平面曲線的切線和法線市公開課金獎市賽課一等獎課件

1、 在本節(jié)中所討論曲線和曲面, 因為它們 方程是以隱函數(shù)(組)形式出現(xiàn), 所以 在求它們切線或切平面時, 都要用到隱函 數(shù)(組)微分法. 3 幾 何 應 用一、平面曲線切線與法線 二、空間曲線切線與法平面 三、曲面切平面與法線 第1頁一、平面曲線切線與法線 曲線 L ： 條件： 上一點, 近旁, F 滿足 隱函數(shù)定理條件, 可確定可微隱函數(shù): 處切線： 第2頁總之, 當 例1 求笛卡兒葉形線 在點 處切線與法線. 解 設 由1 例 2 討 論 近旁滿足隱函數(shù)定理 第3頁條件. 輕易算出 于是所求切線與法線分別為 例2 用數(shù)學軟件畫出曲線 圖象；并求該曲線在點處 切線與法線. 第4頁解 在 MAT

2、LAB 指令窗內執(zhí)行以下繪圖指令: syms x,y; ezplot(x2+y-sin(x*y),-4,4,-8,1); 就馬上得到曲線 L 圖象 (見本例末頁). 令 輕易求出: 第5頁由此得到 L 在點 處切線與法線分別為： 若在上面 MATLAB 指令窗里繼續(xù)輸入以下指 令, 便可畫出上述切線與法線圖象 (如圖). hold on; a=(pi)(1/3); b=a2; ezplot(2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b); ezplot(1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b) 第6頁第7頁例3 設普通二次曲線為 試證 L 在點 處切線方程為 證 第8頁由此得到所求切

3、線為 利用 滿足曲線 L 方程, 即 整理后便得到 第9頁二、空間曲線切線與法平面 先從參數(shù)方程表示曲線開始討論. 在第五章3 已學過, 對于平面曲線若 是其上一點, 則曲線 在點 處切線為 下面討論空間曲線. 第10頁(A) 用參數(shù)方程表示空間曲線: 類似于平面曲線情形, 不難求得 處切線為 過點 且垂直于切線 平面 , 稱為曲線 L 在點 處法平面 . 第11頁因為切線 方向向量即為 法平面 法向量, 所以法 平面方程為 (B) 用直角坐標方程表示空間曲線： 設 近旁含有連續(xù) 一階偏導數(shù), 且 第12頁不妨設 于是存在隱函數(shù)組 這也就是曲線 L 以 z 作為參數(shù)一個參數(shù)方程. 依據(jù)公式 (

4、2), 所求切線方程為 第13頁應用隱函數(shù)組求導公式, 有 于是最終求得切線方程為 對應于 (3) 式法平面方程則為 第14頁例 4 求空間曲線 在點 處切線和法平面. 解 輕易求得 故切向向量為 由此得到切線方程和法平面方程分別為 第15頁 syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2); ezplot3(x,y,z,-2*pi,2*pi) 繪制上述空間曲線程序與所得圖形以下: 第16頁第17頁例5 求曲線 在點 處切線與法平面. 解 曲線 L 是一球面與一圓錐面交線. 令 依據(jù)公式 (5) 與 (6), 需先求出切向向量. 為此計算 F, G 在點

5、 處雅可比矩陣: 第18頁由此得到所需雅可比行列式: 第19頁故切向向量為 據(jù)此求得 第20頁 三、曲面切平面與法線 以前知道, 當 f 為可微函數(shù)時, 曲面 z = f ( x , y ) 在點 處切平面為 現(xiàn)在新問題是: 曲面 由方程 給出. 若點 近旁 含有連續(xù)一階偏導數(shù), 而且 第21頁不妨設 則由方程 (7) 在點 近旁惟一 地確定了連續(xù)可微隱函數(shù) 因為 所以 在 處切平面為 又因 (8) 式中非零元素不指定性, 故切平面方程 第22頁普通應寫成 隨之又得到所求法線方程為 回顧 1 現(xiàn)在知道, 函數(shù) 在點 P 梯度 其實就是等值面 在點 P 法向量: 第23頁回顧 2 若把用方程組

6、(4) 表示空間曲線 L 看作 曲面 交線, 則 L 在 點 切線與此二曲 面在 法線都相垂 直. 而這兩條法線 方向向量分別是 第24頁故曲線 (4) 切向向量可取 向量積: 這比前面導出 (5) , (6) 兩式過程更為直觀, 也容 易記得住. 第25頁例6 求旋轉拋物面 在點 解 令 則曲面法向量為 處切平面和法線. 從而由 (9), (10) 分別得到切平面為 法線為第26頁()例7 證實: 曲面 任一切平 面都過某個定點 ( 這里 f 是連續(xù)可微函數(shù) ) . ()證 令 則有 第27頁()于是曲面在其上任一點 處法向量 可取為 由此得到切平面方程: 將點 代入上式, 得一恒等式: 第

7、28頁這說明點 恒在任一切平面上. 第29頁四、用參數(shù)方程表示曲面 曲面也能夠用以下雙參數(shù)方程來表示: 這種曲面可看作由一族曲線所組成: 每給定 v 一 個值, (11) 就表示一條以 u 為參數(shù)曲線; 當 v 取 某個區(qū)間上一切值時, 這許多曲線集合組成了一個曲面. 現(xiàn)在要來求出這種曲面切平面和法線方程. 為此假設且 第30頁(11) 式中三個函數(shù)在 近旁都存在連續(xù)一階偏 導數(shù). 因為 在 處法線必垂直于 上過 任意兩條曲線在 切線, 所以只需在 上取兩條特 殊曲線 ( 見圖 ) : 它們切向量分別為 第31頁則所求法向量為 至此, 不難寫出切平面方程和法線方程分別為 第32頁解 先計算在點

8、 處法向 例8 設曲面參數(shù)方程為 試對此曲面切平面作出討論. 量: 第33頁由此看到, 當 時 說明在曲面 (12) 而當 時, 法向量可取 上存在著一條曲線, 其方程為 在此曲線上各點處, 曲面不存在切平面, 我們稱這 種曲線為該曲面上一條奇線. 與之對應切平面則為 第34頁法線則為當動點 趨于奇線 (13) 上點 時, 法向量 存在極限: 第35頁此點處 不存在法 此時切平面存在極限位置: 有時需要用此“極限切平面”來補充定義奇線上 切平面 . 注 曲面上孤立奇點往往是曲面尖點, 如圓錐 面頂點 在 線和切平面. 而曲面上奇線, 則往往是該曲面 “摺線” 、“邊界限” 或是曲面本身 “交叉線”. 第36頁曲面 (12) 及其奇線 (邊界限) 圖象以下:第37頁定義 若 存在連續(xù)一階偏導數(shù), 且滿足 則稱曲面 為 一光滑曲面. 對于用雙參數(shù)方程 (11) 表示曲面, 應怎樣定義 它為光滑曲面? 請讀者自行考慮. 第38頁復習思索題 1. 模仿例2、例4, 使用數(shù)學軟件(比如 MATLAB) 分別繪出例1 中曲線和例8 中曲面. 自幾何對象計算公式也不一