八個(gè)有趣的模型的外接球與內(nèi)接球

1、空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式（2R）2二a2 + b2 + c2 ,即2R =3 + b + c2 ,求出R例1 （1）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ）A. 16iB. 20kc. 24kd. 32兀解: V = a2h = 16 , a = 2, 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24 , S = 24k ，選 c；CC（3）題-1引理： 正三棱錐的對(duì)棱互垂直。(4)在四面體S ABC 中，SA 丄平面ABC ,

2、ABAC = 1200,SA = AC = 2, AB = 1,則該四面體的外接球的表面積為（ D ）A.11kb.7kc.10 kd.40 k335）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是.6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為16）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正類型二、垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1.題設(shè)：如圖5, PA丄平面ABC圖5圖5解題步驟：第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過(guò)球心0 ；第二步：01為AABC的外心，所以

3、Oq丄平面ABC，算出小圓0勺半徑0D = r (三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得a _ bsin A sin Bca _ bsin A sin Bcsin C)，OO 二-PA；2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)2二PA2 + (2r)2 o2R = xPA2 + (2r)2 ； R2 = r2 + 00 2 o R = ：r2 + 002iv12.題設(shè)：如圖6, 7, 8，P的射影是AABC的外心o三棱錐P- ABC的三條側(cè)棱相等o三棱錐P - ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)圖8-1圖8-2圖8-1圖8-2圖8-3解題步驟: 第一步：確定

4、球心O的位置，取AABC的外心O,則P, 0,01三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓0的半徑r，再算出棱錐的高PO1 = h （也是圓錐的高）;第三步：勾股定理：OA2 二 O A2 + OO2 n R2 二（h R）2 + r2 ,解出 R1 1方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C16兀A. % B. 2兀C. 一D.以上都不對(duì)3類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）題設(shè)：如圖9-1,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC = 2r

5、；a b c第二步：在APAC中，可根據(jù)正弦定理=2R，求出Rsin A sin B sin C如圖9-2，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC為小圓的直徑）OC2 = O C2 + O O2 o R2 = r2 + O O2 o AC = 2 JR2 一 O O2111T1如圖9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC （即AC為小圓的直徑），且P的射影 是AABC的外心o三棱錐P ABC的三條側(cè)棱相等o三棱P ABC的底面AABC在 圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟： 第一步：確定球心O的位置，取AABC的外心O,則P, 0,01三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓O的半徑r

6、，再算出棱錐的高PO1 = h (也是圓錐的高);第三步：勾股定理：OA2 二 OiA2 + OiO2 = R2 -(h-R)2 +r2，解出 R例3 (1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為23，則該球 的表面積為.(2)正四棱錐S- ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為.(3)已知三棱錐S - ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的求面上,AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,)ASC為球O的直徑，且SC = 2)AD類型四、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的題設(shè)：如圖 10-1，圖 10-2，圖 10-3,直三

7、棱柱內(nèi)接于球 上下底面可以是任意三角形) 第一步：確定球心O的位置，O是AABC的外心，則OO丄平面ABC；同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的11第二步：算出小圓O的半徑AO = r， OO AA h ( AA h也是圓柱的咼);1 1 1 2 1 2 1第三步：勾股定理：OA2 二 OA2 + OO2 n R2 二(-)2 + r2 n R = ,r2 + (-)2，解出 R例 4 (1)一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在9同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為石，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為8(2 )直三棱柱ABC ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB = AC

8、 = AA 2 ,1 1 1 1ZBAC =1200，則此球的表面積等于。(3)已知AEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, ZAEB 60。，則多面體E ABCD的外接球的表面積為。類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖 11)圖11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將ABCD畫在小圓上，找出ABCD和AABD的外心竹和H ；2第二步：過(guò)H和H分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O,連 12接 OE, OC ；第三步：解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH2 OC21 1

9、1 1 1例5三棱錐P ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC和AABC均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則三棱錐P - ABC外接球的半徑為.類型六、對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形為長(zhǎng)方體)題設(shè)：三棱錐(即四面體)中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑( ABCD ， ADBC，AC BD)第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步:設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬咼分別為a,b,c , AD BC = x , AB CD y , AC = BD z , 列方程組， b2 + c2 y2 n (2R)2 a2 + b2 + c2 圖12圖12補(bǔ)充: VA-補(bǔ)充: VA-BCDabc 一 abc x 4 abc

10、63x 2 + y 2 + z 2 第三步：根據(jù)墻角模型，2R 、：a2 + b2 + c2 R2 - x2 + y2 + z2，R- ,：x2 + y2 + z2，求出 R,例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例 6（1）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是.2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）AB4D亙AB4D亙12(4)如圖所示三棱錐A BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,則該三棱錐外接

11、球的表面積為.類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐）模型C圖13C圖13題設(shè)：ZAPB = ZACB = 90，求三棱錐P ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,連接1OP, OC，則OA = OB = OC = OP = AB，. O為三棱錐P ABC外接球球心，然后在2OCP中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7 （1）在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角 TOC o 1-5 h z B AC D，則四面體ABCD的外接球的體積為

12、（）D153151515D153A.兀B.兀C.兀196類型八、錐體的內(nèi)切球問(wèn)題 1.題設(shè)：如圖14,三棱錐P ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖， E,H 分別是兩個(gè)三角形的外心；DHBDHB圖14第二步：求DH = 3BD , PO = PH r , PD是側(cè)面AABP的高;OE PO第三步：由APOE相似于APDH，建立等式：= ，解出rDH PD2.題設(shè)：如圖15,四棱錐P ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑圖15圖15第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；1第二步：求FH =-BC , PO = PH r , PF是側(cè)面APCD的高；2 OG

13、 PO第三步：由APOG相似于APFH，建立等式：二 ，解出HF PF3.題設(shè)：三棱錐P ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：V 二V +V +V +V nPABC O ABCOPABOPACOPBC11 1 1 1V 二一S - r +S - r + S - r + S - r 二（S + S+ S+ S） - rP ABC3 AABC3PAB3PAC3PBC3AABCAPABPAC APBC第三步：解出r =3V第三步：解出r =P ABCS

14、+ S + S + SOABC OPABOPACOPBC課后練習(xí) 典例1已知正三棱錐P - ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為3的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為（）A3A33D典例2在三棱錐O ABC中，OA， OB， OC兩兩垂直，且OA = 3， OB = OC = 2 .若 以O(shè)為球心，丫（廠 0）為半徑做一個(gè)球，當(dāng)球面與AABC所在平面相切時(shí)，r =.兀1已知三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)均在球O的球面上，且AB = AC = AD 3, ZBCD =-,若H是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的正投影，且CH = J2，則球O的體積是（）A.4*3兀BCA.4*3兀BC8

15、/2 兀3D.2.四面體P - ABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（0,0,2）,a(0,0,0), b C,2 J3,o), C G八3,0),則該四面體外接球的體積為（ ）A.32兀A.32兀TC. 20 nD.3已知圓柱的上底面圓周經(jīng)過(guò)正三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱的中點(diǎn)，下底面圓心為此三棱 錐底面中心O.若三棱錐P- ABC的高為該圓柱外接球半徑的2倍，則該三棱錐的外接球與 圓柱外接球的半徑之比為（ ）A. 2: 1B. 7: 4C. 3: 1D. 5: 34已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角 形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，ZCEF=9

16、0,則球O的體積為A. nB. 46nC. 26nD. J6n2n5已知三棱錐P - ABC中，PA丄平面ABC，/ABC = ，PA = 4，若三棱錐P - ABC 外接球的表面積為32n，則直線PC與平面ABC所成角的正弦值為（）D.AD.6在正方體ABCD - A1B1C1D 中, E 為棱 A1B1 上一點(diǎn)，且 AB = 2，若二面角 B - BC1 - E為45，則四面體BBCE的外接球的表面積為（）17A. nB. 12nC. 9nD. 10n27.已知四面體 ABCD中，AB = CD = 5， AC = BD =、：34 , AD = BC =、：41， O為其外接球球心，AO與AB