1988考研真題數(shù)一解析

1、1988 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)解析一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題中橫線上) x 3n(1)求冪級數(shù)的收斂域.n 3nn 1 . n 1 n 1 3n x 31n 1x 3,【解析】因為 3 n 1 3nnnn 3n1x3 10 x6故當(dāng)，即時冪級數(shù)收斂.31 1x0 x6n當(dāng)當(dāng)時，原級數(shù)為交錯級數(shù)，是收斂的；nn 11時，原級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的.nn 1 .所以，所求收斂域為 x x 0 x,求 及其定義域.f x e , f x 1x(2) 設(shè)2，且 x 1x ,xe 1 x 2 1x 0 1x1x0，即 ，【解析】由 x x

2、 1x，得.由得 x 1x ,x所以x y z 1的外側(cè),計算曲面積分（3）設(shè) 為曲面222Ix dydz y dzdx z dxdy .3335.【解析】由高斯公式，并利用球面坐標計算三重積分，得I 3x y z 222（ 是由 所圍成的區(qū)域） 2d d1r r 3.225000二、填空題(本題共 4 小題,每小題 3 分,滿分 12 分.把答案填在題中橫線上)1f (t) limt(1 )2tx,=.(1)若則 f (t)xx e 1t . 2t【解析】由于1 2tx f t e 1t .2t ，則 2tf t t 1 xxx1 f (t)dt x,(2)設(shè)連續(xù)且則=_.f (x)f 01

3、.【答案】 3 x1f t x3x f x 1 x2 f 7 1x令，【解析】等式兩邊對 2301 f 7 .即 1 x 0 f x f x,則 的（2）設(shè)周期為 2 的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為x x 1 3傅里葉級數(shù)在x1處收斂于.3.【答案】2 f 1 f 12 1 3.【解析】由傅里葉級數(shù)的收斂定理知，在x1處收斂于222 A , , , B , , ,其中 , ,均為 4 維列向,（3）設(shè) 4 階矩陣量,且已知行列式234234234AB則行列式 AB=.【答案】A+B , , 2 2 2 ,由行列式的性質(zhì)即得【解析】因為234 , , ,A+B , , 2 2 2 8 , , ,

4、, ,88 41 234234234234三、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))1( )f x x0處的微分 是f(x)x0 f(x)在()(1)設(shè)可導(dǎo)且則時20 xxxx(A)與(C)比等價的無窮小低階的無窮小(B)與(D)比同階的無窮小高階的無窮小【答案】 應(yīng)選（B）12x0 x112x0 f(x )x xf(x)點的微分【解析】 由于在，則，2x0 x0 x x0 x與 為同階無窮小.則當(dāng)時，y f(x)y2y4y 0f(x )0 f(x )0f(x)(2)設(shè)是方程)的一個解且，00

5、x處(在點0(A)取得極大值(B)取得極小值(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加【答案】 應(yīng)選（A）【解析】 由題設(shè)可知x xf(x)2f(x)4f(x)0，則，令0f(x )2f(x )4f(x) 0( ) 0 x ，又 f處取得極大值.f(x )0f(x )4f(x )0，則 ，000000 x0f(x)由此可知在 :x y z Rx 0 y0， ， :x y z R ，z 0，(3) 設(shè)空間區(qū)域2222及222212z 0，則(A) 4 4 (B)(D)1 212 4 4 (C)1212【答案】 應(yīng)選（C）【解析】 由于選項（C）中的被積函數(shù)f(x,y,z) zxy既是 的偶函數(shù)

6、，也是 的偶函數(shù)，坐標面前后對稱，又關(guān)于 坐標面左右對稱，則而積分區(qū)域既關(guān)于1 4 .12a (x n x1處收斂,則此級數(shù)在 x2在處()(4)設(shè)冪級數(shù)nn 1(A)條件收斂(C)發(fā)散(B)絕對收斂(D)收斂性不能確定【答案】 應(yīng)選（B）a (x n x1處收斂，則當(dāng) x1 11 2在時，原冪級數(shù)絕對【解析】 由于nn 12-112x2處絕對收斂.收斂，而，則原冪級數(shù)在 sn)n, , ,線性無關(guān)的充要條件是()(5) 維向量組12s kk ,k ,k kk0 . 使(A)存在一組不全為零的數(shù)12s1122ss , , ,中任意兩個向量均線性無關(guān)(B)(C)(D)12sss , , ,中存在

7、一個向量不能用其余向量線性表示12 , , ,中存在一個向量都不能用其余向量線性表示12【答案】 應(yīng)選（D） , , ,線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少存在一個向量，它可以用其【解析】12s余s1個向量線性表出，而線性無關(guān)是線性相關(guān)的反面，由此立即知（D）正確.四、(本題滿分 6 分)xy2ux22ux y 設(shè)u f gxy.( )( )，其中函數(shù) 、 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求yx【解析】uxxy yyu 1x y2y( )x2f ( ) g( )g ( )fg ( )，yx xxx2yy x32ux y xxyy2u2ux y xf( ) g( )xy0.，所以y2y x2xx2五、(本題滿分

8、 8 分)y3y2y 2e，其圖形在點x(處的切線與曲線y y(x)設(shè)函數(shù)滿足微分方程1y x xy y(x).2在該點處的切線重合,求函數(shù)Y Ce C e【解析】對應(yīng)齊次方程的通解為x2x.12y 設(shè)原方程的特解為x ，代入原方程得A2.故原方程通解為y(x) Ce C e2y x x1(在點 處有公共切x2xx.又已知該函數(shù)圖形與曲線212yy |1| 1， ，線得00 xxy 2x)e.xC C 1 C C 1C 1 C 0代入通解有，,解得,.所以121212 9 分）k(AM(k 0rA M的引力大小為為常數(shù)， 為質(zhì)點 與 之間的r2)M自運動到距離 ，質(zhì)點沿直線M質(zhì)點的引力所作的功

9、.【解析】 如圖所示，f引力22的方向與一致，故kr3從而，引力所做的功k1Wr53 6 分）A已知，其中求 ，0 0 11 0 01 0P12 ，由 ，得【解析】4 1 11 021 4 1 1A ( )( )( ) PB(P P)B(P P)(P P) P .5111111151 8 分）A 0 0 1 B 0 y 0已知矩陣相似.與(2)求一個滿足的可逆陣.P 1A P B(1).EA EB，即 2 00 2000010 y 0 ，可得1 x00 1( x ( (1 ) )22xy 1比較系數(shù)可得：2 0 02 0 0A 0 0 1 B 0 1 0此時：，；0 1 00 0 1A B 2

10、,1,1（2）從題中可得到 和 的特征值為p 1(1,0,0)T當(dāng)當(dāng)當(dāng)可求得 A 的特征向量為可求得A的特征向量為p 2Tp 3(0,1,T可求得 A 的特征向量為1 0 0p 0 1 1PP B.1令，且 可逆，且有0 1 1 9 分） a,b內(nèi)有f (x)0a,b內(nèi)存在唯一的 ,f(x)a,b證明:在設(shè)函數(shù)使曲線在區(qū)間上連續(xù),且在S1y f (x)是曲線 與兩直線y f (x)y f ( ) xa與兩直線,所圍平面圖形面積Sy f ( ) xb,所圍平面圖形面積 的 3 倍.2存在性 a,bf t f x f x f t b t( ) ( ) 3 ( ) ( )F t( )tbt在上任取一

11、點 ，令，at Ft) a,b上連續(xù)，則在 f (x)0f(x) a,b在 上單調(diào)增加，故又因又F abf x f a b a( ) ( ) 0( )3aFb)bfb) f(x) ba)fb)bf(x)aa a,bF( )0，即S S1所以，由零點定理可知，在內(nèi)存在一點 ，2唯一性因F t) f tta)bt0 a,b a,b內(nèi)只有一個 .Ft)故，在內(nèi)是單調(diào)增加的，因此，在十、填空題(本題共 3 小題,每小題 2 分,滿分 6 分.把答案填在題中橫線上)1927A(1)設(shè)在三次獨立試驗中,事件 出現(xiàn)的概率相等,若已知 至少出現(xiàn)一次的概率等于,則A1A事件 在一次試驗中出現(xiàn)的概率是_ _.35(2)若在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于 ”的概率為_.6(3)設(shè)隨機變量 服從均值為 10,均方差為 0.02 的正態(tài)分布,已知X1u2(x)e du, 2xX內(nèi)的概率為，則 落在區(qū)間_0.9876_.1【答案】