2023年06月01日幾何圖形變換證明

1、第41頁共41頁2023年06月01日幾何圖形變換證明一解答題共15小題12023秋市北區(qū)期末探究活動一：如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系是不必證明，直接給出結(jié)論即可探究活動二：如圖2，將上題中的“正方形改為“矩形，且AB=mBC，其他條件不變矩形ABCD和矩形QMNP，M=B，M是矩形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，探究并證明線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系；探究活動三：根據(jù)前面的探索和圖3，平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，假設(shè)AB=mBC，M=B，M是平行四邊

2、形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，請?zhí)骄坎⒆C明線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系22023秋華縣期末如圖1，點(diǎn)M在正方形ABCD的對角線AC不與點(diǎn)A重合上滑動，連結(jié)DM，作MNDM交直線AB于點(diǎn)N1求證：DM=MN；2假設(shè)將1中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變?nèi)鐖D2，且DC=2AD，求MD：MN；3在2中，假設(shè)CD=nAD，當(dāng)M滑動到CA的延長線上時如圖3，請直接寫出MD：MN的比值32023灤縣模擬兩塊等腰直角三角板ABC和DEC如圖擺放，其中ACB=DCE=90，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)1如圖1，假設(shè)點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜測

3、FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為；2如圖2，假設(shè)將三角板DEC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，那么1中的猜測是否還成立，假設(shè)成立，請證明，不成立請說明理由；3如圖3，將圖1中的DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖3，1中的猜測還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明42023廣饒縣一模如圖1，在ABC中，ACB=90，BC=2，A=30，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF1線段BE與AF的位置關(guān)系是，=2如圖2，當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a時0a180，連結(jié)AF，BE，1中的結(jié)論是否仍然成立如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由3如圖3，當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)

4、a時0a180，延長FC交AB于點(diǎn)D，如果AD=62，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)52023河南如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=301操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是；設(shè)BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，那么S1與S2的數(shù)量關(guān)系是2猜測論證當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜測1中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜測3拓展探究ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DEAB交BC于點(diǎn)E如圖4假設(shè)

5、在射線BA上存在點(diǎn)F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長62023盤錦如圖，在RtABC中，ACB=90，A=30，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動點(diǎn)不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60，得到線段PQ，連接BQ1如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系2如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時，1中結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請加以證明；假設(shè)不成立，請說明理由；3如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時，假設(shè)BPO=15，BP=4，請求出BQ的長72023遼陽如圖1，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DC=EC

6、，連接DE、AE、BD，點(diǎn)M、N、P分別是AE、BD、AB的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN1BE與MN的數(shù)量關(guān)系是；2將DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷1中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，假設(shè)不成立，請說明理由；3假設(shè)CB=6，CE=2，在將圖1中的DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時，MN的長度為82023鐵嶺如圖，ABC中，BAC為鈍角，B=45，點(diǎn)P是邊BC延長線上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CP為邊，在射線BP下方作PCF=B1在射線CF上取點(diǎn)E，連接AE交線段BC于點(diǎn)D如圖1，假設(shè)AD=DE，請直接寫出線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；如圖

7、2，假設(shè)AD=DE，判斷線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；2如圖3，反向延長射線CF，交射線BA于點(diǎn)C，將PCF沿CC方向平移，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，記平移后的PCF為PCF，將PCF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)角045，CF交線段BC于點(diǎn)M，CP交射線BP于點(diǎn)N，請直接寫出線段BM，MN與CN之間的數(shù)量關(guān)系92023河南如圖1，在RtABC中，A=90，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)1觀察猜測 圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；2探究證明 把ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判

8、斷PMN的形狀，并說明理由；3拓展延伸 把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，假設(shè)AD=4，AB=10，請直接寫出PMN面積的最大值102023春市北區(qū)期中數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，假設(shè)ACB=ACD=ABD=ADB=60，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長CB到E，使BE=CD，連接AE，證得ABEADC，從而容易證明ACE是等邊三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60，使AB與AD重合，從而容易證明ACF是等邊三角形，故AC

9、=CF，所以AC=BC+CD在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：1小穎提出：如圖4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60改為ACB=ACD=ABD=ADB=45，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對小穎提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明2小華提出：如圖5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60改為“ACB=ACD=ABD=ADB=30，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對小華提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明112023秋歷城區(qū)期末【操作發(fā)現(xiàn)】1如圖1，ABC為等腰直角三角形，ACB=90，先將三角板的90角與ACB重合

10、，再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角大于0且小于45旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE=45，連接AF，EF請?zhí)骄拷Y(jié)果：直接寫出EAF的度數(shù)=度；假設(shè)旋轉(zhuǎn)角BCD=，那么AEF=度可以用含的代數(shù)式表示；DE與EF相等嗎？請說明理由；【類比探究】2如圖2，ABC為等邊三角形，先將三角板中的60角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角大于0且小于30旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D在三角板斜邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE=30，連接AF，EF直接寫出EAF的度數(shù)=度；假設(shè)AE=1，

11、BD=2，求線段DE的長度122023秋和平區(qū)期末ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6，點(diǎn)D是射線OM上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時，將ACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到BCE，連接DE1如圖1，求證：CDE是等邊三角形2設(shè)OD=t，當(dāng)6t10時，BDE的周長是否存在最小值？假設(shè)存在，求出BDE周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由求t為何值時，DEB是直角三角形直接寫出結(jié)果即可132023秋懷柔區(qū)期末老師布置了這樣一道作業(yè)題：在ABC中，AB=ACBC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，BAC=，DBC=，+=120，連接AD，求ADB的度數(shù)小聰提供了研究這個問題

12、的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當(dāng)=90，=30時如圖1，利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構(gòu)造ABD的軸對稱圖形ABD，連接CD如圖2，然后利用=90，=30以及等邊三角形的相關(guān)知識便可解決這個問題1請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，求出這種特殊情況下ADB的度數(shù)；2結(jié)合小聰研究特殊問題的啟發(fā)，請解決老師布置的這道作業(yè)題142023秋甘井子區(qū)期末閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來那么形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手圖形如圖1，在“手拉手圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)假設(shè)BAC=DAE，AB=AC，AD

13、=AE，那么BD=CE1在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造“手拉手圖形來解答下面的問題：2如圖2，AB=BC，ABC=BDC=60，求證：AD+CD=BD；3如圖3，在ABC中，AB=AC，BAC=m，點(diǎn)E為ABC外一點(diǎn)，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，EBC=ACF，EDFD，求EAF的度數(shù)用含有m的式子表示152023秋寧江區(qū)期末如圖1，在ABC中，BAC=90，AB=AC，ABC=45MN是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，BDMN于D，CEMN于E1求證：BD=AE2假設(shè)將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G如圖2，其他條件不變，求證：BD=AE3在2的情況下，假設(shè)CE的延長線過AB的中點(diǎn)F如圖3，連

14、接GF，求證：1=22023年06月01日幾何圖形變換證明參考答案與試題解析一解答題共15小題12023秋市北區(qū)期末探究活動一：如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系是ME=MF不必證明，直接給出結(jié)論即可探究活動二：如圖2，將上題中的“正方形改為“矩形，且AB=mBC，其他條件不變矩形ABCD和矩形QMNP，M=B，M是矩形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，探究并證明線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系；探究活動三：根據(jù)前面的探索和圖3，平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，假設(shè)A

15、B=mBC，M=B，M是平行四邊形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E，請?zhí)骄坎⒆C明線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系【考點(diǎn)】SO：相似形綜合題【專題】15 ：綜合題【分析】1過點(diǎn)M作MHAB于H，MGAD于G，連接AM，首先證明M是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，然后證明MHFMGE，利用全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF；2過點(diǎn)M作MEAB于E，MGAD于G，利用矩形ABCD性質(zhì)和條件證明HMF=GME，MGE=MHF，得出MGEMHF，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；3平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，M=B，AB=mBC，由于M是平行四邊形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，

16、AD交QM于E，那么ME=mMF證明方法和12類似【解答】解：1ME=MF理由：如圖1，過點(diǎn)M作MHAB于H，MGAD于G，連接AM，那么MHF=MGE=90，M是正方形ABCD的對稱中心，AM平分BAD，MH=MG，在正方形ABCD中，DAB=90，而MHA=MGA=90，EMF=HMG=90，F(xiàn)MH=EMG，在MHF和MGE中，MHFMGEASA，MF=ME，故答案為：MF=ME；2ME=mMF理由：如圖2，過點(diǎn)M作MGAB于G，MHAD于H，那么MHE=MGF=90，在矩形ABCD中，A=90，在四邊形GMHA中，GMH=90，又EMF=90，HME=GMF，又MGF=MHE=90，MG

17、FMHE，=，又M是矩形ABCD的對稱中心，MG=BC，MH=AB，AB=mBC，=m，ME=mMF；3ME=mMF理由：如圖3，過點(diǎn)M作MGAB于G，MHAD于H，那么MHE=MGF=90，在平行四邊形ABCD中，A+B=180，而EMF=B，A+EMF=180，又在四邊形AGMH中，A+HMG=180，EMF=GMF，又MGF=MHE=90，MGFMHE，=，又M是矩形ABCD的對稱中心，MG=BC，MH=AB，AB=mBC，=m，ME=mMF【點(diǎn)評】此題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全

18、等三角形或相似三角形，運(yùn)用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo)22023秋華縣期末如圖1，點(diǎn)M在正方形ABCD的對角線AC不與點(diǎn)A重合上滑動，連結(jié)DM，作MNDM交直線AB于點(diǎn)N1求證：DM=MN；2假設(shè)將1中的正方形變?yōu)榫匦?，其余條件不變?nèi)鐖D2，且DC=2AD，求MD：MN；3在2中，假設(shè)CD=nAD，當(dāng)M滑動到CA的延長線上時如圖3，請直接寫出MD：MN的比值【考點(diǎn)】SO：相似形綜合題【專題】15 ：綜合題【分析】1過M作MQAB于Q，MPAD于P，那么PMQ=90，MQN=MPD=90，根據(jù)ASA即可判定MDPMNQ，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DM=MN；2過M作MSAB于S，MWAD于W

19、，那么WMS=90，根據(jù)DMW=NMS，MSN=MWD=90，判定MDWMNS，得出MD：MN=MW：MS=MW：WA，再根據(jù)AWMADC，DC=2AD，即可得出MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；3過M作MXAB于X，MRAD于R，那么易得NMXDMR，得出MD：MN=MR：MX=AX：MX，再由ADMX，CDAX，易得AMXCAD，得出AX：MX=CD：AD，最后根據(jù)CD=nAD，即可得出MD：MN=CD：AD=n【解答】解：1證明：過M作MQAB于Q，MPAD于P，那么PMQ=90，MQN=MPD=90，DMN=90，DMP=NMQ，ABCD是正方形，AC平分DAB，PM=MQ，在M

20、DP和MNQ中，MDPMNQASA，DM=MN；2過M作MSAB于S，MWAD于W，那么WMS=90，MNDM，DMW=NMS，又MSN=MWD=90，MDWMNS，MD：MN=MW：MS=MW：WA，MWCD，AMW=ACD，AWM=ADC，AWMADC，又DC=2AD，MD：MN=MW：WA=CD：DA=2；3MD：MN=n，理由：過M作MXAB于X，MRAD于R，那么易得NMXDMR，MD：MN=MR：MX=AX：MX，由ADMX，CDAX，易得AMXCAD，AX：MX=CD：AD，又CD=nAD，MD：MN=CD：AD=n【點(diǎn)評】此題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，

21、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形、矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題32023灤縣模擬兩塊等腰直角三角板ABC和DEC如圖擺放，其中ACB=DCE=90，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)1如圖1，假設(shè)點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜測FH和FG的數(shù)量關(guān)系為相等和位置關(guān)系為垂直；2如圖2，假設(shè)將三角板DEC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，那么1中的猜測是否還成立，假設(shè)成立，請證明，不成立請說明理由；3如圖3，將圖1中的DEC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖3，1中的猜測還成

22、立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；KX：三角形中位線定理【專題】152：幾何綜合題【分析】1證AD=BE，根據(jù)三角形的中位線推出FH=AD，F(xiàn)HAD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)GBE，即可推出答案；2證ACDBCE，推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；3連接BE、AD，根據(jù)全等推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案【解答】1解：CE=CD，AC=BC，ECA=DCB=90，BE=AD，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)H=AD，F(xiàn)HAD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)GBE，F(xiàn)H=FG，ADBE，F(xiàn)HFG，

23、故答案為：相等，垂直2答：成立，證明：CE=CD，ECD=ACD=90，AC=BC，ACDBCEAD=BE，由1知：FH=AD，F(xiàn)HAD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)GBE，F(xiàn)H=FG，F(xiàn)HFG，1中的猜測還成立3答：成立，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)HFG連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，同1可證FH=AD，F(xiàn)HAD，F(xiàn)G=BE，F(xiàn)GBE，三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，CE=CD，AC=BC，ECD=ACB=90，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，EBC=DAC，DAC+CXA=90，CXA=DXB，DXB+EBC=90，EZA=18090=90，即ADBE，F(xiàn)HAD

24、，F(xiàn)GBE，F(xiàn)HFG，即FH=FG，F(xiàn)HFG，結(jié)論是FH=FG，F(xiàn)HFG【點(diǎn)評】此題主要考查對等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵42023廣饒縣一模如圖1，在ABC中，ACB=90，BC=2，A=30，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF1線段BE與AF的位置關(guān)系是互相垂直，=2如圖2，當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a時0a180，連結(jié)AF，BE，1中的結(jié)論是否仍然成立如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由3如圖3，當(dāng)CEF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a時0a180，延長FC交AB于點(diǎn)D，如果AD

25、=62，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【分析】1結(jié)合角度以及利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出AB的長，進(jìn)而得出答案；2利用得出BECAFC，進(jìn)而得出1=2，即可得出答案；3過點(diǎn)D作DHBC于H，那么DB=462=22，進(jìn)而得出BH=1，DH=3，求出CH=BH，得出DCA=45，進(jìn)而得出答案【解答】解：1如圖1，線段BE與AF的位置關(guān)系是互相垂直；ACB=90，BC=2，A=30，AC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，=；故答案為：互相垂直；21中結(jié)論仍然成立證明：如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，EC=BC，F(xiàn)C=AC，=，BCE=ACF=，BECAFC，=，1=2，

26、延長BE交AC于點(diǎn)O，交AF于點(diǎn)MBOC=AOM，1=2BCO=AMO=90BEAF；3如圖3，ACB=90，BC=2，A=30AB=4，B=60過點(diǎn)D作DHBC于HDB=462=22，BH=1，DH=3，又CH=21=3，CH=DH，HCD=45，DCA=45，=18045=135【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出BECAFC是解題關(guān)鍵52023河南如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=301操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定ABC，使DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是DEAC；設(shè)

27、BDC的面積為S1，AEC的面積為S2，那么S1與S2的數(shù)量關(guān)系是S1=S22猜測論證當(dāng)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜測1中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜測3拓展探究ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DEAB交BC于點(diǎn)E如圖4假設(shè)在射線BA上存在點(diǎn)F，使SDCF=SBDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】152：幾何綜合題；16 ：壓軸題【分析】1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ACD=60，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等

28、，兩直線平行解答；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；2根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出ACN=DCM，然后利用“角角邊證明ACN和DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；3過點(diǎn)D作DF1BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF2BD，求出F1D

29、F2=60，從而得到DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出CDF1=CDF2，利用“邊角邊證明CDF1和CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，然后在等腰BDE中求出BE的長，即可得解【解答】解：1DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等邊三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，ACD的邊AC、AD上的高相等，BDC的面積和AEC的面積相等等底等高的三角形的面積相等，即S1=S2；故答案為：DEA

30、C；S1=S2；2如圖，DEC是由ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCMAAS，AN=DM，BDC的面積和AEC的面積相等等底等高的三角形的面積相等，即S1=S2；3如圖，過點(diǎn)D作DF1BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時SDCF1=SBDE；過點(diǎn)D作DF2BD，ABC=60，F(xiàn)1DBE，F(xiàn)2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F(xiàn)1BD=ABC=30，F(xiàn)2DB=90，F(xiàn)1DF2=ABC=60，DF1F2是等邊三角形，DF1=DF2，BD

31、=CD，ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2SAS，點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長為或【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面

32、積相等是解題的關(guān)鍵，3要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個62023盤錦如圖，在RtABC中，ACB=90，A=30，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動點(diǎn)不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60，得到線段PQ，連接BQ1如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系2如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時，1中結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請加以證明；假設(shè)不成立，請說明理由；3如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時，假設(shè)BPO=15，BP=4，請求出BQ的長【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【分析】1結(jié)論：BQ=CP如圖1中，作PHAB交CO于H，可得PCH是等邊三角形，只要證明POH

33、QPB即可；2成立：PC=BQ作PHAB交CO的延長線于H證明方法類似1；3如圖3中，作CEOP于E，在PE上取一點(diǎn)F，使得FP=FC，連接CF設(shè)CE=EO=a，那么FC=FP=2a，EF=a，在RtPCE中，PC=+a，根據(jù)PC+CB=4，可得方程+a+a=4，求出a即可解決問題；【解答】解：1結(jié)論：BQ=CP理由：如圖1中，作PHAB交CO于H在RtABC中，ACB=90，A=30，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，CO=AO=BO，CBO=60，CBO是等邊三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60，CHP=CPH=60，CPH是等邊三角形，PC=PH=CH，OH=PB，OPB=OPQ+QPB=O

34、CB+COP，OPQ=OCP=60，POH=QPB，PO=PQ，POHQPB，PH=QB，PC=BQ2成立：PC=BQ理由：作PHAB交CO的延長線于H在RtABC中，ACB=90，A=30，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，CO=AO=BO，CBO=60，CBO是等邊三角形，CHP=COB=60，CPH=CBO=60，CHP=CPH=60，CPH是等邊三角形，PC=PH=CH，OH=PB，POH=60+CPO，QPO=60+CPQ，POH=QPB，PO=PQ，POHQPB，PH=QB，PC=BQ3如圖3中，作CEOP于E，在PE上取一點(diǎn)F，使得FP=FC，連接CFOPC=15，OCB=OCP+POC，POC=

35、45，CE=EO，設(shè)CE=EO=a，那么FC=FP=2a，EF=a，在RtPCE中，PC=+a，PC+CB=4，+a+a=4，解得a=42，PC=44，由2可知BQ=PC，BQ=44【點(diǎn)評】此題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題72023遼陽如圖1，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DC=EC，連接DE、AE、BD，點(diǎn)M、N、P分別是AE、BD、AB的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN1BE與MN的數(shù)量關(guān)系是BE=MN；2

36、將DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷1中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，假設(shè)不成立，請說明理由；3假設(shè)CB=6，CE=2，在將圖1中的DEC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、D三點(diǎn)在一條直線上時，MN的長度為1或+1【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【分析】1如圖1中，只要證明PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題；2如圖2中，結(jié)論仍然成立連接AD、延長BE交AD于點(diǎn)H由ECBDCA，推出BE=AD，DAC=EBC，即可推出BHAD，由M、N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，推出PMBE，PM=BE，PNAD，PN=AD，推出PM=PN，MPN=90

37、，可得BE=2PM=2MN=MN；3有兩種情形分別求解即可；【解答】解：1如圖1中，AM=ME，AP=PB，PMBE，PM=BE，BN=DN，AP=PB，PNAD，PN=AD，AC=BC，CD=CE，AD=BE，PM=PN，ACB=90，ACBC，PMBC，PNAC，PMPN，PMN的等腰直角三角形，MN=PM，MN=BE，BE=MN，故答案為BE=MN2如圖2中，結(jié)論仍然成立理由：連接AD、延長BE交AD于點(diǎn)HABC和CDE是等腰直角三角形，CD=CE，CA=CB，ACB=DCE=90，ACBACE=DCEACE，ACD=ECB，ECBDCA，BE=AD，DAC=EBC，AHB=180HAB

38、+ABH=18045+HAC+ABH=18045+HBC+ABH=18090=90，BHAD，M、N、P分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，PMBE，PM=BE，PNAD，PN=AD，PM=PN，MPN=90，BE=2PM=2MN=MN3如圖3中，作CGBD于G，那么CG=GE=DG=，當(dāng)D、E、B共線時，在RtBCG中，BG=，BE=BGGE=，MN=BE=1如圖4中，作CGBD于G，那么CG=GE=DG=，當(dāng)D、E、B共線時，在RtBCG中，BG=，BE=BG+GE=+，MN=BE=+1故答案為1或+1【點(diǎn)評】此題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，

39、解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題82023鐵嶺如圖，ABC中，BAC為鈍角，B=45，點(diǎn)P是邊BC延長線上一點(diǎn)，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CP為邊，在射線BP下方作PCF=B1在射線CF上取點(diǎn)E，連接AE交線段BC于點(diǎn)D如圖1，假設(shè)AD=DE，請直接寫出線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；如圖2，假設(shè)AD=DE，判斷線段AB與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；2如圖3，反向延長射線CF，交射線BA于點(diǎn)C，將PCF沿CC方向平移，使頂點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，記平移后的PCF為PCF，將PCF繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)角045，CF交線段BC于點(diǎn)M，CP交射線BP于點(diǎn)N，請

40、直接寫出線段BM，MN與CN之間的數(shù)量關(guān)系【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【分析】1結(jié)論：AB=CE，ABCE如圖1中，作EHBA交BP于H只要證明BDAHDE，EC=EH即可解決問題；結(jié)論：AB=CE，ABEC如圖2中，作EHBA交BP于H由ABDEHD，可得=，推出AB=EH，再證明EC=EH，即可解決問題；2結(jié)論：MN2=BM2+CN2首先說明BCC是等腰直角三角形，將CBM繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到CCG，連接GN只要證明CMNCGN，推出MN=GN，在RtGCN中，根據(jù)GN2=CG2+CN2，即可證明；【解答】解：1結(jié)論：AB=CE，ABCE理由：如圖1中，作EHBA交BP于HABEH，B

41、=DHE，AD=DE，BDA=EDH，BDAHDE，AB=EH，B=EHC=45PCF=B=CHE，EC=EH，AB=CE，ECH=EHC=45，CEH=90，CEEH，ABEH，ABCE結(jié)論：AB=CE，ABEC理由：如圖2中，作EHBA交BP于HBAEH，ABDEHD，=，AB=EH，PCF=B=CHE，EC=EH，AB=EC，ECH=EHC=45，B=PCF=CHE=45，CEH=90，CEPE，ABPE，ABEC2結(jié)論：MN2=BM2+CN2理由：如圖3中，B=PCF=BCC=45，BCC是等腰直角三角形，將CBM繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90得到CCG，連接GNCCG=B=45，GCB=CCG

42、+CCB=90，GCN=90，MCG=90，MCN=45，NCM=NCG，CM=CG，CN=CN，CMNCGN，MN=GN，在RtGCN中，GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，MN2=BM2+CN2【點(diǎn)評】此題考查幾何變換綜合題、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題92023河南如圖1，在RtABC中，A=90，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)1觀察猜測 圖1中

43、，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM=PN，位置關(guān)系是PMPN；2探究證明 把ADE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷PMN的形狀，并說明理由；3拓展延伸 把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，假設(shè)AD=4，AB=10，請直接寫出PMN面積的最大值【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【專題】15 ：綜合題【分析】1利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PMCE得出DPM=DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；2先判斷出ABDACE，得出BD=CE，同1的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同1的方法即可得出結(jié)

44、論；3方法1、先判斷出MN最大時，PMN的面積最大，進(jìn)而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面積公式即可得出結(jié)論方法2、先判斷出BD最大時，PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14，即可【解答】解：1點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，PNBD，PN=BD，點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，PMCE，PM=CE，AB=AC，AD=AE，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90，PMPN，故答案為：PM=PN，PMPN，2由旋轉(zhuǎn)知，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，A

45、BDACESAS，ABD=ACE，BD=CE，同1的方法，利用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE，PM=PN，PMN是等腰三角形，同1的方法得，PMCE，DPM=DCE，同1的方法得，PNBD，PNC=DBC，DPN=DCB+PNC=DCB+DBC，MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC=ACB+ABD+DBC=ACB+ABC，BAC=90，ACB+ABC=90，MPN=90，PMN是等腰直角三角形，3方法1、如圖2，同2的方法得，PMN是等腰直角三角形，MN最大時，PMN的面積最大，DEBC且DE在頂點(diǎn)A上面，MN最大=AM+AN，連接A

46、M，AN，在ADE中，AD=AE=4，DAE=90，AM=2，在RtABC中，AB=AC=10，AN=5，MN最大=2+5=7，SPMN最大=PM2=MN2=72=方法2、由2知，PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，PM最大時，PMN面積最大，點(diǎn)D在BA的延長線上，BD=AB+AD=14，PM=7，SPMN最大=PM2=72=【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解1的關(guān)鍵是判斷出PM=CE，PN=BD，解2的關(guān)鍵是判斷出ABDACE，解3的關(guān)鍵是判斷出BD最大時，PMN的面積最大，是一道中考?？?/p>

47、題102023春市北區(qū)期中數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，假設(shè)ACB=ACD=ABD=ADB=60，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長CB到E，使BE=CD，連接AE，證得ABEADC，從而容易證明ACE是等邊三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將ABC繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60，使AB與AD重合，從而容易證明ACF是等邊三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD在此根底上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：1小穎提出：如圖4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=

48、60改為ACB=ACD=ABD=ADB=45，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對小穎提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明2小華提出：如圖5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60改為“ACB=ACD=ABD=ADB=30，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對小華提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【專題】35 ：轉(zhuǎn)化思想【分析】1先判斷出ADE=ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45，即可得出等腰直角三角形，即可；判斷ADE=ABC也可以先判斷出點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓2先判斷出ADE=

49、ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函數(shù)即可得出結(jié)論【解答】解：1BC+CD=AC；理由：如圖1，延長CD至E，使DE=BC，連接AE，ABD=ADB=45，AB=AD，BAD=180ABDADB=90，ACB=ACD=45，ACB+ACD=90，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADESAS，ACB=AED=45，AC=AE，ACE是等腰直角三角形，CE=AC，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=AC；2BC+CD=AC理由：如圖2，延長CD至E，使DE=BC，ABD=ADB=30，AB=AD，BA

50、D=180ABDADB=180230，ACB=ACD=30，ACB+ACD=60，BAD+BCD=180，ABC+ADC=180，ADC+ADE=180，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADESAS，ACB=AED=30，AC=AE，AEC=30，過點(diǎn)A作AFCE于F，CE=2CF，在RtACF中，ACD=30，CF=ACcosACD=ACcos30，CE=2CF=2ACcos30=AC，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos30=AC【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，四邊形的內(nèi)角和，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，是一道

51、綜合性較強(qiáng)的題目112023秋歷城區(qū)期末【操作發(fā)現(xiàn)】1如圖1，ABC為等腰直角三角形，ACB=90，先將三角板的90角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角大于0且小于45旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE=45，連接AF，EF請?zhí)骄拷Y(jié)果：直接寫出EAF的度數(shù)=90度；假設(shè)旋轉(zhuǎn)角BCD=，那么AEF=2度可以用含的代數(shù)式表示；DE與EF相等嗎？請說明理由；【類比探究】2如圖2，ABC為等邊三角形，先將三角板中的60角與ACB重合，再將三角板繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角大于0且小于30旋轉(zhuǎn)后三角板的一直角邊與A

52、B交于點(diǎn)D在三角板斜邊上取一點(diǎn)F，使CF=CD，線段AB上取點(diǎn)E，使DCE=30，連接AF，EF直接寫出EAF的度數(shù)=120度；假設(shè)AE=1，BD=2，求線段DE的長度【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形【專題】55：幾何圖形【分析】1由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=BC，BAC=B=45，證出ACF=BCD，由SAS證明ACFBCD，得出CAF=B=45，AF=DB，求出EAF=BAC+CAF=90；證出DCE=FCE，由SAS證明DCEFCE，得出DE=EF即可；2由等邊三角形的性質(zhì)得出AC=BC，BAC=B=60，求出ACF=BCD，證明ACFBCD，得出CAF=B

53、=60，求出EAF=BAC+CAF=120；證出DCE=FCE，由SAS證明DCEFCE，得出DE=EF；在RtAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出結(jié)論【解答】解：1ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，BAC=B=45，DCF=90，ACF=BCD，在ACF和BCD中，ACFBCDSAS，CAF=B=45，AF=DB，EAF=BAC+CAF=90；DE=EF；理由如下：DCF=60，DCE=30，F(xiàn)CE=6030=30，DCE=FCE，在DCE和FCE中，DCEFCESAS，DE=EF；2ABC是等邊三角形，AC=BC，BAC=B=60，DCF=60，ACF=

54、BCD，在ACF和BCD中，ACFBCDSAS，CAF=B=60，EAF=BAC+CAF=120；AE2+DB2=DE2，理由如下：DCF=90，DCE=45，F(xiàn)CE=9045=45，DCE=FCE，在DCE和FCE中，DCEFCESAS，DE=EF，在RtAEF中，AE2+AF2=EF2，又AF=DB，AE2+DB2=DE2AE=1，BD=2，DE=故答案為：190；2；2120【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；此題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵122023秋和平區(qū)期末

55、ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6，點(diǎn)D是射線OM上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時，將ACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到BCE，連接DE1如圖1，求證：CDE是等邊三角形2設(shè)OD=t，當(dāng)6t10時，BDE的周長是否存在最小值？假設(shè)存在，求出BDE周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由求t為何值時，DEB是直角三角形直接寫出結(jié)果即可【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題【專題】15 ：綜合題【分析】1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DCE=60，DC=EC，即可得到結(jié)論；2當(dāng)6t10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD，于是得到CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE

56、=CD，由垂線段最短得到當(dāng)CDAB時，BDE的周長最小，于是得到結(jié)論；3存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，D，B，E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)0t6時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ABE=60，BDE60，求得BED=90，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DEB=60，求得CEB=30，求得OD=OADA=64=2=t當(dāng)6t10時，此時不存在；當(dāng)t10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DBE=60，求得BDE60，于是得到t=14【解答】解：1證明：將ACD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到BCE，DCE=60，DC=EC，CDE是等邊三角形；2存在，當(dāng)6t10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD，CDBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由1知

57、，CDE是等邊三角形，DE=CD，CDBE=CD+4，由垂線段最短可知，當(dāng)CDAB時，BDE的周長最小，此時，CD=2，BDE的最小周長=CD+4=2+4；3存在，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，D，B，E不能構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時，不符合題意，當(dāng)0t6時，由旋轉(zhuǎn)可知，ABE=60，BDE60，BED=90，由1可知，CDE是等邊三角形，DEB=60，CEB=30，CEB=CDA，CDA=30，CAB=60，ACD=ADC=30，DA=CA=4，OD=OADA=64=2，t=2；當(dāng)6t10時，由DBE=12090，此時不存在；當(dāng)t10時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DBE=60，又由1知CDE=60，BDE

58、=CDE+BDC=60+BDC，而BDC0，BDE60，只能BDE=90，從而BCD=30，BD=BC=4，OD=14，t=14，綜上所述：當(dāng)t=2或14時，以D、E、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形【點(diǎn)評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，直角三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵132023秋懷柔區(qū)期末老師布置了這樣一道作業(yè)題：在ABC中，AB=ACBC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，BAC=，DBC=，+=120，連接AD，求ADB的度數(shù)小聰提供了研究這個問題的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當(dāng)=90，=30時如圖1，利用軸對稱知識，以AB為對

59、稱軸構(gòu)造ABD的軸對稱圖形ABD，連接CD如圖2，然后利用=90，=30以及等邊三角形的相關(guān)知識便可解決這個問題1請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，求出這種特殊情況下ADB的度數(shù)；2結(jié)合小聰研究特殊問題的啟發(fā)，請解決老師布置的這道作業(yè)題【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)【分析】1如圖2中，作ABD=ABD，BD=BD，連接CD，AD，由ABDABD，推出DBC是等邊三角形，再證明ADBADC，得ADB=ADC，由此即可解決問題2第種情況：當(dāng)60120時，如圖3中，作AB D=ABD，B D=BD，連接CD，AD，證明方法類似1第種情況：當(dāng)060時

60、，如圖4中，作ABD=ABD，BD=BD，連接CD，AD證明方法類似1【解答】解：1如圖2中，作ABD=ABD，BD=BD，連接CD，AD，AB=AC，BAC=90，ABC=45，1分DBC=30，ABD=ABCDBC=15，在ABD和ABD中，ABDABD，ABD=ABD=15，ADB=ADB，DBC=ABD+ABC=60，BD=BD，BD=BC，BD=BC，DBC是等邊三角形，DB=DC，BDC=60，在ADB和ADC中，ADBADC，ADB=ADC，ADB=BDC=30，ADB=302解：第種情況：當(dāng)60120時，如圖3中，作AB D=ABD，B D=BD，連接CD，AD，AB=AC，A