機械振動強迫振動

1、機械振動強迫振動第1頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四3.8 系統(tǒng)對任意激勵的響應 卷積積分上節(jié)討論了周期激勵作用下的振動響應，在不考慮初始階段的瞬態(tài)響應時，它是穩(wěn)態(tài)的周期振動。但在現(xiàn)實中激勵并非是周期的，而是任意的周期函數(shù)，或者是在極短時間內(nèi)的沖擊作用。在這種激勵情況下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動，而只有瞬態(tài)振動。激勵停止后，系統(tǒng)按固有頻率作自由振動。若激勵持續(xù)，即使存在阻尼，由激勵產(chǎn)生的響應也會持續(xù)下去。對任意激勵的響應，求解方法有多種：第2頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四3.8.1 脈沖響應 對于脈沖激勵情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應而不存在穩(wěn)態(tài)響應 單位脈沖

2、力可利用狄拉克（Dirac）分布函數(shù)(t) 表示 函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)，定義為： 對于時刻的單位脈沖函數(shù)，表示為： O- （）第3頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四 函數(shù)的性質: 特別地，當時刻 = 0 時，有 ：實際應用時，通常 f (t) 在時才有意義沖量為的脈沖力可借助函數(shù)表示為： 當 I =1 時，為單位脈沖力。 因而有： 第4頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四現(xiàn)求處于零初始條件下的系統(tǒng)對單位脈沖力的響應單位脈沖響應記： -、為單位脈沖力的前后時刻 運動微分方程與初始條件可合寫為： 或脈沖響應 乘dt ：在脈沖力作用的瞬間，位移來不及變化，但速

3、度可產(chǎn)生突變 令：0-第5頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四兩邊在區(qū)間內(nèi)對時間積分： 在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬間，位移則來不及有改變，也習慣表示為：x(0+) = x(0-) 當 t 時，脈沖力作用已經(jīng)結束，此時物體得到了速度增量1/m。由于無限小，所以記為： 質量越大， 越小質量越小， 越大若系統(tǒng)受到?jīng)_量為I 脈沖作用，結束時物體得到了速度增量I/m。第6頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四系統(tǒng)受脈沖I 作用，因脈沖結束后無后續(xù)激勵，因此響應為自由振動。其初始條件為：初位移為零，而初速度為 I/m 。對無阻尼系統(tǒng)： 因此解為

4、： 對單位脈沖，其響應為脈沖響應，記為 h(t) ：第7頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四3.8.2 卷積積分當處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激勵時，可以將激勵 F(t) 看作一系列脈沖力的疊加 對于時刻 t =的脈沖力，系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量： 并引起 t 各個時刻的響應 系統(tǒng)的脈沖響應 ：其沖量為：由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應應等于系統(tǒng)在時間區(qū)間內(nèi)各個脈沖響應的總和 得：杜哈梅(Duhamel)積分 第8頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四利用卷積性質： 若初始條件非零，則：第9頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四

5、若阻尼為零，則非零初值條件下的響應： 對于周期激勵的無阻尼系統(tǒng)： 與零初值條件的受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應一致。 第10頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四3.8.3 階躍函數(shù)響應在t1時刻開始受到突加的常值力作用，強度為F0試用杜哈梅積分計算系統(tǒng)在tt1時段內(nèi)的響應。解：由于在tt1時段，其激勵相當于2個常值力激勵的疊加，響應也是兩個對應的響應疊加。因此利用上例的結果：第16頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四即得到解：對于無阻尼系統(tǒng)，即 =0，矩形脈沖激勵的響應為：第17頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四直接解法：（1） 時第18頁，共47頁

6、，2022年，5月20日，3點2分，星期四（2） 時第19頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四解法三：（僅對于無阻尼情形）當t t1 時激勵力已經(jīng)消失，此時系統(tǒng)將以時刻t =t1 時的位移和速度為初始條件做自由振動，稱為殘余振動先求t =t1 時刻的位移和速度，前面已解得：得t =t1 時刻的位移和速度：第20頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四即為t t1 時的響應。在t =t1 開始作自由振動：第21頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四3.9 系統(tǒng)對任意激勵的響應 傅里葉積分上節(jié)講到用杜哈梅積分，可以計算任意非周期激勵的響應。那是在時間

7、域內(nèi)的變化關系，本節(jié)從另一角度出發(fā)，改在頻率域內(nèi)討論激勵和響應的關系。第22頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四對于任意非周期函數(shù)F(t)，可看成為周期T趨于無限大的周期函數(shù)。頻譜圖中相鄰頻率=2/T視為無限小量，則可以認為頻率在區(qū)間(-, )上接近于連續(xù)分布。 設周期力F(t)的頻率為，周期為T=2/。將F(t)展開為傅里葉級數(shù)，以復數(shù)形式表示為： 其中： 回顧，傅里葉展開級數(shù)：第23頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四將傅里葉展開式中的n改用n表示，周期T以2/代替：當0時，離散變量n轉變?yōu)檫B續(xù)改變的頻率變量，上式轉化為：（3.9-5）將其中的TFn視為

8、的連續(xù)函數(shù)，改用()表示：（3.9-7）第24頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四()稱為激勵的頻譜函數(shù)。 積分式（3.9-8）稱為函數(shù)F(t)的傅里葉變換。（3.9-8）（3.9-7）積分式（3.9-7）稱為函數(shù)()的傅里葉逆變換，它將非周期函數(shù) F(t)表示為頻率為、強度為()d的簡諧分量的無限和。函數(shù)()和F(t)共稱為傅里葉變換對。第25頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四回顧，受迫振動：（b）其中Xn為系統(tǒng)的第n階復振幅。（a）（b）代入（a）：第26頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四（3.9-9）令X()=H()(), 求x(

9、t)：F(t)傅里葉變換得()，乘H() ，傅里葉逆變換。x(t)與X() 組成傅里葉變換對。X() 為系統(tǒng)響應的頻率域表達式。第27頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四例3.9.1 質量-彈簧系統(tǒng)受矩形脈沖激勵，試對激勵作傅里葉變換，并作頻譜圖。討論脈沖寬度趨于零的單位脈沖的極限情形解：利用（）式積分求頻譜函數(shù)第28頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四矩形脈沖的頻譜圖對于脈沖寬度趨于零的單位脈沖情形即單位脈沖的傅里葉變換等于1，其頻譜在區(qū)間（-, ）內(nèi)均勻分布矩形脈沖的頻譜函數(shù)第29頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四3.10 用拉普拉斯

10、變換法求系統(tǒng)響應 傳遞函數(shù)計算線性系統(tǒng)對任意非周期激勵的響應也可以用拉普拉斯（Laplace,P.S.）變換。對于任意函數(shù)x(t)，定義拉普拉斯(Laplace,P.S.)變換式為其中s= +i為復變量，稱為拉普拉斯變換的輔助變量。當 =0時，這是x(t)的傅里葉變換。因此拉普拉斯變換可視為傅里葉變換向復數(shù)域的擴展。（3.10-1）第30頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四可以證實，拉普拉斯變換為線性變換：對x(t)的一階導數(shù)做拉普拉斯變換：（3.10-2）對x(t)的二階導數(shù)做拉普拉斯變換：（3.10-3）第31頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四利用以上

11、公式對線性系統(tǒng)受迫振動方程做拉普拉斯變換：上式是將自變量t的線性常微分方程變換成自變量為s的代數(shù)方程，且包含了外激勵和初始擾動在內(nèi)的全部激勵，是拉普拉斯變換的最大優(yōu)點。（3.10-4）令：（3.10-5）第32頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四如激勵力F(t)延遲在t=t1時刻發(fā)生，將F(t-t1)代入拉普拉斯變換式：作用時間滯后對拉普拉斯變換的影響由指數(shù)函數(shù) 體現(xiàn)若初始擾動為零，從方程（3.10-5）導出：若s=i,上式就是第二章講到的位移阻抗（k-m2+ic）。因此Z(s)稱為系統(tǒng)的廣義阻抗，其倒數(shù)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或廣義導納。記作：第33頁，共47頁，2022年，5月

12、20日，3點2分，星期四若s=i,上式就是第二章講到的復頻響應函數(shù)1/(k-m2+ic)。系統(tǒng)響應x(t)的拉普拉斯變換X(s):。因此，傳遞函數(shù)H(s)可視為激勵力的拉普拉斯變換(s)計算響應的拉普拉斯變換X(s)的代數(shù)算子。導出X(s)以后，通過拉普拉斯逆變換，即可得到系統(tǒng)響應。拉普拉斯逆變換是在復數(shù)域內(nèi)的積分，但不必具體做積分運算，因為各種典型函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換均有現(xiàn)成表格可供查閱。第34頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四從以上分析過程可以看出，拉普拉斯變換將線性常微分方程轉化為代數(shù)方程，通過逆變換得到微分方程的解。下圖表示其計算流程。X(s)=H(s) (s

13、)H(s)F(t)(s)x(t)P67表3.10-1有幾種常見激勵力所對應的拉普拉斯變換對，更多的變換對可查閱數(shù)學手冊。第35頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四例3.10.2 無阻尼質量彈簧系統(tǒng)在t1時刻開始受到突加的常值力作用，強度為F0試用拉普拉斯變換計算系統(tǒng)在tt1時段內(nèi)的響應。解：對激勵力進行拉普拉斯變換：其中：1/s為階躍函數(shù)對應的拉普拉斯變換，第36頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四體現(xiàn)作用時間的滯后。無阻尼動力學方程的拉普拉斯變換（c=0）：查X(s)各項的逆變換：第37頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四相當于滯后t1時

14、刻查表查表變換是線性的第38頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四與上節(jié)例子的解（考慮初始條件）一樣。杜哈梅積分部分對初始條件的響應第39頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四例：無阻尼質量彈簧系統(tǒng)在（0，t1）時間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用解：矩形脈沖力可利用單位階躍函數(shù)表達為：試用拉普拉斯變換計算系統(tǒng)的響應。第40頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四無阻尼動力學方程的拉普拉斯變換（c=0）：第41頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四相當于滯后t1時刻查表查表變換是線性的第42頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四第43頁，共47頁，2022年，5月20日，3點2分，星期四可以證明，脈沖響應函數(shù)h(t)與復頻率響應函數(shù)H() 也恰好組成傅里葉變換對。設系統(tǒng)受單位脈沖激勵，令：脈沖響應為：脈沖激勵的傅里葉變換：3.11 復頻率響應與脈沖響應之間的關系第44頁，共47頁，2022年，5