矢量張量公式及推導(dǎo)

1、 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.矢量及張量協(xié)變基矢量：a二a1g+a2g+a3g,a，稱為逆變基分量，g.是協(xié)變基矢量。123i逆變基矢量：a二ag1+ag2+ag3,a.稱為協(xié)變基分量，gi是逆變基矢量。123i愛因斯坦求和約定：省略求和符號，a二aig=agiii逆變基于協(xié)變基的關(guān)系：ggj=8jii標(biāo)積：ab二aibggj二a，bjii坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)0:drdxidrdxidxidxidxig=0igiii轉(zhuǎn)換系數(shù)的性質(zhì)：卩i卩k=8i，因?yàn)?i=gig=0i卩mg1gTOC o 1-5 h zkjjjjljm張量：分量滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的量，比如矢量0=

2、vg/=vkg卩igi=0iVikii置換張量：=ggg=、；ge，其中二g=ggg，同理有ijkijkijk123ijk=gigjgk=Leijkg由行列式的性質(zhì)及線性ggg=0lg0mg0ng=0l0m0nggg，因此是張量分量。ijkiljmknijklmnijk定義置換張量：&=jggg=gigjgkijkijk基的叉積：gXgg=g1g，所以gXg=g1，g/xgj=ijlgijkijkijlkijijll叉積：axb=abgxg=aibjgk，或?qū)懗蓪?shí)體形式axb=c:ab=ab:，雙標(biāo)ijijk量積用前前后后規(guī)則完成?；旌头e：a,b,c=aig,bjg,ckg=aibjckg,g

3、,g=aibjck=abcijkijkijk8i8i8irst8j8j8j=eijke=j，有以上關(guān)系可得rstrstrst8k8k8krst重要關(guān)系：ijk=8j8k8j8kiststts8ijk8=6j6k6jbk=35k6k二26kijtjttjttt8ijk8=26k=6ijkk15.反偶：反對稱二階張量Q滿足仞=2&：Q，其中a是一矢量，則稱a與Q互為反偶16.反偶的性質(zhì)：17.證明：Qiju=ijk3ujjk_ijkQlmu2jlmk111=(6k6i6k6iQlmU=Qmiu+QimU2lmmlk2m2m由于Q是反對稱張量,上式得證111Qlm=(6i6j6i6j)Qlm=Qij

4、Qji2lmml22同理Qij=ijk3=1ijkk2klm18.另外同樣可以證明兩對反偶有：幾個(gè)矢量公式及其證明：(axb)xc=(ac)b一(bc)a證明：分量m有ab8jkci8=abci8j8=abc(6i6j6i6j)=acibbciaijklmijklmijlmmlimlm(axb)x(cxd)=c(a(bxd)da(bxc)=ba(cxd)ab(cxd)證明：ab8ijkcd8rst8=abcd8ijk(6r6s6r6s)=abd8ijkcabc8ijkd另一半同ijrsktnijrsnkknijknijk理可得。,acad3.(axb)(cxd)=bcbd證明：ijkabcmd

5、n=(6j6k6j6k)abcmdn=acjbdkadjbckimnjkmnnmjkjkjk度量張量：定義g二gg為度量張量的分量，顯然g二gijijijjig二ggj:設(shè)g二agj，所以g二gg二agkg二a，則g二ggjTOC o 1-5 h ziijiijijijikjijiij逆變張量的逆ggkj=&j:5j=ggj=ggkgj=ggkjikiiiikik度量張量與張量分量：gTk=T，原因T=Tgi=Tkg=Tkggiikiikik克里斯托夫符號：dg第二類克里斯托夫符號：片=rkg，rk稱為第二類克里斯托夫符號OXiijkijdg第一類克里斯托夫符號：h=rgk，r稱為第一類克里斯

6、托夫符號Oxiij,kij,k兩類克里斯托夫符號的關(guān)系，由g.和定義可知r=grrijij,krkij克里斯托夫符號不是張量，仿射坐標(biāo)中為0，曲坐標(biāo)中不為0，其分量不可能滿足坐標(biāo)變換關(guān)系。5.逆變基導(dǎo)數(shù)：OL=_rigp，因?yàn)?jpOxjO5iO(gig)OgiOxjjpTOC o 1-5 h zopOxjOxjOxjdgirrigpOxjjp6.第一類克里斯托夫符號對稱性打,kji,kOg:因r-sij,kjg-旦竺-rOxikOxjOxiOxkji,k7.第二類的對稱性rr=rr:由于rijjiij,k可知rr=grkgrr=grkrijrkijij,k8.第二類克里斯托夫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：

7、rkij=pi卩j卩krk+旦_竺ijkijOxiOxjOxl證明：OxigOxjJdxii丿O2xkOxkOxiOxkOxjOg=+igk=OxjOxiOxkOxiOxkOxjOxjrk=復(fù)gk=dijdxjOxkgkdxkO2xiOxkOxiOxkOg=ggk+i-gkOxjOxiOxkiOxiOxkOxjO2xkOxkOxiOxkOxj+rkOxjOxiOxkOxiOxkOxjij9苕與克里斯托夫符號的一個(gè)關(guān)系：簣證明：g=勺；g2)g3=(爭xg2)g3+(giX寮)g+(giXg2)譽(yù)dxidxidxi231dxi312dxi=(廠kgxg)g+(gxrkg)g+(gxg)rkg1i

8、k2312ik3123ik=ri(gxg)g+r2(gxg)g+r3(gxg)g1i丄232i1233i123=rZvg張量對坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)：dTd(Tijgggk)dTijdgdgdgk=ookii=士gggk+Tii4ggk+Tiiiggk+TiggdxidxidxiijookdxijookdxiiookdxiijdTij=ookgggk+Tiirmgggk+Tiirmgggk一TiirkgggmdxiijookiimjookjiimookimijdTij=(ook+Tmiri+Tim廠iTi廠m)gggkdxiookmiookmioomikijdxiii分量表現(xiàn)形式的導(dǎo)數(shù)，協(xié)變導(dǎo)數(shù)：1.由張

9、量的導(dǎo)數(shù)，定義張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：:Tii=Tiilookook;l=dTL+Tmiri+Timri-Tiirmdxiookml。kml。mik2.由張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)和克里斯托夫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可以證明協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量的分量。3.為了證明這占，先注意空工豈並=旦_JkJ,空-5為了證明這點(diǎn)先注意dxidxidxidxkdxidxiikdxidxiidxidxi證明：dFidxiddxidxidxi、Fi竺dxi丿dxidFidxdxid2xidFid2xi+Fi=Pj(Ji+PjFidxidxidxidxidxidxiiidxiidxidxiTOC o 1-5 h zd2xidxkrik=P;Pi嘰+右

10、麗兩邊同乘P;并遍歷k求和，得:代入式得：Prrk=pipipkprrk+dx=pipiri+d?xkiiiikkiidxidxiiiiidxidxiFi二pipiFi;iii;idFiidFi+Fmri=pipi+Fmri即:dximjji(dximiJ4-由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量分量，所以吧F=j=Fi;k八jFi同樣i可由丁導(dǎo)出，稱為逆變導(dǎo)數(shù)dxjdTdT逆變導(dǎo)數(shù)及協(xié)變導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的張量實(shí)體：廠g二gjdxjdxj梯度散度和旋度：梯度：VT二gi|T,TV-|TgiTOC o 1-5 h zoxioxiqrprri散度:VT二gi二一,TVgioxioxi旋度：Vxgix,xV=xgioxioxi

11、幾個(gè)協(xié)變導(dǎo)數(shù)：由于張量實(shí)體不因坐標(biāo)變化而變化，如果某張量的各分量在直角坐標(biāo)系下為0，則該張量為0。容易知道在任意標(biāo)系下有，VgjkVg0,V6j0,V8jkmVs0,iijkikiijkm由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量分量，在任意坐標(biāo)系下上三式成立。 6. 幾個(gè)微分向量公式：1.V(hA)=hVA+AVh(hAi)=hVAt+AiVhiiiVx(hA)=hVxA一AxVh8ijkV(hA)=8jkhVA+8ijkAVh=8jkhVA-8jtkAVhijijjiijjiV(AxB)=B(VxA)-A(VxB)(8ijkAB)=8ijkVAB+8ijkAVB=8ijkVAB一8jikAVBijkijkjiki

12、jkjikVx(AxB)=(BV)A-(VA)B+A(VB)-(AV)B8ijkV(8AlBm)=8ijk8VAlBm+8ijk8AlVBmjklmklmjklmj=(5tSj-5i5j)VAiBm+(5/5j-5i5j)AiVBmTOC o 1-5 h zlmmljlmmlj=VAiBj-VAjBi+AiVBj-AjVBijjjjV(AB)=(BV)A+(AV)B+Bx(VxA)+Ax(VxB)BjVA+AjVB+8Bj8klmVA+8Aj8klmVBjijiijklmijklm=BjVA+AjVB+(5l5m-5l5m)BjVA+(5l5m-5l5m)AjVBjijiijjilmijjil

13、m=BjVA+AjVB+BjVA-BjVA+AjVB-AjVBjijiijjiijji=BjVA+AjVB=V(AjB)ijijij6.Vx(VxA)=V(VA)-V2A8ijkV(8VlAm)=8ijk8VVlAm=(5i5j-5i5j)VVlAm=VViAj-VVjAijklmklmjlmmljjj7.(AV)A+Ax(VxA)=VAVjAm+8ijkA8VlAm=AVjAm+(5i5j-5i5j)AVlAmjjklmjlmmlj=AVjAm+AVmAj-AVjAm=AVmAj=VmAAj/2jjjjj由于對任意常矢量k有fkda=0由k的任意性可知張量的積分定理：1.對封閉曲面a有f：d

14、a=02.Q(77gJ=QT7丄LQgi=g廠廠=QV7QJg=gi+：g=gi_Yg廠：gk=gi_gk=0QxiQxiQxiQxiIkQxiQxk3.fdvVp=fdap，v證明：Aa4.7gip+qqQxi(VggiP)dxidx2dx3_Jggipdx2dx3+(1)dQpQ(、：ggm)=(Jggmp)dxidx2dx3=、ggmdxidx2dx3+pdxidx2dx3QxmQxm小QpQp=i：ggmdxidx2dx3=gmdvaQxmdXmdxm列出類似關(guān)系式：JdvVp=fdapfdvpV=fpdaadvVp=IdapfdvpV=fpdafdvVxp=fdaxpfdvpxV=fpxda5.va斯托克斯公式Jda(Vxp)=Jdfp和f(pxV)da=-fpdfaf證明：三角區(qū)域ds,dt,afd(s-1)邊上的張量取邊中點(diǎn)的值,fdfp=ds(p+-dsVp)一(ds一dt)p+(ds+dt)Vp)一dt(p+dtVp)222Af=dt(dsVp)一ds(dtVp)=(dsdt一dtds):Vp222記反對稱張量2(dsdt-dtds)=2Q的反偶矢量為m=-丄:Q=-:-(dsdt一dtds)=-dsxdt=-da2