3. 公式應(yīng)用階段例 1：求正整數(shù)中前n 個奇數(shù)的和,2an2 n1,解 法1 ： 設(shè) 正 整 數(shù) 中 的 奇 數(shù) 列

11、 為an, 就 首 項 為a 1=1 , 公 差 為dSnna12ann 12n1 n22；2解法 2：a 1,1a23d2Snn1nn1 2n22例 2: 等差數(shù)列 -10 ,-6 ,-2 , 2, 前多少項的和是54 ？解: 本例題已知公差為4,首相為 10,前 n 項和為 54,欲求項數(shù)n,于是變用公式5410 n n n 142又由于項數(shù)不能為負(fù)數(shù),所以解得：n3或n93 舍去,一共有9 項 設(shè)計意圖： 讓同學(xué)鞏固所學(xué)的學(xué)問,嫻熟公式的應(yīng)用； 練習(xí) 1在等差數(shù)列a n中,已知a 1029 ,S 10155, 求a ；解：由已知得：1a2910155,2解得：a =2練習(xí) 2在等差數(shù)列a

12、n中,已知a6a1510,求S 20解法 1：a6a 1510,a 15 da 114 d10,即2 119 d10S 2020a 12a 2020a 1a 119 d202a 119 d101010022解法 2：S 2020a 112019d102 a119d10101002解法 3：S 2020aa2020a62a設(shè)計意圖 : 學(xué)以致用,直接運用公式加深的公式的熟悉和懂得；主要通過方程的思想進行基本量的運 算；留意懂得格式和規(guī)范； 4、反思總結(jié)、深化熟悉（請同學(xué)談?wù)勛约旱氖粘桑?你在學(xué)問與技能上的收成：（1）兩個公式S nn a 1an；2Snna 1n n21

13、d留意：當(dāng)d0時,Snna 1,（2）推導(dǎo)公式的倒序相加法2從等差數(shù)列前 n 項和公式的探究過程你有什么收成？從特別到一般和類比探究的方法3你對數(shù)學(xué)的熟悉有什么提高：數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)生活反之又為生產(chǎn)生活服務(wù)；數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程是數(shù)學(xué)重要的思想；敢于探究、敢 于發(fā)覺的精神,激發(fā)學(xué)習(xí)愛好 設(shè)計意圖 : 環(huán)繞三圍目標(biāo)進行小結(jié)4你有什么疑問？（沒有人提疑問時老師反問）什么時候使用倒序相加法？倒序之后對應(yīng)項之和相等 設(shè)計意圖 : “ 你有什么疑問？”有利于發(fā)覺同學(xué)中存在的問題,鞏固倒序相加法促進了同學(xué)的反思,有利于查漏補缺,也有利于老師的反思 設(shè)計意圖 : 必做題是讓同學(xué)鞏固所學(xué)的學(xué)問,嫻熟公式的應(yīng)用；依據(jù)我校的特點,為了促進數(shù)學(xué)成 績優(yōu)秀同學(xué)的進展,培育他們分析問題解決問題的才能,我們設(shè)計了選做題,達(dá)到分層教學(xué)的目的； 【教學(xué)反思 】：綜觀本節(jié)課,存在有特點主要有以下幾點：1、合理地對教材進行了個性化處理,挖掘了教材中可探究的因素,促使同學(xué)探究、推導(dǎo)；例如：等 差數(shù)列前 n 項和的公式一,是通過詳細(xì)的例子,引到一般的情形,勉勵同學(xué)進行猜想,再進行論證得出；而其次個公式并不象書本上那樣直接給出,而是讓同學(xué)從習(xí)題中進行歸納總結(jié)得到的；這樣