勾股定理的幾種推廣

1、科研論文 勾 股 定 理 的 幾 種 推 廣姓 名： 項(xiàng) 繼 宇 學(xué) 校： 韶山市銀田學(xué)校 學(xué) 段： 初中 學(xué) 科： 數(shù) 學(xué) 手 機(jī)：勾股定理的幾種推廣摘要：本文利用聯(lián)系的觀點(diǎn)，發(fā)散思維，從不同的角度來理解勾股定理和發(fā)現(xiàn)問題，分別從射影，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，幾何的割補(bǔ)思想，代數(shù)，數(shù)列等角度，嘗試把勾股定理推廣到更一般的情形，得到了一些結(jié)論，供大家參考。 關(guān)鍵字：勾股定理 推廣幾何學(xué)家陳省身說過，中學(xué)幾何中最重要的定理就是三角形內(nèi)角和定理和勾股定理，其他定理就沒有那么重要了。 勾股定理作為中學(xué)階段一個(gè)重要的定理，有著廣泛的應(yīng)用，是度量幾何發(fā)展的光輝成就。本文嘗試從不同的角度理解

2、勾股定理，從不同角度推廣勾股定理，由低維向高維的推廣已有很多文章研究，本文將不再重述：在RtABC中,a,b是直角邊,c是直角邊， 稱之為勾股定理。在勾股定理中，把b看成是底a上的高，勾股定理反應(yīng)了底a和高b,與 另一邊c 之間的關(guān)系。在一般的三角形中呢？ 定理1： 任意三角形中，銳角（或鈍角）所對(duì)邊的平方等于另兩邊的平方和 減去（加上）這兩邊中一邊與另一邊在這邊上射影乘積的二倍。證明：如圖d 是a 上的高，有勾股定理可得： 故：其中：是b在a 上的射影。在銳角三角形中，證明方法同樣。質(zhì)點(diǎn)A沿某一方向移動(dòng)b后，轉(zhuǎn)動(dòng)90再移動(dòng)a ，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)A的位移的長(zhǎng)度 c,可表示成：?，F(xiàn)考慮：點(diǎn) 易知： 即為

3、余弦定理。實(shí)際上定理1和余弦定理本質(zhì)是相同的。 質(zhì)點(diǎn)（假設(shè)兩次轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同，在同一平面內(nèi)） 如圖：a,b,c表示向量，設(shè) 可以看到與余弦定理有著很好的相似性，也可以繼續(xù)推下去。這里由于轉(zhuǎn)動(dòng)方向和角度的不確定性，采用向量的方法總是可求的，注意在空間中可能較為復(fù)雜，在三維空間中向量可能是空間的，這時(shí)夾角不能有已知角度來確定，后文中我們給出一個(gè)與角度無關(guān)的邊的等量關(guān)系。 勾股定理的幾何推廣勾股定理的發(fā)現(xiàn)源于土地丈量過程中產(chǎn)生的割補(bǔ)思想。在直角三角形ABC中，以每條邊為邊長(zhǎng)向外做一個(gè)正方形，兩直角邊產(chǎn)生的正方形的面積和等于斜邊產(chǎn)生的正方形面積。源于這種思想，我們?cè)噲D推廣到任意三角形。定義：在任意AB

4、C中如圖，分別以兩個(gè)較短邊為邊長(zhǎng)，向外部做一個(gè)正方形，把ADE稱為ABC的補(bǔ)三角形。直角三角形的補(bǔ)就是直角三角形。銳角三角形的補(bǔ)是鈍角三角形，鈍角三角形的補(bǔ)是銳角三角形。 定理2：分別以三角形兩條較短邊（交點(diǎn)為A）為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形面積的和與補(bǔ)三角形的外接圓過A點(diǎn)的直徑與最長(zhǎng)的邊組成平行四邊形的面積相等。 證明：如圖：ABC的補(bǔ)三角形為,設(shè) 的外接圓半徑為R。 延長(zhǎng)FA到G，使得FA=AG，連接GE,GD 易知： 且ACEG,ABDG均為平行四邊形。 不妨設(shè) 則： 故： 得證。實(shí)際上在這里平行四邊形ACEG,ABDG分別于兩個(gè)正方形同底等高，故面積相等。對(duì)勾股定理的幾何推廣有許多的方式，主要的

5、思想都是一樣的。勾股定理的代數(shù)推廣。一個(gè)自然的問題：在Rt ABC中，c為斜邊，有, 兩個(gè)式子能不能合成一個(gè)式子？定理3：在ABC中，a,b,c分別表示三邊，設(shè)a為最大邊，存在k1，使得成立。 證明：構(gòu)造函數(shù)，其中a,b,c是三角形的邊長(zhǎng)。顯然都是大于0小于1的。設(shè), 單調(diào)減小。注意到： 所以存在使得成立。. 定理4：在ABC中，設(shè)a為最大邊，存在k1，使得成立，（1）若為銳角三角形的充分必要條件是： k2（2）若為直角三角形的充分必要條件是：k=2（3）若為鈍角三角形的充分必要條件是：1k1使得成立。 證明:考察函數(shù) 易知，單調(diào)減小， 所以存在使得成立。 定理5在空間中同樣適用。同時(shí)我們也必

6、須指出，k 我們?cè)诶碚撋献C明了總是存在的，但實(shí)際中并不好求，著也是局限所在。5.若分別以1，1為直角三角形兩直角邊，可得斜邊為，再以1，為兩直角邊，得三邊為，這樣總是以較大兩個(gè)數(shù)為直角邊，迭代下去，可得一個(gè)數(shù)列。 若記，試求 記,為著名的斐波那契數(shù)列：則，所以=斐波那契數(shù)列在實(shí)際優(yōu)選問題有很大的用處，有許多性質(zhì)，借此我們也可以來研究以上數(shù)列的性質(zhì)。有趣的是黃金分割點(diǎn)！注意若取不同的初始值，由特征函數(shù)法，數(shù)列的通項(xiàng)總是可求的。若用直角三角形把上述數(shù)列的生成過程表示出來，那最后的圖形類似于分形幾何中的勾股樹，實(shí)際上勾股樹的生成方法也與此類似。在直角三角形中，如果三邊都是整數(shù)，則稱為一組勾股數(shù)，勾股數(shù)也有很多有趣的性質(zhì)，例：大于等于3的奇數(shù)總是能找到其他兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成勾股數(shù)；大于等于4的每一個(gè)偶數(shù)，也總能構(gòu)成勾股數(shù)；在勾股數(shù)中至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，至少有一個(gè)是4的倍數(shù)，至少有一個(gè)是5的倍數(shù)等，在這里就不證明了。