概率論基礎(chǔ)知識(shí)

1、概率論基礎(chǔ)知識(shí)第1頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四主要內(nèi)容第一章：隨機(jī)事件與概率第二章:隨機(jī)變量及其概率分布第三章:多維隨機(jī)變量及其概率分布第四章:隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第五章:大數(shù)定律及中心極限定理第六章：統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布第七章：參數(shù)估計(jì)第八章：假設(shè)檢驗(yàn)第九章：回歸分析第2頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四第一章 隨機(jī)事件與概率1.1 隨機(jī)事件1.2概率1.3條件概率1.4事件的獨(dú)立性自測題一返回第3頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.1 隨機(jī)事件一、隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件三、樣本空間四、事件的關(guān)系與運(yùn)

2、算例子（事件的關(guān)系和運(yùn)算）練習(xí)題第4頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四一、隨機(jī)現(xiàn)象1. 確定性現(xiàn)象: 例如，向上拋一顆石子必然下落；同性電荷必定相互排斥；在一個(gè)大氣壓下60度的水必定不會(huì)沸騰，等 等。2. 隨機(jī)現(xiàn)象: 例如，拋一枚硬幣結(jié)果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一門炮向同一目標(biāo)射擊的彈著點(diǎn)不盡相同，等等。這類現(xiàn)象有一個(gè)共同特點(diǎn)：即在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性,而在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有某種規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.3. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有廣泛的應(yīng)用。 返回第5頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四二、隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)(

3、三個(gè)特征):(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; (2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確所有可能的結(jié)果; (3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果稱為隨機(jī)事件.簡稱為事件.事件通常用英文字母A，B，C或A1,A2表示，記成如下形式：A=可能發(fā)生的結(jié)果.例子第6頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四隨機(jī)事件例子例1：已知一批產(chǎn)品共30件，內(nèi)含正品26件，次品4件，從中一次取出5件的試驗(yàn).則Ai=恰有i件次品, (i =0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品；C=正品不超過2件等都是隨機(jī)事件，他們?cè)谝淮卧囼?yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.

4、例2：擲一粒骰子，觀察它出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)?？赡艿慕Y(jié)果為： A= 1, 2, 3, 4, 5, 6。 返回第7頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四三、樣本空間 一般地，在隨機(jī)試驗(yàn)中，把不可分割的事件稱為基本事件；由兩個(gè)及兩個(gè)以上基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件. 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本事件，我們可以用只含一個(gè)元素的單元素 表示，其中 與 表示的基本事件一一對(duì)應(yīng).和所有基本事件相對(duì)應(yīng)的元素的全體組成的集合稱為該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，通常記作 ，樣本空間中的元素稱為樣本點(diǎn).返回第8頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四四、 事件的關(guān)系與運(yùn)算1.包含關(guān)系和相等

5、關(guān)系: 若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生, 則稱事件B包含事件A,記作AB。 若A B且A B, 即A=B, 則稱A與B相等BA第9頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2事件的并由屬于A或者屬于B的所有樣本點(diǎn)組成的集合，稱為A與B的并（或者和），記作 或者A+B.顯然事件表示“事件A與B事件至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件.AB第10頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3事件的交由屬于同時(shí)A又屬于B的所有樣本點(diǎn)組成的集合，稱為A與B的交（或者積），記作 或者 .顯然事件 表示“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件.AB第11頁，共189頁，2022年，5月20

6、日，23點(diǎn)28分，星期四4事件的差由屬于A但不屬于B的所有樣本點(diǎn)組成的集合，稱為A與B的差，記作 .事件 表示“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”這一事件. AB第12頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四5對(duì)立事件樣本空間 與A的差 稱為事件A的對(duì)立事件（或者逆事件），記作 ，事件 表示“事件A不發(fā)生”. 對(duì)立事件A和 間的關(guān)系可以表示為：.A第13頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四6互不相容事件如果在同一試驗(yàn)中，事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與事件B互不相容.記作 .基本事件是互不相容的.AB補(bǔ)充點(diǎn)第14頁，共189頁，2022年，5月20

7、日，23點(diǎn)28分，星期四補(bǔ)充點(diǎn)事件的并、交和互不相容事件可推廣到n個(gè)事件間的關(guān)系.現(xiàn)就互不相容事件敘述如下：在一次事件中，如果n個(gè)事件 兩兩互不相容，則稱 是互不相容的事件組.如果互不相容的事件組 滿足 ，則稱事件組 為一個(gè)劃分.第15頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四可以驗(yàn)證集合的運(yùn)算率均適用于事件的運(yùn)算，即事件的運(yùn)算滿足下列關(guān)系式：（1）交換律： （2）結(jié)合律： （3）分配律： （4）德莫根(Demorgan)公式： 其中分配律和德莫根公式可以推廣到有限多個(gè) 事件的情形.返回第16頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四例子1例 一個(gè)貨箱中裝有

8、12只同類型的產(chǎn)品，其中3只是一等品，9只是二等品，從其中隨機(jī)地抽取兩次，每次任取一只， 表示第i次抽取的是一等品，試用 表示下列事件：B=兩只都是一等品C=兩只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取的是一等品解題過程第17頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四解題過程解 ：由題意， 第i次抽取的是一等品，故 第i次抽取的是二等品例子2第18頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四例 從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)，A=取得的數(shù)為4的約數(shù)，B=取得的數(shù)為偶數(shù)，C=取得的數(shù)不小于5.試用集合表示下列事件：(1)(2)事件“A

9、發(fā)生，C不發(fā)生”；事件“B,C至少有一個(gè)發(fā)生”的逆事件 解題過程例子2第19頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四解題過程解 設(shè)i表示基本事件取得的數(shù)為i所對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)，則樣本空間 (1)(2)返回第20頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四練習(xí)題1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？（1）某商店有男店員2人，女店員8人，任意抽調(diào)3人去做其他的工作，那么A=3個(gè)都是女店員,B=3個(gè)都是男店員，C=至少有1個(gè)男店員，D=至少有1個(gè)女店員(2) 一批產(chǎn)品中只有2件次品，現(xiàn)從中任取3件，則A=三件都是次品，B=至少1件正品，C=至多1件正品，

10、D=恰有2件次品和1件正品練習(xí)題2第21頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四練習(xí)題22。一個(gè)工人加工了4個(gè)零件，設(shè) 表示第 i個(gè)零件是合格品，試用 表示下列事件：（1）沒有一個(gè)零件是不合格品；（2）至少有一個(gè)零件是不合格品；（3）只有一個(gè)零件是不合格品.3。A,B,C為一次試驗(yàn)中的三個(gè)事件，試用A,B,C表示下列事件：（1）A發(fā)生，B,C不發(fā)生； (2)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生； (3)A,B,C至少有一個(gè)不發(fā)生；(4)A,B,C至多有一個(gè)發(fā)生.返回第22頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.2 概 率一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計(jì)定義2.概率的古

11、典定義3.概率的定義與簡單計(jì)算二、概率的運(yùn)算公式 加法公式第23頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四一、概率的定義1.概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同的條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)；m與n的比值稱為事件A發(fā)生的頻率，記作 引例一第24頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四一般地，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率 總是穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，這時(shí)就把p稱為事件A發(fā)生的概率，簡稱事件A的概率，記作 上述事件的概率是用統(tǒng)計(jì)事件發(fā)生的頻率來確定的，故這個(gè)定義稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義.根據(jù)這個(gè)定義，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率近似地

12、作為它的概率，這是求一個(gè)事件的概率的常用基本方法. 引例二返回第25頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.概率的古典定義考慮下面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)：E1：投擲一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，基本事件有6個(gè)，由骰子的“均勻性”可知，每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.E2：一批產(chǎn)品有N個(gè)，要隨機(jī)抽取一個(gè)，檢測其等級(jí)，則N個(gè)產(chǎn)品被抽取的機(jī)會(huì)是相同的，每一次檢測的結(jié)果就是一個(gè)基本事件，故N個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.第26頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四這兩個(gè)試驗(yàn)都具有以下特點(diǎn)：(1)只有有限個(gè)基本事件(2)每個(gè)基本事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性相同.這類

13、隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型，由于這種概型在概率論發(fā)展初期是主要研究對(duì)象，所以也稱為古典概型.在古典概型中，若基本事件的總數(shù)為n，事件包含的基本事件數(shù)為m，則事件的概率定義為 ，這個(gè)定義稱為概率的古典定義.返回第27頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3概率的定義與簡單計(jì)算與隨機(jī)試驗(yàn)相聯(lián)系的數(shù)量指標(biāo) ，都具有下列共同的屬性：(1)(2)(3) 為互不相容事件，則 在數(shù)學(xué)上，刻劃隨機(jī)試驗(yàn)中事件A的 發(fā)生 的可能性大小的數(shù)值，如果滿足上述三條性質(zhì)，就稱為事件的概率.第28頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四由上述三條基本性質(zhì)還可以推出： 引例三返回第29頁

14、，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四二、概率的運(yùn)算公式加法公式由概率的性質(zhì)知道，若事件A和B互不相容，即 則 AB第30頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四事件 時(shí)，上式就不成立了. AB而有該公式稱為概率的加法公式第31頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四加法公式可推廣到有限個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生的情形，如三個(gè)事件 的并的加法公式為：引例四返回第32頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.3條件概率一、條件概率與乘法公式1.條件概率2.乘法公式二、全概率公式與貝葉斯(Bayes )公式1.全概率公式2

15、.貝葉斯公式 補(bǔ)充點(diǎn)練習(xí)題返回第33頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四一、條件概率與乘法公式一般地，把“在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率”稱為條件概率，記作，讀作“在條件B下，事件A的概率”.同理AB1.條件概率引例五返回第34頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.乘法公式由條件概率的一般公式,得 上述公式稱為概率的乘法公式.第35頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四概率的乘法公式可推廣到有限個(gè)事件交的情形.設(shè)有n個(gè)事件 滿足 則 當(dāng)n=3時(shí)引例七返回第36頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，

16、星期四二、全概率公式與貝葉斯(Bayes )公式1.全概率公式設(shè) 是聯(lián)系于一隨機(jī)試驗(yàn)的完備事件組.任一事件 可表示成 第37頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四由前面已學(xué)公式得該公式稱為全概率公式引例八返回第38頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.貝葉斯(Bayes)公式設(shè) 是樣本空間的一個(gè)完備事件組,A是任一事件,且 ,則該公式稱為貝葉斯公式.在使用該公式時(shí)往往先利用全概率公式求出引例九返回第39頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四補(bǔ)充點(diǎn)對(duì)于全概率公式和貝葉斯公式.可以直觀地進(jìn)行如下理解:把事件A看成“結(jié)果”,把 看

17、成導(dǎo)致這一結(jié)果的“原因”,把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”,把貝葉斯公式看成“由結(jié)果找原因”。兩者正好相反.返回第40頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.4事件的獨(dú)立性1.事件的獨(dú)立性 引例十 練習(xí)題2.N重貝努利試驗(yàn) 引例十一 練習(xí)題返回第41頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.事件的獨(dú)立性一般地，設(shè)事件A,B是一隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件,且 ，若 ，則稱事件B對(duì)事件A是獨(dú)立的，否則稱為不獨(dú)立的.結(jié)論第42頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四結(jié)論由定義可推出下列結(jié)論：(1)若事件A獨(dú)立于事件B，則事件B也獨(dú)立于事件A

18、,即兩事件的獨(dú)立性是相互的.(2)若事件A與事件B相互獨(dú)立，則三對(duì)事件 與 ，A 與 ， 與 B也都是相互獨(dú)立的.(3)事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是，兩事件相互獨(dú)立的直觀意義是一事件發(fā)生的概率與另一事件是否發(fā)生互不影響.推廣第43頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四推廣事件的獨(dú)立性可推廣到有限個(gè)事件的情形:若事件組 中的任意k 個(gè)事件交的概率等于它們的概率積，則稱事件組 是相互獨(dú)立的，也就是說任一事件的概率不受其他事件發(fā)生與否的影響.例如:三個(gè)事件A,B,C若滿足等式 則稱事件A,B,C是相互獨(dú)立的 注意點(diǎn)第44頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星

19、期四注意點(diǎn)事件組相互獨(dú)立，其中任意兩事件相互獨(dú)立；反之卻不一定正確.在實(shí)際問題中，兩事件是否獨(dú)立，并不總是用定義或充要條件來檢驗(yàn)的，而可以根據(jù)具體情況來分析、判斷.只要事件之間沒有明顯的聯(lián)系，我們就可以認(rèn)為它們是相互獨(dú)立的.返回第45頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.N重貝努利試驗(yàn)如果隨機(jī)試驗(yàn)只出現(xiàn)兩種結(jié)果 ,則稱其為伯努里試驗(yàn) .在相同的條件下,對(duì)同一試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次,如果每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為n次獨(dú)立試驗(yàn).n次獨(dú)立的伯努里試驗(yàn)稱為n重伯努里試驗(yàn).對(duì)于n重貝努利試驗(yàn),我們最關(guān)心的是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率定理第46頁，

20、共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定理在n重貝努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p( ) ,則事件A恰好發(fā)生k次的概率若記則 ,由于 恰好是展開式的k+1項(xiàng),所以稱此公式為二項(xiàng)概率公式返回第47頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四第二章:隨機(jī)變量及其概率分布2.1離散型隨機(jī)變量2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布自測題二 返回 第48頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.1離散型隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量的概念2.離散型分布變量及其分布律3.0-1分布與二項(xiàng)分布 0-1分布

21、 二項(xiàng)分布 泊松分布 練習(xí)題2.1 返回第49頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.隨機(jī)變量的概念為便于用數(shù)學(xué)的形式來描述、解釋和論證隨機(jī)試驗(yàn)的某種規(guī)律性，我們需要按照研究的目的將試驗(yàn)中的基本事件與實(shí)數(shù)集建立某種聯(lián)系.例如:某人向一飛機(jī)射擊，觀察其是否擊中飛機(jī)， 則基本事件A=擊中,B=未擊中構(gòu)成一個(gè)完備事件組.為了便于研究,我們引進(jìn)變量X,規(guī)定X取1,0分別對(duì)應(yīng)“擊中”,“未擊中”事件.從而對(duì)事件A,B的研究就轉(zhuǎn)化為對(duì)實(shí)數(shù)X的研究.定義第50頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定義一般地，按研究隨機(jī)試驗(yàn)的某種規(guī)律性要求，建立樣本空間與實(shí)數(shù)集的

22、某個(gè)子集的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，使每個(gè)基本事件都有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).與全體基本事件相對(duì)應(yīng)的數(shù)組成的集合記為M，用一個(gè)變量在M中（或在M的某個(gè)范圍內(nèi)）的取值來表示和變量的取值所對(duì)應(yīng)的基本事件組成的事件，我們把這樣的變量稱為隨機(jī)變量，M稱為隨機(jī)變量的取值范圍. 隨機(jī)變量通常用X,Y,Z等表示. 引例2.1返回第51頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.離散型分布變量及其分布律若隨機(jī)變量的取值可以一一列舉（有限個(gè)或無窮可列個(gè)）出來，則稱這類隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.對(duì)于離散型隨機(jī)變量,我們需要知道它的所有可能值及取每一個(gè)可能值的概率. 分布律第52頁，共189頁，2022年，

23、5月20日，23點(diǎn)28分，星期四分布律設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,可能取值為且 則稱 為X的分布律(或分布列)分布律常用表格表示,這樣更為直觀.X P性質(zhì)第53頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四分布律性質(zhì)隨機(jī)變量的分布律具有下列性質(zhì)：(1)(2)引例2.2和練習(xí)題返回反之，若一數(shù)列具有以上性質(zhì)，就可以看作為某一隨機(jī)變量的分布律第54頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四0-1分布若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0,1,且則稱X服從0-1分布.X的分布律為:其中010-1分布常用于隨機(jī)試驗(yàn)只考慮兩種結(jié)果,比如拋硬幣,正面與反面;投籃,中與不中等等.返回第55頁

24、，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四二項(xiàng)分布一般地，在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，X表示在n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為 其中則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，簡記為二項(xiàng)分布是一種常用的分布。名稱由來（引例2.3）引例2.4泊松定理第56頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四泊松定理設(shè)是 常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且則對(duì)于任意取定的非負(fù)整數(shù)k，有由泊松定理，我們可得，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，有近似公式注：在實(shí)際的計(jì)算中，當(dāng) 時(shí)，計(jì)算用上述公式效果頗佳！其中返回第57頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四泊

25、松分布如果隨機(jī)變量的分布律為 ，則稱X服從參數(shù) 的泊松分布，記作 .服從泊松分布的隨機(jī)變量X的概率值可在附錄的泊松分布表中查出.引例2.5返回第58頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù) 1。 分布函數(shù)的概念 2。 分布函數(shù)的性質(zhì)返回第59頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1。分布函數(shù)的概念設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)為X的分布函數(shù)。注意：隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義適應(yīng)于任意的隨機(jī)變量。 離散型的分布函數(shù)第60頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四離散型的分布函數(shù)由于 ，由概率的性質(zhì)知， 即:其中求和是對(duì)所有

26、滿足 時(shí)相應(yīng)的概率 求和引例2.6返回第61頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 是不減函數(shù),即對(duì)于任意的 有 即(4) 右連續(xù),即已知X的分布函數(shù)F(x),我們可以得出下列事件的概率. 結(jié)論第62頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四結(jié)論(1)(2)(3)引例2.7返回第63頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2。均勻分布與指數(shù)分布 均勻分布 指數(shù)分布3。正態(tài)分布 分位數(shù)練習(xí)題2.3返回第64頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28

27、分，星期四1。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度若對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度（或密度函數(shù)）。 連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率第65頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x， ，有當(dāng)f(x)可積時(shí)，F(xiàn)(x)為連續(xù)函數(shù)，令則 即連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率為零.性質(zhì)第66頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四性質(zhì)（1）（2）（3）（4）設(shè)x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則 存在，且另有若(1)(2)兩個(gè)性質(zhì)符合就

28、是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度注，性質(zhì)(3)離散型沒有幾何意義第67頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四幾何意義如圖yx0abf(x)圖中陰影部分面積代表了該區(qū)域的概率。引例2.8返回第68頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2。均勻分布與指數(shù)分布定義:若隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間 上的均勻分布,簡記為其分布函數(shù)為:直觀圖形第69頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四幾何圖形如圖f(x)0 xabF(x)0abx另有計(jì)算公式第70頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四另有公式如果 是 的一個(gè)子區(qū)間

29、（即 ），則有上式表明X在 任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間的長度成正比，而與子區(qū)間的位置無關(guān)，也就是說，X在區(qū)間 上的概率分布是均勻的，因此叫做均勻分布.使用這一公式計(jì)算均勻分布的概率很方便.引例2.9返回第71頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四指數(shù)分布定義:若隨機(jī)變量X的概率密度為其中 為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.簡記為其分布函數(shù)為指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用，常用來做各種“壽命”分布的近似，例如動(dòng)物的壽命，電話的通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等，都通常假定服從指數(shù)分布. 引例2.10返回第72頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3。正態(tài)

30、分布定義:若隨機(jī)變量X的概率密度為其中 為常數(shù)且 ，則稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記作 .正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像稱為正態(tài)曲線 幾何圖形第73頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四幾何圖形如圖f(x)x0圖形特點(diǎn)及正態(tài)分布曲線的性質(zhì)(1)曲線關(guān)于 對(duì)稱(2)當(dāng) 時(shí)，取到最大值(3)參數(shù) 決定正態(tài)曲線的形狀， 較大曲線扁平， 較小曲線狹高. 分布函數(shù)第74頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四分布函數(shù)設(shè) ，則X的分布函數(shù)為特別地，當(dāng) 時(shí)的正態(tài)分布 ，稱為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形第75頁，共189頁，2022年，

31、5月20日，23點(diǎn)28分，星期四標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形如圖0圖形關(guān)于 軸對(duì)稱，且在 取得最大值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 的性質(zhì)(1)(2)計(jì)算公式第76頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值可以直接查表得。一般的正態(tài)分布函數(shù) 與標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布函數(shù) 的關(guān)系，設(shè)引例2.11引例2.12第77頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四分位數(shù)（臨界值）定義 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值記為 ， 滿足 則稱點(diǎn) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)（或臨界值） 由 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求 .引例2.13返回第78頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星

32、期四2.4隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 練習(xí)題2.4（1）2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 練習(xí)題2.4（2）返回第79頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布設(shè)g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù),稱 為隨機(jī)變量X的一個(gè)函數(shù),顯然Y也是一個(gè)隨機(jī)變量.當(dāng)X取值x時(shí),Y取值y=g(x).重點(diǎn)在于討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布,去求函數(shù) 的概率分布.引例2.14結(jié)論第80頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四結(jié)論離散型隨機(jī)變量X的取值可列 ,則Y的取值也是可列的 ,因此Y也是個(gè)離散型隨機(jī)變量.但是 中可

33、能有相等的情況.當(dāng) 有相等的情況時(shí),應(yīng)把 相等的那些 所對(duì)應(yīng)的概率相加,作為Y取值的概率.注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然順序重新排列一下返回第81頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為設(shè) 是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?且 。記 為 的反函數(shù)，則的概率密度特別地，當(dāng) 時(shí)引例2.15返回第82頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四第三章:多維隨機(jī)變量及其概率分布3.1多維隨機(jī)變量的概念3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.3兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 自測題3返回第83頁，共189頁，20

34、22年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3.1多維隨機(jī)變量的概念1。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2。二維離散型隨機(jī)變量 練習(xí)題3.1（1）3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度 練習(xí)題3.1（2）返回第84頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義 n個(gè)隨機(jī)變量 ，構(gòu)成的整體 稱為一個(gè)n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量， 稱為X的第i個(gè)分量。定義 設(shè) 為一個(gè)二維隨機(jī)變量，記稱二元函數(shù) 為X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)或稱為 的分布函數(shù)。續(xù)第85頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四（續(xù)）二維隨機(jī)變量 的兩個(gè)分量X與Y各自的分布函數(shù)分別稱

35、為二維隨機(jī)變量 關(guān)于X與關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，記為 與 。 邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系。 幾何圖形第86頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四幾何圖形如圖xyoDD為分布函數(shù) 在 處的函數(shù)值D為以 為頂點(diǎn)，位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形xy0矩形域?yàn)槁湓趨^(qū)域內(nèi)的概率。計(jì)算公式第87頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四計(jì)算公式落在矩形域內(nèi)概率為分布函數(shù) 的性質(zhì)(1) 是變量x或y的不減函數(shù)(2)(3) 關(guān)于x和關(guān)于y均右連續(xù)(4)對(duì)任意固定的 ， 有返回第88頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2。二維離散型隨機(jī)變量定義 若二

36、維隨機(jī)變量 只取有限多對(duì)或可列無窮多對(duì) ，則稱 為二維離散隨機(jī)變量。設(shè)二維隨機(jī)變量 的所有可能取值為 ， 在各個(gè)可能取值的概率為：分布律性質(zhì)第89頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四性質(zhì) 的分布律具有下列性質(zhì)：(1)(2)由 的分布律可求得它的分布數(shù) ，引例3.1引例3.2邊緣分布律第90頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四邊緣分布律定義 對(duì)于離散型隨機(jī)變量（X,Y），分量X或Y的分布律稱為（X,Y）關(guān)于X或Y的邊緣分布律，記為 或可由（X,Y）的分布律求出。 性質(zhì)第91頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四性質(zhì)邊緣分布律具

37、有下列性質(zhì)：（1）（2）返回第92頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度定義：設(shè)二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為若存在非負(fù)可積函數(shù)為 ，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y都有則稱 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱為 的概率密度函數(shù)或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)。性質(zhì)第93頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四性質(zhì)按定義：概率密度函數(shù) 有以下性質(zhì)：（1）（2）分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系若 在 處連續(xù)，則有概率計(jì)算公式第94頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四概率計(jì)算公式如果已知 的概率密度 ，則在平面區(qū)域D內(nèi)取值的

38、概率為：幾何意義：隨機(jī)點(diǎn) 落在平面區(qū)域D上的概率等于以平面區(qū)域D為底，以曲面 為頂?shù)那斨w的體積。引例3.3兩種重要的分布第95頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四兩種重要的分布1。均勻分布 定義 2。二維正態(tài)分布 定義 連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布返回第96頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四均勻分布定義設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S0，如果二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作 特殊情形第97頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四特殊情形（1

39、）D為矩形區(qū)域， 此時(shí)（2）D為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓域上服從均勻分布，則（X,Y） 的概率密度為 返回第98頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四二維正態(tài)分布定義若二維隨機(jī)變量（X,Y）概率密度為：其中 都是常數(shù)，且則稱（X,Y）服從二維正態(tài)分布，記作返回第99頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的邊緣分布定義：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y），分量X或Y的概率密度稱為（X,Y）關(guān)于X或Y的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為 或 。邊緣密度可由概率密度 求出： 引例3.4返回第100頁，共189頁，20

40、22年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性1。兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 定義2。二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 小結(jié)論4。n維隨機(jī)變量 練習(xí)題3.2返回第101頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定義設(shè) ， 和 分別是二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y有則稱X與Y相互獨(dú)立。該式（）等價(jià)于任意的實(shí)數(shù)x,y有 （3.2.1）引例3.5返回第102頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2。二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為邊緣分布律為X與Y相

41、互獨(dú)立的充要條件為，對(duì)一切i,j有 引例3.6返回第103頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為f(x,y)， ， 分別為（X,Y）的關(guān)于X與Y的邊緣概率密度，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是：等式注：上式幾乎處處成立引例3.7返回第104頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四小結(jié)論一般情況下：聯(lián)合分布可確定邊緣分布，但是邊緣分布不能確定聯(lián)合分布；但是由隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及充要條件可知：當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，聯(lián)合分布可由邊緣分布確定。另有：當(dāng)X與Y相互獨(dú)立，那么它們各自的函數(shù)也互相

42、獨(dú)立返回第105頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四4。n維隨機(jī)變量定義：設(shè) 的分布函數(shù)為其概率密度為 ，則函數(shù)和分別稱為 關(guān)于 的邊緣概率分布函數(shù)和邊緣概率密度。n維隨機(jī)變量相互獨(dú)立第106頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四n維隨機(jī)變量相互獨(dú)立定義：若對(duì)于一切 ，有即則稱 是相互獨(dú)立的返回第107頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3.3兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1。離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 引例3.8 練習(xí)題3.3(1)2。兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布 引例3.9返回第108頁，共189頁，2022年，5月2

43、0日，23點(diǎn)28分，星期四2。兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為f(x,y),關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為 ,設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求Z=X+Y的概率密度.因?yàn)閄,Y相互獨(dú)立,所以Z=X+Y的分布函數(shù)為:概率密度第109頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四概率密度令得Z的概率密度為同理可得上兩式稱為獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式.返回第110頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四第四章:隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 隨機(jī)變量的期望4.2 方差4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)自測題4返回第111頁，共189頁，2022年，

44、5月20日，23點(diǎn)28分，星期四4.1 隨機(jī)變量的期望1。離散型隨機(jī)變量的期望 幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望2。連續(xù)型隨機(jī)變量的期望 幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3。二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望4。期望的性質(zhì)返回第112頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1。離散型隨機(jī)變量的期望先看一例子 引例4.1定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂（即 收斂），則定義X的數(shù)學(xué)期望（簡稱均值或期望）為X的取值可以是有限多個(gè)，也可以是可列多個(gè)引例4.2第113頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)

45、28分，星期四幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1。兩點(diǎn)分布 X 0 1 P 1p p 2。二項(xiàng)分布 XB(n,p)3。泊松分布 XP()E(X)=pE(X)=npE(X)=返回第114頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為令Yg(X)，若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為：引例4.3返回第115頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2。連續(xù)型隨機(jī)變量的期望定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若廣義積分 絕對(duì)收斂,則稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(簡稱期望或均值),記為 ,

46、即引例4.4返回第116頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.均勻分布2.指數(shù)分布3.正態(tài)分布 返回第117頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義:設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為 ,又隨機(jī)變量 ,當(dāng) 收斂時(shí),有引例4.5返回第118頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3.二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ，邊緣分布律為則 續(xù)（2）第119頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四續(xù)（2）（2）

47、若（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， ， 分別為（X,Y）概率密度與邊緣概率密度,則二維連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第120頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四二維連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理：設(shè)g(X,Y)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X,Y）的函數(shù)g(X,Y)（1）若（X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù) 收斂，則（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分 收斂，則引例4.6返回第121頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四4。期望的性質(zhì)性質(zhì)1 常數(shù)的期望等于這個(gè)常數(shù)。 即 （C為常數(shù)）性質(zhì)2 常數(shù)與隨機(jī)變量X的乘積的期望等于該常 數(shù)與隨機(jī)變量X的期望的乘積， 即性質(zhì)

48、3 隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之 和， 即性質(zhì)續(xù)第122頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四性質(zhì)續(xù)性質(zhì)3可推廣如下：類似可推廣到n個(gè)隨機(jī)變量性質(zhì)4 兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的期望等 于期望的乘積，即若X,Y是互相獨(dú)立的隨機(jī) 變量，則性質(zhì)4可推廣到n個(gè)隨機(jī)變量引例4.7返回第123頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四4.2 方 差1。方差的概念2。常見隨機(jī)變量的方差3。方差的性質(zhì)引例4.9練習(xí)題4.2返回第124頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1。方差的概念定義：設(shè)隨機(jī)變量 的期望存在，則稱 為隨機(jī)變量X的方差，

49、記為D（X） 即若X為離散型隨機(jī)變量，則若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差或（均方差） 簡便計(jì)算公式第125頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四簡便計(jì)算公式計(jì)算方差常用如下公式：若X為離散型隨機(jī)變量，則若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則引例4.8返回第126頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2。常見隨機(jī)變量的方差（1）01分布（2）二項(xiàng)分布（3）泊松分布（4）均勻分布（5）指數(shù)分布（6）正態(tài)分布?xì)w納表格返回第127頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3。方差的性質(zhì)性質(zhì)1 常數(shù)的方差等于零；隨機(jī)變量與常數(shù)之 和的方差等于隨機(jī)變

50、量的方差。即性質(zhì)2 常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常 數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積。即性質(zhì)3 兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們 方差之和即 性質(zhì)3可推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。返回第128頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.協(xié)方差2.相關(guān)系數(shù) 引例4.123.矩、協(xié)方差矩陣返回第129頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.協(xié)方差定義 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,則稱此值為X與Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E(X-E(X)

51、(Y-E(Y)離散型計(jì)算公式連續(xù)型計(jì)算公式另有計(jì)算公式第130頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四計(jì)算公式有如下計(jì)算公式特別地,取X=Y時(shí)有引例4.10協(xié)方差的性質(zhì)第131頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四協(xié)方差的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）若X,Y互相獨(dú)立，則反之若 ，則X,Y一定不互相獨(dú)立另需注意， 是X與Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。返回第132頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.相關(guān)系數(shù)定義：若 ， 稱 為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記為即引例4.11相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)第133頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)2

52、8分，星期四相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（1）（2） 的充分必要條件是存在常數(shù)a,b使定義 若相關(guān)系數(shù) 則稱X與Y不相關(guān)注：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量間線性聯(lián)系密切程度的度量。 越接近1，X與Y之間的線性關(guān)系越密切。注：易得X與Y不相關(guān)的充要條件是 。特別地：二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，不相關(guān)的充要條件是兩者互相獨(dú)立返回第134頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四3.矩、協(xié)方差矩陣定義：設(shè)X為一隨機(jī)變量，k為正整數(shù)，如果 存在，則稱 為X的k階原點(diǎn)矩，記為 ，即 如果 存在，則稱 為X的k階中心矩，記為 ，即顯然：一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，二階中心矩就是方差。定義續(xù)第135頁，

53、共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定義續(xù)定義：設(shè)X,Y為隨機(jī)變量，若存在，則稱它為X和Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，若 存在，則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩。協(xié)方差Cov(X,Y)就是X,Y的二階混合中心矩二維協(xié)方差矩陣第136頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四二維協(xié)方差矩陣定義：將二維隨機(jī)變量 的4個(gè)二階中心矩排成矩陣的形式，稱此矩陣 為隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。n維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣第137頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四n維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣定義：設(shè)n維隨機(jī)變量 的二階混合中心矩存在，則稱矩陣 為n為隨機(jī)變量的協(xié)方差

54、矩陣。注：因?yàn)?所以，協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素即為 的方差。引例4.13返回第138頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四第五章:大數(shù)定律及中心極限定理5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 練習(xí)題5.15.2 大數(shù)定律5.3 中心極限定理 練習(xí)題5.3自測題5返回第139頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四5.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式定理:(切比雪夫等式)設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)及方差D(X)存在,則對(duì)任意的小正數(shù) ,有或不等式的含義:當(dāng) 很小時(shí),區(qū)間也很小,不等式用于估計(jì)X落入上述區(qū)間的概率.當(dāng)D(X)很小時(shí), X落入上述

55、區(qū)間的概率很大,落入?yún)^(qū)間外的概率很小.引例5.1返回第140頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四5.2 大數(shù)定律1.貝努利大數(shù)定律2.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律返回第141頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.貝努利大數(shù)定律定理：設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對(duì)任意正數(shù) ，有證明略。該定律表明：當(dāng)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率p的絕對(duì)值偏差小于任意給定的正數(shù) 這一事件的概率可以任意接近于1.也正是“概率是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義。返回第142頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，

56、星期四2.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律若隨機(jī)變量序列 是相互獨(dú)立的，且所有的 又具有相同的分布，則稱 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列。定理：設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列， ， 均存在，則對(duì)于任意的 有 定律分析第143頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定律分析定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量 在統(tǒng)計(jì)上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密地聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性的深刻描述，同時(shí)，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì) 重要理論基礎(chǔ)。另：貝努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況。（ 相互獨(dú)立且服從相同的01分布）返回第1

57、44頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四5.3 中心極限定理1.獨(dú)立同分布序列的中心極限定理2.棣莫弗拉普拉斯中心極限定理返回練習(xí)題5.2第145頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.獨(dú)立同分布序列的中心極限定理定理：設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差 記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 則，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有，其中 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)定理分析第146頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定理分析由該定理可得以下結(jié)論：（1）當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和 的分布近似于正態(tài)分布 。（2）當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立

58、同分布的隨機(jī)變量的平均值 的分布近似于正態(tài)布 。引例5.2返回第147頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四2.棣莫弗拉普拉斯中心極限定理定理：設(shè)隨機(jī)變量 是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x其中q=1-p， 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。定理分析第148頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四定理分析由該定理得如下結(jié)論：（1）在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p，又設(shè) 為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，當(dāng)n充分大時(shí)， 近似服從正態(tài)分布 。（2）在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p， 為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生

59、的頻率，則當(dāng)n充分大時(shí)， 近似服從正態(tài)分布 。引例5.3返回第149頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四第六章：統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布6.1 引言6.2總體與樣本6.3統(tǒng)計(jì)量及其分布返回第150頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四6.1 引言前面五章的研究屬于概率論的范疇，在那里隨機(jī)變量及其概率分布全面描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，在概率論的許多問題中，概率分布通常假定為已知的，而一切計(jì)算推理均基于這個(gè)已知的分布進(jìn)行。但在實(shí)際問題中，我們考察的隨機(jī)變量的概率分布往往是未知的，這就需要我們用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來解決此類實(shí)際問題。返回第151頁，共189頁，2

60、022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四6.2總體與樣本1.總體與個(gè)體2.樣本3.樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示返回第152頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四1.總體與個(gè)體在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體（或母體），而把構(gòu)成總體的每一個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體.例如，研究一批燈泡的質(zhì)量時(shí)，該批燈泡的全體就構(gòu)成了總體，而其中的每一個(gè)燈泡就是個(gè)體.實(shí)際問題中，從數(shù)學(xué)角度研究總體時(shí)，所關(guān)心的是它的某些數(shù)量指標(biāo)，如燈泡的使用壽命（數(shù)量指標(biāo)），這時(shí)該批燈泡這個(gè)總體就成了聯(lián)系于每個(gè)燈泡（個(gè)體）使用壽命數(shù)據(jù)的集合 . 續(xù)第153頁，共189頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)28分，星期四續(xù)若拋開實(shí)