2021高考數(shù)學(xué)(理科)知識點(diǎn)總結(jié)(精辟)

1、 17/172021高考數(shù)學(xué)(理科)知識點(diǎn)總結(jié)(精辟) 1 2018高考數(shù)學(xué)（理科）知識點(diǎn)總結(jié) 1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。 如：集合，、A x y x B y y x C x y y x A B C =|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。? 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合，A x x x B x ax =-=|22301 若，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為 B A a ? （答：，）-? ? 1013 3.

2、注意下列性質(zhì)： （）集合，的所有子集的個數(shù)是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B = =， 4. 你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。 ()） ， ， ，（259351055 55035 3322 ? ? ?-?-=+-0義域是_。 （答：，）a a - 11. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 12. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y x 對稱； 13. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)） 如

3、何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？ （內(nèi)層） （外層），則，（)()()(x f y x u u f y ?= ） 15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ ()在區(qū)間，內(nèi)，若總有則為增函數(shù)。（在個別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于a b f x f x ()()0 零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若呢？f x ()0 )如：已知，函數(shù)在，上是單調(diào)增函數(shù)，則的最大 a f x x ax a =-+013() 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 由已知在，上為增函數(shù)，則 ，即f x a a ()13 13+ a 的最大值為3） 16. 函數(shù)f (x )具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域

4、關(guān)于原點(diǎn)對稱） 若總成立為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱f x f x f x ()()()-=-? 若總成立為偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱f x f x f x y ()()()-=? 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，T 是一個周期。） 如： 18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ f x f x y ()()與的圖象關(guān)于軸對稱- f x f x x ()()與的圖象關(guān)于軸對稱- f x f x ()()與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱- f x f x y x ()()與的圖象關(guān)于

5、直線對稱-=1 f x f a x x a ()()與的圖象關(guān)于直線對稱2-= f x f a x a ()()()與的圖象關(guān)于點(diǎn)，對稱-20 將圖象左移個單位右移個單位 y f x a a a a y f x a y f x a =? ?=+=-()()()()()00 上移個單位下移個單位b b b b y f x a b y f x a b ()()()()?=+=+-00 注意如下“翻折”變換： 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ ()（）一次函數(shù)：10y kx b k =+ () （）反比例函數(shù)：推廣為20y k x k y =的雙曲線。 ()（）二次函數(shù)圖象為拋物線302

6、442 2 2y ax bx c a a x b a ac b a =+=+? ? ?+- 應(yīng)用：“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程 求閉區(qū)間m ，n 上的最值。 求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 如：二次方程的兩根都大于ax bx c k b a k f k 20020 +=?- ?() 又如：若f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)， 則，f(x+2a-2b)=fa+(x+a-2b) (恒等變形） = -fa-(x+a-2b) f(a+x)=-f(a-x) = - f(-x+2b) (恒等變形） = -

7、fb+(-x+b) (恒等變形） =-fb-(-x+b) f(b+x)=f(b-x) =-f(x) 2a-2b 為半周期 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?y=log 2x a x(a1) ()（）“對勾函數(shù)”60y x k x k =+ 利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？ 20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤嗎？ log log log log log a a a a n a M N M N M n M =-= ，1 21. 如何解抽象函數(shù)問題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （），滿足，證明是偶函數(shù)。2x R f x f xy f x f y f x =+()()()()(

8、) 22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？ （二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。） 如求下列函數(shù)的最值： 23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為，半徑為R 的弧長公式和扇形面積公式嗎？ 24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義 又如：求函數(shù)的定義域和值域。y x =-? ? ?122cos （）122120-? ? ?=-cos sin x x A x O M P ，如圖：sin x 2 2 25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎？ () y x k k k Z =-+?

9、? ?sin 的增區(qū)間為，2222 ()減區(qū)間為，222 32k k k Z +? ? ? ()()圖象的對稱點(diǎn)為，對稱軸為k x k k Z 02 =+ ()y x k k k Z =+cos 的增區(qū)間為，22 ()減區(qū)間為，222k k k Z + ()圖象的對稱點(diǎn)為，對稱軸為k x k k Z +? ?=2 0 y x k k k Z =- +? ? ? ?tan 的增區(qū)間為，22 ()() 26. y =Asin x +正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)要熟記?；?y A x =+cos （）振幅，周期12| A T = ()若，則為對稱軸。f x A x x 00= ()()若，則，為對稱點(diǎn)，反

10、之也對。f x x 0000= （）五點(diǎn)作圖：令依次為，求出與，依點(diǎn)20232 2?x x y +（x ，y ）作圖象。 （）根據(jù)圖象求解析式。（求、值）3A ? 解條件組求、值? ()?正切型函數(shù)，y A x T =+=tan | ? 27. 在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面先求出某一個三 角函數(shù)值，再判定角的范圍。 28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？ y x O -2 2 y tgx = 29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？ （平移變換、伸縮變換） 平移公式： （）點(diǎn)（，），平移至（，），則1P x y a h k P x y x x h y y

11、 k =?=+=+?() （）曲線，沿向量，平移后的方程為，200f x y a h k f x h y k ()()()=-= 如：函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到的y x y x =-? ?-=2241sin sin 圖象？ 30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？ “ ”化為的三角函數(shù)“奇變，偶不變，符號看象限”，k 2 “奇”、“偶”指k 取奇、偶數(shù)。 ()如：cos tan sin 947621+-? ?+= 又如：函數(shù)，則的值為 y y = +sin tan cos cot A. 正值或負(fù)值 B. 負(fù)值 C. 非負(fù)值 D. 正值 31. 熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其

12、逆向應(yīng)用了嗎？ 理解公式之間的聯(lián)系： 應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分 母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。） 具體方法： ()（）角的變換：如， (1222) =+-+=-? ?-? ? （2）名的變換：化弦或化切 （3）次數(shù)的變換：升、降冪公式 （4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。 ()()如：已知，求的值。sin cos cos tan tan 1212 32-=-=- （由已知得： ，sin cos sin cos sin tan 2211 22 = ()()()()）tan tan tan tan tan tan -=-=-+-= -

13、+=21231 212312 18 32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？ （應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。） 正弦定理：a A b B c C R a R A b R B c R C sin sin sin sin sin sin =?=?2222 （）求角；1C ()（）由已知式得：112112-+-=cos cos A B C （）由正弦定理及得：212 222 a b c =+ 33. 用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。 反正弦：，arcsin x x -? ?- 2211 反余弦：，arccosx x -011 ()反正切：，

14、arctan x x R -? ? ? ?22 34. 不等式的性質(zhì)有哪些？ 答案：C 35. 利用均值不等式： ( ) a b ab a b R a b ab ab a b 2 2 2 222+? ? ?+ ，；求最值時，你是否注 意到“，”且“等號成立”時的條件，積或和其中之一為定a b R ab a b +()()值？（一正、二定、三相等） 注意如下結(jié)論： 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。a b = 如：若，的最大值為x x x -0234 當(dāng)且僅當(dāng)，又，時，）340233 243x x x x y =-max （，最小值為）22222222221x y x y +=+ 36. 不等式證明的基本方法

15、都掌握了嗎？ （比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等） 并注意簡單放縮法的應(yīng)用。 ）21211131212111?()()恒成立的最大值 a f x a f x ?()()能成立的最小值 例如：對于一切實(shí)數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是x x x a a -+32 （設(shè)，它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)和距離之和u x x =-+-3223 43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì) () 定義：為常數(shù)，a a d d a a n d n n n +-=+-111() 等差中項(xiàng)：，成等差數(shù)列x A y A x y ?=+2 ()()前項(xiàng)和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 性質(zhì)：是等差

16、數(shù)列a n （）數(shù)列，仍為等差數(shù)列；2212a a ka b n n n -+ （）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為，；3a d a a d -+ （）若，是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =- （）為等差數(shù)列（，為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為52a S an bn a b n n n ?=+0的二次函數(shù)） S S an bn a n n n 的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界=+2項(xiàng)，即： 當(dāng)，解不等式組可得達(dá)到最大值時的值。a d a a S n n n n 11000 ? ?+ 如：等差數(shù)列，則a S a a

17、a S n n n n n n =+= -1831123 44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì) 等比中項(xiàng)：、成等比數(shù)列，或x G y G xy G xy ?=2 () 前項(xiàng)和：（要注意）n S na q a q q q n n =-? ? 111111() ()! 性質(zhì)：是等比數(shù)列a n （），仍為等比數(shù)列2232S S S S S n n n n n - 45.由求時應(yīng)注意什么？S a n n （時，時，）n a S n a S S n n n =-12111 46. 你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？ 例如：（1）求差（商）法 如：滿足a a a a n n n n 12121 225 1122+

18、=+ 解： n a a a n n n +=-+-212121 2215 212211時， 練習(xí) 數(shù)列滿足，求a S S a a a n n n n n += =+111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n +=-=1114 又，是等比數(shù)列，S S S n n n 144= n a S S n n n n =-=-23411時， （2）疊乘法 例如：數(shù)列中， ，求a a a a n n a n n n n 1131 =+ 解： （3）等差型遞推公式 由，求，用迭加法a a f n a a a n n n -=-110() n a a f a a f a a f n n

19、 n -=-=-=? ? ? ?-22321321時，兩邊相加，得： ()()() 練習(xí) ()數(shù)列，求a a a a n a n n n n n 111132=+- （4）等比型遞推公式 () a ca d c d c c d n n =+-1010、為常數(shù)， ()可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a x c a x n n +=+-1 是首項(xiàng)為，為公比的等比數(shù)列a d c a d c c n +-? ?+-111 練習(xí) 數(shù)列滿足，求a a a a a n n n n 11934=+=+ （）a n n =-? ? ?+-84311 （5）倒數(shù)法 例如：，求a a a a a n n n n 11122=+

20、 由已知得：1221211a a a a n n n n +=+=+ ? =11112 1 a a n 為等差數(shù)列，公差為 47. 你熟悉求數(shù)列前n 項(xiàng)和的常用方法嗎？ 例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。 如：是公差為的等差數(shù)列，求a d a a n k k k n 1 11+= 解： 練習(xí) 求和： (111211231) 123+ + +n （2）錯位相減法： 若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列（差比數(shù)列）前項(xiàng)a b a b n n n n n 和，可由求，其中為的公比。S qS S q b n n n n - （3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫

21、，再與原來順序的數(shù)列相加。 S a a a a S a a a a n n n n n n =+=+? ?-121121相加 練習(xí) （由f x f x x x x x x x x ()+? ?= +? ? ?+? ? ? ?=+=1111111112 2 2 2222 原式=+? ? ?+? ?+? ?f f f f f f f ()()()()1212313414 48. 你知道儲蓄、貸款問題嗎？ 零存整取儲蓄（單利）本利和計(jì)算模型： 若每期存入本金p 元，每期利率為r ，n 期后，本利和為： 若按復(fù)利，如貸款問題按揭貸款的每期還款計(jì)算模型（按揭貸款分期等額歸還本息的借款種類） 若貸款（向銀

22、行借款）p 元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n 次還清。如果每期利率為r （按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x 元，滿足 p 貸款數(shù)，r 利率，n 還款期數(shù) 49. 解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。 （為各類辦法中的方法數(shù)）m i 分步計(jì)數(shù)原理：N m m m n =12 （為各步驟中的方法數(shù)）m i （2）排列：從n 個不同元素中，任取m （m n ）個元素，按照一定的順序排成一 列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為n m A n m . （3）組合：從n 個不同元素中任取m （m n ）個

23、元素并組成一組，叫做從n 個不 規(guī)定：C n 01 = （）組合數(shù)性質(zhì)：4 50. 解排列與組合問題的規(guī)律是： 相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。 如：學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績 則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成兩類： （）中間兩個分?jǐn)?shù)不相等，1 （2）中間兩個分?jǐn)?shù)相等 相同兩數(shù)分別取90，91，92，對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3，4，3種，有10種。 共有51015（種）情況 51. 二項(xiàng)式定理 C

24、n r 為二項(xiàng)式系數(shù)（區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù)） 性質(zhì)： () （）對稱性：，1012C C r n n r n n r =- （）系數(shù)和：2C C C n n n n n 012 += （3）最值：n 為偶數(shù)時，n 1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第 n C n n n n 2112 +? ? ?+項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為；為奇數(shù)時，為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式() 系數(shù)最大即第項(xiàng)及第項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為n n C C n n n n +=-+121 2 1121 2 ()如：在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為 （用數(shù)字x -111 表示） 共有項(xiàng)，中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，且為第或第項(xiàng)1212 2 6

25、7= 由，取即第項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最?。篊 x r r r r 1111156-=() () ()又如：，則122004 012220042004-=+x a a x a x a x x R ()()()()a a a a a a a a 010*+= （用數(shù)字作答） 令，得：x a a a =+=11022004 () 原式）=+=?+=200320031120040012004a a a a 52. 你對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？ （）必然事件，不可能事件，110P P (=)() （）包含關(guān)系：，“發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生”稱包含。2A B A B B A ? （）事件的和（并）：或“與至少有一個發(fā)生

26、”叫做與3A B A B A B A B + 的和（并）。 （）事件的積（交）：或“與同時發(fā)生”叫做與的積。4A B A B A B A B （5）互斥事件（互不相容事件）：“A 與B 不能同時發(fā)生”叫做A 、B 互斥。 （6）對立事件（互逆事件）： “不發(fā)生”叫做發(fā)生的對立（逆）事件，A A A A A A A =， （7）獨(dú)立事件：A 發(fā)生與否對B 發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件。 A B A B A B A B 與獨(dú)立，與，與，與也相互獨(dú)立。 53. 對某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即 P A A m n ()=包含

27、的等可能結(jié)果一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù) ()（）若、互斥，則2A B P A B P A P B +=+()() () ()()（）若、相互獨(dú)立，則3A B P A B P A P B = （）41P A P A ()()=- （5）如果在一次試驗(yàn)中A 發(fā)生的概率是p ，那么在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A 恰好發(fā)生 如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 A B （1）從中任取2件都是次品； （2）從中任取5件恰有2件次品； （3）從中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），n 103 而至少有 2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品” P C

28、33223 3 4641044125=+= （4）從中依次取5件恰有2件次品。 解析：一件一件抽取（有順序） 分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。 54. 抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。 55. 對總體分布的估計(jì)用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計(jì)總

29、體的期望和方差。 要熟悉樣本頻率直方圖的作法： （2）決定組距和組數(shù)； （3）決定分點(diǎn)； （4）列頻率分布表； （5）畫頻率直方圖。 其中，頻率小長方形的面積組距頻率組距= () 樣本平均值：x n x x x n =+1 12 ()()() 樣本方差：S n x x x x x x n 2122221=-+-+- 如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為 _。 56. 你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？ （1）向量既有大小又有方向的量。 （）向量的模有向線段的長度，2|a （）單位向量，3100| a a a a = （）零向量，4000 =|

30、（）相等的向量長度相等方向相同 5? ?= a b 在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。 （6）并線向量（平行向量）方向相同或相反的向量。 規(guī)定零向量與 任意向量平行。 b a b b a ?=存在唯一實(shí)數(shù)，使()0 （7）向量的加、減法如圖： （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） 的一組基底。 （9）向量的坐標(biāo)表示 i j x y ，是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實(shí)數(shù)，使得 ()a x i y j x y a a x y =+=，稱，為向量的坐標(biāo)，記作：，即為向量的坐標(biāo)() 表示。 57. 平面向量的數(shù)量積 （）叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。 1a b a b a b =|cos 數(shù)量積的幾何意義： a b a b a b 等于與在的方向上的射影的乘積。|cos （2）數(shù)量積的運(yùn)算法則 注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律()()a b c a b c ()()（）重要性質(zhì)：設(shè)，31122a x y b x y = 或a b a b a b a b a b ?=-| ?= a b b （，惟一確定）0 練習(xí)（）已知正方形，邊