空間中的垂直關(guān)系64859

1、空間中的垂直關(guān)系(1-2)1一. 直線與平面垂直的定義1 兩直線互相垂直： 如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過(guò)平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直。2 觀察旗桿與地面內(nèi)的每一條直線有什么關(guān)系，旗桿與地面的關(guān)系呢？32 直線與平面垂直： 如果一條直線（l）和一個(gè)平面（）相交于點(diǎn)A，并且l和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A的任何直線都垂直，則該直線垂直于這個(gè)平面，記作l，這條直線叫做平面的垂線，這個(gè)平面叫做直線的垂面，交點(diǎn)叫做垂足。4lAab5 在幾何中，定義兼具兩重性，既是判定又是性質(zhì)。判定是指：如果一條直線垂直一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直，這是判定證明直線與平面垂直的一種

2、方法；性質(zhì)是指：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線。6 這是在線面垂直問(wèn)題中經(jīng)常要用到的一個(gè)結(jié)論。即判斷正誤：如果一條直線 l 和一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則直線 l和平面 互相垂直.7二. 直線與平面垂直的判定定理1定理：文字語(yǔ)言：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：a ，b ，ab=O，la，lb， l.8 實(shí)驗(yàn)：過(guò)ABC 的頂點(diǎn)A 翻折紙片，得到折痕AD ，且使折痕ADBC，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC 與桌面接觸）.DCBA9已知： ， 求證： 證明：設(shè)m是內(nèi)的任意一條直線 推論1

3、 ：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面 10推論2：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行 。已知：直線l平面，直線m平面，垂足分別為a，b，求證：l/m.證明：假設(shè)直線m與直線l不平行。過(guò)直線m與平面的交點(diǎn)B作直線m/l，11由直線與平面垂直的判定定理的推論1可知m. 設(shè)m和m確定的平面為，與的交線為a，因?yàn)橹本€m和m都垂直于平面，所以 直線m和m都垂直于交線a，因?yàn)樵谕黄矫鎯?nèi)，通過(guò)直線上一點(diǎn)并與已知直線垂直的直線不可能有兩條，所以直線m與m必重合，即有l(wèi) /m.12例1過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條。已知：平面和一點(diǎn)P.求證：過(guò)點(diǎn)P與垂直的直

4、線只有一條。13證明：不論P(yáng)點(diǎn)在外或內(nèi)，設(shè)PA，垂足為A(或P)， 如果過(guò)P點(diǎn)，除直線PA外，還有一條直線PB，設(shè)PA，PB確定的平面為, 且=a， 于是在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于交線a， 這是不可能的。所以過(guò)點(diǎn)P與垂直的直線只有一條。14例2已知：直線l平面，垂足為A，直線APl. 求證：AP在內(nèi)。證明：設(shè)AP與l 確定的平面為，假設(shè)AP不在內(nèi)，則設(shè)與相交于直線AM。因?yàn)閘，AM ,所以lAM，15又已知APl，于是在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A有兩條直線垂直于l，這是不可能的，所以AP一定在內(nèi)。16直線與平面垂直的判定方法3.如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)

5、平面。1.定義：如果一條直線垂于一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線，則此直線垂直于這個(gè)平面.2.判定定理:如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個(gè)平面。4.如果直線和平面所成的角等于90,則這條直線和平面垂直17練習(xí)題： 1 、如果平面外的一條直線上有兩點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等，則這條直線和平面的位置關(guān)系是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交C182、在空間，下列命題（1）平行于同一直線的兩條直線互相平行；（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；（3）平行于同一平面的兩條直線互相平行；（4）垂直于同一平面的兩條直線互相平行。正確的是（ ）A. (1)(3)(4) B. (1)

6、(4) C. (1) D.四個(gè)命題都正確。B193 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1HD1O，H為垂足，求證：B1H平面AD1C.證明：連接B1D1， B1BAB，B1BBC， B1B平面ABCD， B1BAC，20 又ACBD， AC平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D， ACB1H，又B1HD1O， B1H平面AD1C.21平面與平面垂直1 定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條直線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直。兩個(gè)平面，互相垂直，記作：。22兩個(gè)平面互相垂直的畫法： 畫兩個(gè)互相垂直的平面，把直立平

7、面的豎邊畫成和水平面的橫邊垂直，如圖所示，平面和平面垂直，記作：。232 平面與平面垂直的判定定理：文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直；圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：AB，AB=B，AB 。24253平面與平面垂直的性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面；圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：,=a，AB ，ABa，且垂足為B， AB.26已知：平面平面，=CD，BA ，BACD，B為垂足，求證：BA.證明：在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BECD，因?yàn)椋?所以BABE，又因?yàn)锽ACD，CDBE=B，所以BA。27例3已知：平面平面，在與的交線上取線段A

8、B=4cm，AC，BD分別在平面和平面內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC=3cm，BD=12cm，求CD的長(zhǎng)。解：連接BC，因?yàn)锽DAB，直線AB是兩個(gè)互相垂直的平面 和的交線，28所以 BD，BDBC， 所以CBD是直角三角形，在直角BAC中，BC= 在直角CBD中，CD=所以CD的長(zhǎng)為13cm. 29例4已知RtABC中，AB=AC=a，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使BDC成直角，求證：（1）平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC；（2）BAC=60.30證明：（1）如圖，因?yàn)锳DBD，ADDC， 所以AD平面BDC，因?yàn)槠矫鍭BD和ACD都過(guò)AD，所以平面ABD平面BDC，平面

9、ACD平面BDC；31（2）在原圖中，直角BAC，因?yàn)锳B=AC=a，所以BC= a， 所以 BD=DC= a， BDC是等腰直角三角形。 所以BC= BD= a BDC是等腰直角三角形。 所以AB=AC=BC，因此BAC=60. 32練習(xí)題1 下列命題中正確的是（ ）（A）平面和分別過(guò)兩條互相垂直的直線，則 （B）若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條平行直線，則 （C）若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則（D）若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則C332設(shè)兩個(gè)平面互相垂直，則（ ）（A）一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直于另一個(gè)平面 （B）過(guò)交線上一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線必在另一個(gè)平面內(nèi) （C）過(guò)交線上一點(diǎn)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面 （D）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線互相垂直B343. 如圖所示：四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC平面ABCD，E是SA的中點(diǎn)， 求證：平面EBD平面ABCD. 證明：連接AC，BD，交點(diǎn)為F，連接EF，EF是SAC的中位線， EF/SC.35 SC平面ABCD， EF平面ABCD，又EF 平面BDE， 平面BDE平面ABCD.364 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，B1B=4，連接B1C，過(guò)B作BEB1C，交B1C于F，交CC1于E， 求證：平面BDE平面A1BCD1。 證明：連接AC，ABCDA1