2021-2022學(xué)年安徽省“廬巢六校聯(lián)盟”數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點個數(shù)為（ ）A1B2C3D42已知，則下列不等式一定成立的是（ ）ABCD3已知隨機變量的分布列為（ ）01 若

2、，則的值為（ ）ABCD4已知，為銳角，且，若，則的最大值為（ ）ABCD5如圖所示,從甲地到乙地有3條公路可走,從乙地到丙地有2條公路可走,從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.則從甲地經(jīng)乙地到丙地和從甲地到丙地的走法種數(shù)分別為( )A6,8B6,6C5,2D6,26某商場要從某品牌手機a、 b、 c、 d 、e 五種型號中，選出三種型號的手機進行促銷活動，則在型號a被選中的條件下，型號b也被選中的概率是（ ）ABCD7已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，則的解集時（ ）ABCD8已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）ABCD9隨機變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（ ）ABCD10對于平面上點和曲線，任取上一點

3、，若線段的長度存在最小值，則稱該值為點到曲線的距離，記作，若曲線是邊長為的等邊三角形，則點集所表示的圖形的面積為（ ）ABCD11已知曲線在點處切線的傾斜角為，則等于（ ）A2 B-2 C3 D-112執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若，則輸出的為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13方程的正整數(shù)解的個數(shù)_.14若函數(shù)有且只有一個零點，是上兩個動點（為坐標(biāo)原點），且， 若兩點到直線的距離分別為，則的最大值為_.15我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23在不超過30的素數(shù)中，隨機選取

4、兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是_.16課本中，在形如的展開式中，我們把）叫做二項式系數(shù)，類似地在的展開式中，我們把叫做三項式系數(shù)，則的值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為常數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于、兩點，若，求的值.18（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點，點在線段上（包括兩個端點）運動（1）當(dāng)為線段的中點時，求證：；求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的

5、正弦值的取值范圍.19（12分）（1）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為，求復(fù)數(shù)；（2）求曲線、直線及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.20（12分）某周末，鄭州方特夢幻王國匯聚了八方來客.面對該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說”，成年人和未成年人選擇游玩的意向會有所不同.某統(tǒng)計機構(gòu)對園區(qū)內(nèi)的100位游客（這些游客只在兩個主題公園中二選一）進行了問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，在被調(diào)查的50位成年人中，只有10人選擇“西游傳說”，而選擇“西游傳說”的未成年人有20人.（1）根據(jù)題意，請將下面的列聯(lián)表填寫完整；選擇“西游傳說”選擇“千古蝶戀”總計成年人未成年人總計（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)

6、，判斷是否有的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關(guān).附參考公式與表：（）.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為函數(shù)的兩個零點，求證：.22（10分）若，()求證：；()求證：；()在()中的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由導(dǎo)數(shù)與極大值之間的關(guān)系求解【詳解】函數(shù)在極大值點左增右減，即導(dǎo)數(shù)在極大值點左正

7、右負，觀察導(dǎo)函數(shù)圖象，在上有兩個有兩個零點滿足故選：B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，原不等式等價于兩次求導(dǎo)可證明在上遞減，從而可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，設(shè)，在單調(diào)遞減，且，,所以在遞減，故選C.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）求出；（2）令 求出的范圍，可得增區(qū)間；（3）令求出的范圍， 可得減區(qū)間.3、A【解析】先由題計算出期望，進而由計算得答案?！驹斀狻坑深}可知隨機變量的期望，所以方差，解得，故選A【點睛】本題考查隨機變量的期望與方差，屬于一般題。4、B【解析】把代入等式中，進行恒等變形，用

8、表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【詳解】，.因為為銳角，且，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.【點睛】本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應(yīng)用基本不等式求代數(shù)式最值問題.5、A【解析】根據(jù)題意，應(yīng)用乘原理，即可求解甲地經(jīng)乙地到丙地的走法的種數(shù)，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的種數(shù).【詳解】由題意，從甲地經(jīng)乙地到丙地的走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，共有種；再由分類加法計數(shù)原理，可得從甲地到丙地，共有種走法，故選：A.【點睛】本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用問題，其中正確理解題意，合理選擇計數(shù)原理是解答的關(guān)鍵

9、，著重考查了分析問題和解答問題的能力.6、B【解析】設(shè)事件表示“在型號被選中”，事件表示“型號被選中”，則，由此利用條件概率能求出在型號被選中的條件下，型號也被選中的概率.【詳解】解從、5種型號中，選出3種型號的手機進行促銷活動設(shè)事件表示“在型號被選中”，事件表示“型號被選中”，在型號被選中的條件下，型號也被選中的概率：，故選：B.【點睛】本題考查條件概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】對的范圍分類討論，利用已知及函數(shù)是奇函數(shù)即可求得的表達式，解不等式即可【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，所以當(dāng)，即：時，當(dāng)，即：時，可化為：，解得：.當(dāng)，即：時，利用函數(shù)是奇函數(shù)，將化為：，

10、解得：所以的解集是故選A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用，還考查了分類思想及計算能力，屬于中檔題8、B【解析】將利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可得到答案.【詳解】由題意，所以的虛部是.故選：B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后可利用基本不等式求出的最小值【詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，所以，即，由基本不等式可得 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為，故選D.【點睛】本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出定值，以及對

11、所求代數(shù)式進行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題10、D【解析】根據(jù)可畫出滿足題意的點所構(gòu)成的平面區(qū)域；分別求解區(qū)域各個構(gòu)成部分的面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由定義可知，若曲線為邊長為的等邊三角形，則滿足題意的點構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中， ， 又 又陰影區(qū)域面積為：即點集所表示的圖形的面積為：本題正確選項：【點睛】本題考查新定義運算的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)定義，找到距離等邊三角形三邊和頂點的最小距離小于等于的點所構(gòu)成的區(qū)域，易錯點是忽略三角形內(nèi)部的點，造成區(qū)域缺失的情況.11、A【解析】因為，所以，由已知得，解得，故選A.12、B【解析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得

12、到的的值，當(dāng)時，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值【詳解】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，有滿足條件，有，；滿足條件，有,；滿足條件，有，；滿足條件，有，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為本題正確選項：【點睛】本題考查了程序框圖和算法的應(yīng)用問題，是對框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)進行了考查，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】本題轉(zhuǎn)化為把10個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法，利用隔板法，即可求得答案.【詳解】問題中的看作是三個盒子，問題則轉(zhuǎn)化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球隔板不能相鄰，也不能放在兩

13、端，只能放在中間的個空內(nèi)共有種故答案為：【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握將正整數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)問題，考查了分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.14、【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求解出的值，然后根據(jù)判斷出中點的軌跡，再根據(jù)轉(zhuǎn)化關(guān)系將的最大值轉(zhuǎn)化為圓上點到直線的距離最大值，由此求解出結(jié)果.【詳解】因為的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，又因為有唯一零點，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，設(shè)的中點為，如下圖所示：所以，又因為，所以，所以的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為的圓，所以當(dāng)取最大值時，為過垂直于的線段與的交點，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點到直線的距離最

14、值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.15、1【解析】利用列舉法先求出不超過30的所有素數(shù)，利用古典概型的概率公式進行計算即可【詳解】在不超過30的素數(shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個，從中選2個不同的數(shù)有C102和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對應(yīng)的概率P=3故答案為：1【點睛】本題主要考查古典概型的概率和組合數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.16、0【解析】根據(jù)的等式兩邊的項的系數(shù)相同，從而求得要求式子的值

15、.【詳解】，其中系數(shù)為，而二項式的通項公式，因為2015不是3的倍數(shù)，所以的展開式中沒有項，由代數(shù)式恒成立可得，故答案為：0.【點睛】本題考查二項式定理，考查學(xué)生的分析能力和理解能力，關(guān)鍵在于構(gòu)造并分析其展開式，是一道難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】(1) 消去參數(shù)可得的普通方程,再根據(jù)兩邊乘以,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系化簡即可.(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,利用直線參數(shù)的幾何意義與韋達定理求解即可.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù),為常數(shù)）,消去參數(shù)得的普通方程為.由,得即,整理得.故曲線的直角坐標(biāo)方

16、程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線中得,于是由,解得,且,解得.【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)與參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化,同時也考查了直線參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）.【解析】（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直和計算二面角（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得 設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得范圍【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 ，.因為分別是棱的中點，所以（1）當(dāng)為線段的中點時，則因為 所以即 因為設(shè)平面的一個法向量為由 可得，取，則所以 又因為是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則 .因為為銳

17、角，所以所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為 （2）因為在線段上，所以設(shè)（），解得，所以.因為設(shè)平面的一個法向量為由可得，取則所以設(shè)直線與平面所成的角為則 因為所以設(shè)則所以，設(shè)則，設(shè)可求得的取值范圍為，進一步可求得的取值范圍為所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.【點睛】本題全面考查利用空間向量坐標(biāo)法證明線線垂直，求二面角，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)求范圍，運算難度較大19、（1）或；（2）【解析】分析：（1）設(shè)，由已知條件得，再結(jié)合的虛部為，即可求出；（2）本題要求的是一個旋轉(zhuǎn)體的體積，看清組成圖形的最主要的曲線，和組成圖形的兩個端點處的數(shù)據(jù)，用定積分寫出體積的表示形式，得到結(jié)果.詳解：

18、（1）設(shè)，由已知條件得，的虛部為，或，即或.（2）.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了用定積分求幾何體的體積.20、（1）見解析（2）沒有的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關(guān)【解析】（1）根據(jù)題干可直接填表；（2）用公式求出，進而判斷與年齡有無關(guān)系?！驹斀狻拷猓海?）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表如下：選擇“西游傳說”選擇“千古蝶戀”總計成年人104050未成年人203050總計3070100（2）的觀測值.因為，所以沒有的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關(guān).【點睛】本題考查獨立性檢驗，注意計算避免馬虎出錯。21、 (1) 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. (2)見證明，【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟即