效用、損失和風(fēng)險(xiǎn)

1、第三章效用、損失和風(fēng)險(xiǎn)(Utility,Loss and Risk)本章主要參考文獻(xiàn)：60, 56, 86, 87, 92, 129, 156, 169, 183, 1843-1效用的定義和公理系統(tǒng)、引言為什么要引入效用決策問題的特點(diǎn)：自然狀態(tài)不確定一一以概率表示；后果價(jià)值待定：以效用度量。.無形后果，非數(shù)字量（如信譽(yù)、威信、出門帶傘問題的后果 ）需以數(shù)值度量;.即使是數(shù)值量（例如貨幣）表示的后果，其價(jià)值仍有待確定，后果的價(jià)值因人而異。100例一：同是100元錢，對窮人和百萬富翁的價(jià)值絕然不同；對同一個(gè)人，身無分文時(shí)的元，與已有10000元再增加100元的作用不同，這是錢的邊緣價(jià)值問題。 例二

2、：上圖作為商業(yè)、經(jīng)營中實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有普遍意義有人認(rèn)為打賭不如禮品，即00.51000元優(yōu)于0. 52500元*由上面兩個(gè)例子可知：在進(jìn)行決策分析時(shí)，存在如何描述（表達(dá)）后果的實(shí)際價(jià)值，以便反映決策的人偏好次序 （preference order）的問題*偏好次序是決策人的個(gè)性與價(jià)值觀的反映，與決策人所處的社會、經(jīng)濟(jì)地位，文化素養(yǎng)，心理和生理（身體）狀態(tài)有關(guān)。*除風(fēng)險(xiǎn)偏好之外，還時(shí)間偏好。i,折扣率 ii,其他而效應(yīng)（Utility）就是偏好的量化，是數(shù)（實(shí)值函數(shù)）.Daniel Bernoulli 在 1738 年指出：若一個(gè)人面臨從給定行動集(風(fēng)險(xiǎn)性展望集)中作選擇的決策問題，如果他知

3、道與給定行 動有關(guān)的將來的自然狀態(tài)，且這些狀態(tài)出現(xiàn)的概率已知或可以估計(jì)，則他應(yīng)選擇對各種可能后果的偏好的期望值最高的行動。二、效用的定義1.符號i,A B(即 APB)讀作 A 優(yōu)于 B : (Prefer(ed) A to B)A B(即ARB) A不劣于BAB(即 AIB) A 無差別于 B (Indifference)ii,展望(prospect):可能的前景即各種后果及后果出現(xiàn)概率的組合P=( Pi ,Ci；R ,c ;Pn,Cn )既考慮各種后果 (consequence)又考慮了各種后果的概率(probability or likelihood)分布所有P的集合記作piii, (l

4、ottery)與確定當(dāng)量PC21-p C3若Ci (P,C2 ; (1-P),C3 )則稱確定性后果Ci為抽獎(p,C2 ; (1p),C3 )的確定當(dāng)量2.效用的定義(A) TOC o 1-5 h z 在集合p上的實(shí)彳1函數(shù)u,若它和 p上的優(yōu)先關(guān)系一致,即: 若Pi,P2=p,PiP2 iffu( P1pu(P2)則稱u為效用函數(shù)三、效用存在性公理理性行為公理Von Neumann-Morenstern, 1994169公理1連通性(Connectivity)又稱可比性Pi ,P2 p,則 P1P2 or P1-P2 or P2P1公理2 傳遞性(Transitivity)P1,P2 ,P

5、3PP，若P1P2,P2P3則P1P3公理3替代性公理(加等量時(shí)優(yōu)先關(guān)系不變)若 p1，P2,P3Wp,P1P2 且 0 aP 則 P P1 +(1-) P2P P1 +(1- ) P2即二種后果中，決策人所偏好的后果出現(xiàn)機(jī)會較大的情況是決策人所喜愛的。公理4連續(xù)性公理-偏好的有界性若 piP2P3 則 存在 0a1,0 HpP使 ：Pl+(1- ： ) P3P2l ；Pl+(1T ：)P3由o(P1+(1-a) P3P2可知 P3不是無窮劣，即u( P3)-0由P2PP1 +(1-P) P3可知P1不是無窮優(yōu)，即U(P1) Pj 當(dāng)且僅當(dāng) u(pi) u(pj)u( a, pi ; 1- a

6、, pj )= au( pi ) +(1- a)u( pj )iii,對滿足上述條件的Ui ,u2必有Ui( pi) =b u2( pi)+c,其中b, c CR1, b0則u(P)稱為(基數(shù))效用函數(shù)* 關(guān)于線性:將 ii. U( a, pi; 1-a,pj )=ou(pi )+(1-a)u(pj)推廣到一般,若 pi p ;兀曲,i=1,2,m; Z 九=1;則 u( Z % pi )= N九i u( pi)ii i 1.四、基數(shù)效用與序數(shù)效用(Cardinal & Ordinal Utility)基數(shù)：實(shí)數(shù)：1, 2, 3,tt序數(shù)：第一，二，4, 3, 2, 1區(qū)別：.基數(shù)效用定義在展

7、望集p上(考慮后果及其概率分布),是實(shí)數(shù);序數(shù)效用定義在后果集 C上，不涉及概率，可以是整正數(shù).基數(shù)效用反映偏好強(qiáng)度：(正線性變換下唯一)原數(shù)列可變換為：b+c, 2b+c, 3b+c,兀b+c;其中b, c CR1, b0.而序數(shù)效用不反映偏好強(qiáng)度，(保序變換下唯一),原序數(shù)列可變換為16,9,4,1;或 8,6,4,2,或 10,7,6,1 等.序數(shù)效用的存在性公理.連通性(可比).傳遞性.對任何確定的后果 x,優(yōu)勢集與劣勢集均為閉集。(教材：P29 3.1)3.2效用函數(shù)的構(gòu)造一、離散型的概率分布后果元素有限各后果效用設(shè)定的步驟NM法由公理4：若P1-p2 M P3，則可找到 0 a1,

8、使P2 e a p1+(1-a) p3第一步：選定 Ci, C2 e C ,使 C2 A Ci令 u(C1 )=0, u( C2)=1所選擇的Ci、C2應(yīng)使比較易于進(jìn)行.第二步：對C2C3Ci，求 a(0a1),使C3-aC2+(1-a)C1則 U(C3)=U(、C2+(1- a)Ci)= au( C2 )+(1- oc)u(Ci)第三步：若 C4YC1,求 a(0a1),使 Cl/C2+(1- a) C4則 U( Ci) = U(“C2+(1- a) C4 )= u(C2)+(1-a)u( C4) .U( C4)=/(a-1)第四步：若C5C2,求 a(0a (y)- u(z),且v對正線性

9、變換是唯一確定的。則稱U為可測價(jià)值函數(shù)說明：i, wxyz表示co ,x之間偏好強(qiáng)度之差超過y,z之間偏好強(qiáng)度之差x wz y cii,由定義之ii,可測價(jià)值函數(shù)具有基數(shù)性質(zhì)但與基數(shù)效用不同：VF不反映DMer的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。iii ,它定在后果空間上，能起序數(shù)效用的作用但又與OUF不同：能反映后果的偏好強(qiáng)度.三、相對風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度設(shè) 效用函數(shù)u和測價(jià)值函數(shù)v在X上都是單調(diào)遞增，且連續(xù)二次可微。.風(fēng)險(xiǎn)的局部測度 0 u在x處凹，風(fēng)險(xiǎn)厭惡r(x)=- u (x)/u(x= 0 u在x處線性，風(fēng)險(xiǎn)中立I 0在x處有遞減的邊緣價(jià)值m(x)=- v (x)/v (x)=0在x處有不變的邊緣價(jià)值0在x處有遞增的邊

10、緣價(jià)值3.真正的(相對)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的定義若m(x) 0時(shí)u(x)通常是凹的遞減的邊緣價(jià)值風(fēng)險(xiǎn)厭惡x0與x0的形狀不同，負(fù)債較多有追求風(fēng)險(xiǎn)的傾向2.錢的效用曲線的構(gòu)成設(shè)某人現(xiàn)有1000元存款(某商店有資產(chǎn)NM 法(見 3.2)利用x2 ax1 +(1- a) x3ii,修正的NM法利用 x2 0.5x1+0.5x3例：設(shè) u(0)=0),u(1000)=1有 3000.5+0.5又 1250.5+0.5550 0.5+0.5由 00.5+0.5設(shè) a=-250則 u(-250)=-u(500)=-0.72-2500.5+0.5原因：i,價(jià)值函數(shù)是S型ii,在一定范圍內(nèi)相對風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不變 iii,負(fù)債到一定程度以上有冒險(xiǎn)傾向3.4損失、風(fēng)險(xiǎn)和貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)一、損失函數(shù)L有些文獻(xiàn)采用損失函數(shù)進(jìn)行分析.u(c)=u( 0,a). l( 0,a) -u(仇a)則損失函數(shù)與效用作用相同 為了使損失值非負(fù)，可取l( 0,a)= SupSupu( 0,a)-u( 0,a)a. A二、風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)參數(shù)空間自然狀態(tài)集行動集A-決策空間觀察值集X-測度空間決策規(guī)則Sxa , 5 ,A為策略空間損失l( 0,a)=l(1淞)由于X是隨機(jī)變量，對給定的0 ,采用決策規(guī)則8時(shí)定義風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)XR( 0,5)= E0 l(。,淞)=f l(0, 8(x) f (x | 0)