2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 19 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 頁2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的公差為（）A3BC5D【答案】D【分析】由求得公差.【詳解】依題意，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以公差為.故選：D2已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）AB1CD2【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】由于隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，而，所以，所以.故選：B3函數(shù)的圖象如圖所示，則 與的大小關(guān)系是（）A

2、BCD【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即函數(shù)在這一點(diǎn)的切線的斜率，結(jié)合圖象即可得解；【詳解】解：由圖可知，且；故選：A4某鐵球在0時(shí)，半徑為1dm當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為（）（參考公式：）A0BCD【答案】C【分析】先求得鐵球體積關(guān)于溫度t的表達(dá)式，再對其求導(dǎo)，進(jìn)而即可求得在時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率.【詳解】，則則，即在時(shí)，鐵球體積對溫度的瞬時(shí)變化率為故選：C5針對某種突發(fā)性的流感病毒，各國的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗已知甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)各自研制成功的概

3、率分別為和，而且兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，則恰有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制成功的概率為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算方法，計(jì)算出正確答案.【詳解】依題意，有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制成功的概率為.故選：B6隨機(jī)變量的分布列是12若，則（）A1B4CD【答案】D【分析】根據(jù)以及求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，整理得，由解得，且.所以.故選：D7英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）ABCD【答案】A【分析】先求得，然后等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】依題意

4、，依題意，即，則，（由于，所以），則，兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以，所以.故選：A8已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A，B，C，D，【答案】D【分析】根據(jù)已知不等式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，因此函?shù)是增函數(shù)，于是有，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，因此是單調(diào)遞減函數(shù)，于是有，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、多選題9函數(shù)的定義域?yàn)?，它的?dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）AB是的極小值點(diǎn)C函數(shù)在上有極大值D是的極大值點(diǎn)【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義

5、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的圖象逐一判斷即可.【詳解】由的圖象可知：當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此有，是的極大值點(diǎn)，所以選項(xiàng)A、D正確；當(dāng)，或時(shí)，所以函數(shù)單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上沒有極大值，且不是的極小值點(diǎn)，所以選項(xiàng)B、C不正確，故選：AD10有3臺車床加工同一型號零件，第1臺次品率為6%，第2，3臺次品率為5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件分別占總數(shù)的25%，30%，45%，記事件“任取一個(gè)零件為次品”，事件“零件為第臺車床加工”（，2，3），則（）ABCD【答案】ABC【分析】利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式及條件概率公式分別求出各個(gè)選項(xiàng)的值即可判斷

6、各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：根據(jù)題意，故C正確；， 則，故A正確；，故B正確；，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11已知在數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，則（）A當(dāng)時(shí)，B當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列CD對任意，存在，使得數(shù)列成等比數(shù)列【答案】CD【分析】通過計(jì)算判斷AC選項(xiàng)的正確性，利用特殊值判斷B選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)等比數(shù)列的知識判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由于，所以，以此類推，可知此時(shí)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，所以C選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，不妨設(shè)，根據(jù)C選項(xiàng)的分析可知，此時(shí)數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由得，要使數(shù)列成等比數(shù)列，則，即任意，存在，使數(shù)列成首項(xiàng)為，公比為的等比

7、數(shù)列，所以D選項(xiàng)正確.故選：CD12對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增B當(dāng)時(shí)，C若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則D設(shè)，若對，使得成立，則【答案】BD【分析】利用函數(shù)的定義域判斷A選項(xiàng)的正確性；利用的單調(diào)性來判斷B選項(xiàng)的正確性；結(jié)合的圖象來判斷C選項(xiàng)的正確性；通過求和在給定區(qū)間上的取值范圍來判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對于A選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋訟選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，遞減.由于，所以，由于，所以由兩邊乘以得 ，所以B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，令，由于，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；.函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù).由此畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

8、即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，由上述分析可知，則，要使“對，使得成立”，則需，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，首先要求函數(shù)的定義域，單調(diào)性必須在定義域這個(gè)大前提下進(jìn)行求解.求解恒成立、存在性問題，可轉(zhuǎn)化為求最值或取值范圍來進(jìn)行求解.三、填空題13已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則_【答案】【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，解得，故答案為：14如圖，拋物線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式為_【答案】【分析】求出， ，可猜測，利用累加法，即可求解【詳解】的方程為，代入拋物線可

9、得，同理可得，可猜測，證明：記三角形的邊長為，由題意可知，當(dāng)時(shí)，在拋物線上，可得，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：化簡得：，則數(shù)列是等差數(shù)列，故答案為：15若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是_【答案】2【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式，將轉(zhuǎn)化為函數(shù)上任意一點(diǎn)P與函數(shù)上任意一點(diǎn)Q間距離的最小值的平方，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去求解最小值即可解決.【詳解】設(shè)點(diǎn)為函數(shù)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為函數(shù)上任意一點(diǎn)，則由，可得設(shè)與直線平行的直線與函數(shù)相切于，則，解之得或（舍）則切點(diǎn)又切點(diǎn)到直線的距離則最小值為，的最小值為2故答案為：2四、雙空題16某產(chǎn)品的研發(fā)投入費(fèi)用（單位：萬元）與銷售量（單位：萬件）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：研發(fā)投入費(fèi)用2.22.

10、64.35.05.9銷售量3.85.47.010.3512.2根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，則_；該產(chǎn)品的研發(fā)投入費(fèi)用每提高3萬元，銷售量估計(jì)能提高_(dá)萬件【答案】 【分析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)求得，利用回歸直線方程進(jìn)行估計(jì).【詳解】，所以，解得.所以為回歸直線方程.所以該產(chǎn)品的研發(fā)投入費(fèi)用每提高3萬元，銷售量估計(jì)能提高萬件.故答案為：；五、解答題17等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，由此化簡不等式并求得的最小值.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的

11、公差為，依題意，則，解得，所以.(2)，所以，由，得，由于，所以的最小值為.18某水果經(jīng)營戶對出售的蘋果按大小和色澤兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行分類，最大橫切面直徑不小于70毫米則大小達(dá)標(biāo)，著色度不低于90%則色澤達(dá)標(biāo)，大小和色澤均達(dá)標(biāo)的蘋果為一級果；大小和色澤有一項(xiàng)達(dá)標(biāo)另一項(xiàng)不達(dá)標(biāo)的蘋果為二級果；兩項(xiàng)均不達(dá)標(biāo)的蘋果為三級果已知該經(jīng)營戶購進(jìn)一批蘋果，從中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到如下統(tǒng)計(jì)表格：直徑小于70毫米直徑不小于70毫米合計(jì)著色度低于90%101525著色度不低于90%156075合計(jì)2575100(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為該經(jīng)營戶購進(jìn)的這批蘋果的大小達(dá)標(biāo)和色澤達(dá)標(biāo)有關(guān)；(2)該

12、經(jīng)營戶對三個(gè)等級的蘋果按照分層抽樣從樣本中抽取10個(gè)蘋果，再從中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽到二級果個(gè)數(shù)X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望附：0.0500.0250.0103.8415.0246.635，其中【答案】(1)有95%的把握認(rèn)為該經(jīng)營戶購進(jìn)的這批蘋果的大小達(dá)標(biāo)和色澤達(dá)標(biāo)有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)已知表格中的數(shù)據(jù)，由的計(jì)算公式求出，再結(jié)合臨界值表即可求解；（2）由分層抽樣可得一級果6個(gè)，二級果3個(gè)，三級果1個(gè)，從而根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟及期望公式即可求解.【詳解】(1)解：由于，所以有95%的把握認(rèn)為該經(jīng)營戶購進(jìn)的這批蘋果的大小達(dá)標(biāo)和色澤達(dá)標(biāo)有關(guān)；(2)解：對三個(gè)等級的蘋果按

13、照分層抽樣從樣本中抽取10個(gè)，則一級果6個(gè)，二級果3個(gè)，三級果1個(gè).由題意，二級果的個(gè)數(shù)X的可能值為0，1，2，3，則，所以X的分布列為：X0123P所以X的數(shù)學(xué)期望19已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)答案詳見解析(3)【分析】（1）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.（2）求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（3）結(jié)合（2），對進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)區(qū)間、最值，求得的取值范圍.【詳解】(1)，所以，所以切線方程為.(2)的定義域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.當(dāng)時(shí)，在上遞減.當(dāng)

14、時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.(3)由（2）知：當(dāng)時(shí)，在上遞減，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，依題意可知，解得.綜上所述，的取值范圍是.20已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列求得，可得.利用 求得；（2）利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列有：，解得：，所以，數(shù)列，當(dāng)即，解得：，當(dāng)時(shí)，有，所以，得：.又，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)，得，化簡得：.212022年2月6日，中國女足

15、在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可

16、能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知試證明為等比數(shù)列；設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小【答案】(1)分布列見解析，(2)證明見解析；【分析】（1）先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.【詳解】(1)解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，X的分布列為：X0123P期望（1）解析2：二項(xiàng)分布依題意可得，門將

17、每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，X的分布列為：X0123P期望(2)解析：遞推求解第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，是以為首項(xiàng)公比為的等比數(shù)列由可知，故22已知函數(shù)，(1)若，證明：；(2)若不等式恒成立，求正實(shí)數(shù)的值；(3)證明：【答案】(1)證明詳見解析(2)(3)證明詳見解析【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.（2）利用換元法，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得正實(shí)數(shù)的值.（3）結(jié)合（1）（2），將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)證得不等式成立.