不同余項型泰勒公式的證明與應(yīng)用

1、PAGE The proofs and applicationsof Taylor formulawith differenttypes ofremainders專 業(yè): 作 者:指導(dǎo)老師: 湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院二一四年五月 岳陽湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文PAGE III摘 要 本文介紹了不同型余項的泰勒公式，并給出了各種余項泰型勒公式的證明，重點探討了不同余項型泰勒公式的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：AbstractIn this paper, we research different types of Taylor formulas，and give the proof of various Taylo

2、r remainder formula, focus on the applications of the different types of Taylor remainder formula . Keywords: Remainder term；Taylor formula；Proof；Application目 錄 TOC o 1-3 u 摘要I關(guān)鍵詞ABSTRACII0 引言11泰勒公式簡介12 帶四種余項泰勒公式的證明22.1帶佩亞諾型余項泰勒公式的證明22.2帶拉格朗日型余項泰勒公式的證明.32.3帶積分型余項泰勒公式的證明42.4帶柯西型余項泰勒公式的證明53 泰勒公式的應(yīng)用53.

3、1帶佩亞諾型余項泰勒公式的應(yīng)用.53.2帶拉格朗日型余項泰勒公式的應(yīng)用. 93.3帶積分型余項泰勒公式的應(yīng)用123.4帶柯西型余項泰勒公式的應(yīng)用.13參考文獻15PAGE 第15頁 共 15頁0 引言泰勒公式在數(shù)學(xué)運算中起著非常重要的作用利用帶有余項的泰勒公式可以簡單的解決一些復(fù)雜問題，所以對泰勒公式的綜合性研究對數(shù)學(xué)分析有重要意義泰勒展開有多種類型余項型，而根據(jù)處理不同問題的需要可以選擇不同的余項的類型.我們所學(xué)過的主要有：帶佩亞諾型余項、帶拉格朗日型余項、帶積分型余項，帶柯西型余項的泰勒公式1泰勒公式簡介泰勒公式可以用若干個連加式來表示一個函數(shù)，這些相加項可以由函數(shù)在某一點(或者加上在臨近

4、的一個點的次導(dǎo)數(shù))的導(dǎo)數(shù)求得但對于正整數(shù)，如果函數(shù)在閉區(qū)間上有連續(xù)階可導(dǎo)，還滿足階可導(dǎo)則可任取是一定點，則對任意下式成立.表示余項，下面舉出幾個我們常用的帶余項的泰勒公式展開：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.2 帶四種余項泰勒公式的證明下面我們給出幾種大家常見的帶余項泰勒公式的證明.2.1 帶佩亞諾型余項泰勒公式的證明定理1 若函數(shù)在點存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，即. (1)證明 設(shè)現(xiàn)在只需證.由關(guān)系式,可知.并容易知.因為存在，所以在點的某領(lǐng)域內(nèi)存在n-1階導(dǎo)函數(shù)于是，當(dāng)且，允許連續(xù)使用洛必達法則次，得到定理所證的（1）式稱為函數(shù)在點處的泰勒公式，則稱為泰勒公式的余項，形如的余項稱為佩亞諾

5、型余項即（1）又稱帶有佩亞諾型余項的泰勒公式2.2 帶拉格朗日型余項泰勒公式的證明定理2 如果一個函數(shù)在上有直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在之間有階的導(dǎo)數(shù)，則任意給出的，至少有一點，使得： 證明 設(shè)輔助函數(shù).即證明的（2）式為或者.設(shè)，則在，在內(nèi)可導(dǎo),.因為，所以由柯西中值定理證明得.，（2）式則稱為泰勒公式，該泰勒公式的余項為,.則稱為拉格朗日型余項，所以該泰勒公式稱為拉格朗日型泰勒公式2.3 帶積分型余項泰勒公式的證明定理3 若函數(shù)在點的領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，則，有.其中為積分型余項，且 （3）證明 使用Newton - Leibniz公式和使用分部積分法，得然后做變量代換則得到 式（3） 2.4 帶

6、柯西型余項泰勒公式的證明定理4 若函數(shù)在點的領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)階導(dǎo)數(shù)，則，有.其中，特別當(dāng)，則又有簡單形式 . （4）此處統(tǒng)稱為柯西余項證明 取定，不防設(shè)，設(shè)輔助函數(shù),此時令 ,對與應(yīng)用柯西中值公式，知存在使得 ,此時，令 .即得到式（4）.3 泰勒公式的應(yīng)用3.1 帶佩亞諾型余項泰勒公式的應(yīng)用3.1.1 應(yīng)用帶有皮亞諾型余項的泰勒公式，將函數(shù)的極值的第二充分條件進行推廣，借助高階導(dǎo)數(shù)，可得到極值的另一種判別法 若在點及鄰域內(nèi)具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若為奇數(shù)，則不是極值點;若為偶數(shù)，則當(dāng)，為極大值；當(dāng)，為極小值證明 由已知條件及泰勒公式有則 . 由于,則存在點的某一鄰域，使得時式（1）等號右端由第一項符

7、號決定(1)若為奇數(shù)，在點的某一鄰域內(nèi)，當(dāng)時，；(2)若為偶數(shù)且時，有即對一切故為極大值，同理可證當(dāng)，為極小值(3)當(dāng)，即的左右側(cè)，式（1）的右端異號，所以是非極值點例1 求函數(shù)的極值解 由于，所以是函數(shù)的駐點，求的二階導(dǎo)數(shù)得，所以在時取得極大值3.1.2未定極限與無窮小在利用泰勒公式求極限時，首先看清楚所求極限的形式，然后根據(jù)所學(xué)的再來對極限進行泰勒展開例2求極限解 極限中分母的次數(shù)是4，現(xiàn)在把，展開到的4次冪，,故 .例3 求極限分析 因為分子中有根號項，可以運用洛必達法則來解決問題，但是步驟繁瑣，只要我們使用泰勒公式來求解，問題就簡單了.解 將和在處點的麥克勞林公式展開項得和.則 .例4

8、 確定的值，使得函數(shù)與為同階無窮小解 因為例5 已知極限，其中，為常數(shù)，且，求，.解 因為c為常數(shù)，所以，即，因此.3.1.3要用泰勒公式余項來計算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特點，構(gòu)造與該行列式相對應(yīng)的行列式函數(shù)，然后再把這個行列式函數(shù)在某點按泰勒公式展開，最后求出行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)值即可.例 66 求階行列式D= （5）解 記，按泰勒公式在處展開： . （6）易知 , （7）由（7）得，.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有于是處的各階導(dǎo)數(shù)為把以上各導(dǎo)數(shù)代入（6）式中,有 3.2 帶拉格朗日型余項泰勒公式的應(yīng)用3.2.1 例7 設(shè)在區(qū)間上三階可導(dǎo)，試證使得 （8）證明 設(shè)下式成立的實

9、數(shù)， （9）現(xiàn)在就要證明，使得（10），令， （11）則由羅爾定理，使得由（11）式得， （12）上式是關(guān)于的方程，則在點處的泰勒公式. （13），比較（12）（13）式有，則，從而得到（8）.322證明不等式和等式在證明不等式的問題中，我們經(jīng)常遇到題中的有高階導(dǎo)數(shù)，我們就可以選擇合適的泰勒展開點，而且展開的最高階導(dǎo)數(shù)不得超過題中給出的最高階導(dǎo)數(shù)，最后用高階導(dǎo)數(shù)的放大有界性進行放縮，得到要證明的不等式. 對泰勒公式的展開點和被展開點的的選擇是有講究的，因為展開的階數(shù)和項數(shù)都可能根據(jù)需要而改變.例 8 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上二階可導(dǎo)，在開區(qū)間內(nèi)取到最大值，且二階導(dǎo)數(shù)滿足，證明證明 設(shè)為函數(shù)最大值點，則

10、且把函數(shù)處的值用處的帶拉格朗日余項的泰勒公式表示，且最高導(dǎo)數(shù)為2 ，則,.于是不等式得證例 9 證明.證明 由泰勒公式，可知將上述兩式兩邊相減，得,或.由 ,故 ， ,則.于是 3.2.3 一些數(shù)值的近似計算和函數(shù)的近似計算式可以利用泰勒公式得到, 函數(shù)的近似計算式利用麥克勞林展開得到，誤差是余項例10 計算的值,準確到.解 ,因為 ，要使,取,故 .3.3 帶積分型余項泰勒公式的應(yīng)用3.3.1定積分計算當(dāng)題目或者問題條件出現(xiàn)具有二階導(dǎo)二階以上的連續(xù)導(dǎo)，可以考慮泰勒公式.例 11 計算 .解 設(shè) 則 由公式有 .例 12 計算.解 .3.4 帶柯西型余項型泰勒公式的應(yīng)用3.4.1初等函數(shù)的冪級

11、數(shù)的展開式中的應(yīng)用例 13 證明若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則證明 令 ，顯然，.已知 ，即，,有，根據(jù)柯西中值定理，有，.或 ,或 . 已知，即，有與,于是，有,即 .例 14 設(shè)函數(shù)在上可微，且與同號，證明：，使得（1）.（2）.證明 （1）將原不等式變形為知，只要引入輔助函數(shù)由于，在上滿足柯西中值定理條件，所以.即 .（2）將原不等式變形為知，只要引入輔助函數(shù)=，由于，在上滿足柯西中值定理條件，所以，使，即 =總結(jié) 從大量的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)很多問題用泰勒公式去解決很容易，也很簡單，同時靈活巧妙的應(yīng)用泰勒公式卻不容易.當(dāng)然，不同余項的泰勒公式之間是可以轉(zhuǎn)換的，但是，不同的余項型在解決不同的類型的問

12、題時有各自的優(yōu)點.我們知道泰勒公式經(jīng)常用到的是在計算求極值、無窮小問題、近似值、行列式、定積分等一類問題中.比如例4，例5中就很好地運用了泰勒展開公式求無窮小的問題中，其中例5是2013年考研數(shù)學(xué)（一）中的一道題，行列式的運算例6.因此熟練地掌握一些常用泰勒公式展開點就顯得非常重要，運用時才能舉一反三，靈活應(yīng)用.致謝 本文是在方春華老師的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對方老師表示衷心的感謝！參考文獻1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊、第三版）北，高等教育出版社2001（2008重?。?34-1392 曹愛民高等數(shù)學(xué)中秋極限的幾種常用方法J.濟南教育學(xué)院報，2001，（6）：57-593 陳麗，

13、王海霞泰勒公式的應(yīng)用廊坊師范學(xué)院（自然科學(xué)版）J20094第九卷第2期：224 譚榮，泰勒公式的應(yīng)用和田師范?？茖W(xué)校學(xué)報（漢文綜合版）J20087第28卷第一期 總第51期：1915 齊成輝泰勒公式的應(yīng)用J陜西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2003S1，23256 歐伯群.泰勒公式巧解行列式，廣西梧州師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報 J欽州師專數(shù)學(xué)系，2000,16（2）：67-687 王書華淺談泰勒公式的應(yīng)用J.科技風(fēng)，201005期，10-118 裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M .北京：高等教育出版社，2005:1731799 劉玉蓮，楊奎元，劉偉，呂鳳數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書（第二版）M.北京：高等教育出版社，200312（2005重?。?99202,22823110 黃軍華帶積分型余項的泰勒公式在定積分計算中的應(yīng)用J.玉林師范學(xué)院報（自然科學(xué)，2006,第27卷第3期.11 DaleVarbe