高考數(shù)學(xué)解題方法介紹(八)：配方法、待定系數(shù)法、換元法

1、第8講高考中常用數(shù)學(xué)的方法-配方法、待定系數(shù)法、換元法一、知識整合現(xiàn),是解決問題的手段,它不僅有明確的內(nèi)涵,而且具有可操作性,有實施的步驟和作法.配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問題的解決.待定系數(shù)法的實質(zhì)是方程的思想,這個方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中,從而通過解方程(或方程組)求得未知數(shù).換元法是一種變量代換,它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式,從而使問題得到簡化,換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化.二、例題解析例1已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一

2、條對角線長為().(A)2 3() 14()5(D)6分析及解：設(shè)長方體三條棱長分別為,y,z,則依條件得：2(xy+yz+zx)=11,4(+z)=24.而欲求的對角線長為 x y z ,因此需將對稱式222x y z 寫成基本對稱式+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.222故x y z (x y z) 2(xy yz xz)=6-11=2522222x y z 5,應(yīng)選.222x2例2設(shè)F 和F 為雙曲線 y 1的兩個焦點,點P 在雙曲線上且滿足F PF =90,則2124125()(D) 521分析及解：欲求S | PF | PF |(1),而由已知能得

3、到什么呢？PF F21212由F PF =90,得| PF | | PF | 20(2),(3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積221212又根據(jù)雙曲線的定義得|PF |-|PF |=41有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個式子之間的關(guān)系.即2| PF | PF | | PF | | PF | 2| PF | PF 16,222121212111故| PF | PF (| PF | | PF | 16) 4 2 S | PF | PF 1 ,2222PF F212121212選(A).注：配方法實現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化.5例3設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點,

4、準(zhǔn)線平行于x 軸,離心率為 ,已知點P(0,5)到該雙2曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程.分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為y 1,e x5,=2,因此所求雙曲線方222a b22程可寫成：y 4x a (1),故只需求出a可求解.222設(shè)雙曲線上點Q 的坐標(biāo)為(,y),則|PQ|= x (y2 (2),點Q(,y)在雙曲線上,22(,y)滿足(1)式,代入(2)得|PQ|= (3),此時|PQ|表示為變量y 的二(y 224 4次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解.5a2由(3)式有| | (y4) 5 (ya或y-).2244二次曲線的對稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域ya 或y-,因此

5、,需對a4與4分類討(1)當(dāng)4時,如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值,a2令5 4,得a=44y224(2)當(dāng)4時,如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值,5a22442所求雙曲線方程為 1.由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān),因此需對字母a的取值分類討論,從而得到兩個解,同學(xué)們在解答數(shù)習(xí)題時應(yīng)學(xué)會綜合運用數(shù)學(xué)思想方法解題.例f()是一次函數(shù),且其在定義域內(nèi)是增函數(shù),又f f (x) 4x12,試求f()的11表達式.分析及解：因為此函數(shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式.1設(shè)一次函數(shù)y=f()=+b (0),可知 f (x) (xb),1a1 111f f (x) (xb)b

6、x (abb) 4x12.11a aaa221 a 0) (b) (2)1a21a21解此方程組,得 a ,=2,所求f()= x2.22例 5如圖,已知在矩形ABCD 中,(4,4),點 A 在曲線x y 9(x0,y0)上移動,且22AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y 軸,求使矩形ABCD 的面積為最小時點A 的坐標(biāo).分析及解：設(shè)A(,y),如圖所示,則S (4-)(4-y) (1)此時S 表示為變量,y 的函數(shù),如何將S 表示為一個變量(或y)的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到由已知得x+y =9,如何利用此條件？是從等式中解出(或y),再代入(1)式,因為表達式有開方,22顯然此方法不好.如果我

7、們將(1)式繼續(xù)變形,會得到=16-4(+y)+xy(2)這時我們可聯(lián)想到x+y 與+y、xy 間的關(guān)系,即(+y)=9+2xy.222因此,只需設(shè)t=+y,則xy=t示為變量t 的二次函數(shù),29,代入(2)式得2=16-4t+t29 1 t (3)S 表72222703,0y3,3t3 2,當(dāng)t=4時,ABCD的最小值為 .2x y 2222此時得A(2,2 或(2,2 )xy7,22222注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯誤.xx例6設(shè)方程x+2+4=0的兩實根為x,x,若( ) ( ) 3,求k的取值范圍.1222212xx21xxx x(x x )2(

8、) ( ) ( ) 2 2 22222121212xxxxx x1 22121以x x 2k x x 4,k k 222121 2|k 2 52, 2 52 5 40k2x2例7點P(,y)在橢圓 y 1上移動時,求函數(shù)=x+2xy+4y +2y 的最大值.22242cosx x2 y 12, 4sinyu x2xy4y x2y224cos 4sincos 4sin 2cos 2sin=22 sin) cos sin 2令cossint,sin cos 2sin( )2 .t4132t t t ) t2=2222 sin( ) 1當(dāng)=即u.462 2.+ ,u4max(x2 y2例 8過坐標(biāo)原點的直線 l 與橢圓1相交于 A,B 兩點,若以 AB 為直徑的圓62恰好通過橢圓的左焦點 F,求直線 l 的傾斜角.1122l=3k )x 6x3 02263,x x x x 1 21k21k212yyk 1,即1,又且k12x 1 x 112將 y y ,(k x x x x 1,211221 21213.6 . k2l 或6注：本題設(shè)交點坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為 k的方程求解.例 9設(shè)集合 A=x|4 2 a xR xx1(1)若 A 中有且