新教材人教A版選擇性必修第三冊(cè)-第八章-8.2-一元線性回歸模型及其應(yīng)用-課件(62張)

1、8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用 1.一元線性回歸模型一元線性回歸模型的完整表達(dá)式為 其中Y稱為_或_,x稱為自變量或_變量;a,b為模型的未知參數(shù),e是Y與bx+a之間的_.必備知識(shí)素養(yǎng)奠基因變量響應(yīng)變量隨機(jī)誤差解釋【思考】具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,其樣本點(diǎn)散布在某一條直線y=bx+a的附近,可以用一次函數(shù)y=bx+a來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎?提示:不能.2.最小二乘法與經(jīng)驗(yàn)回歸方程(1)最小二乘法 稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式,其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法,求得的 叫做b,a的最小二乘估計(jì).(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)計(jì)算公式(3)

2、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)點(diǎn)_;一次函數(shù) 的單調(diào)性由 的符號(hào)決定,函數(shù)遞增的充要條件是_; 的實(shí)際意義:當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí), _個(gè)單位.【思考】正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與 的符號(hào)有何關(guān)系?提示:Y與x正相關(guān)的充要條件是 ,Y與x負(fù)相關(guān)的充要條件是 .3.殘差(1)殘差:對(duì)于響應(yīng)變量Y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值,通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的 稱為預(yù)測(cè)值,觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.(2)決定系數(shù):R2=1- 越接近1,表示回歸的效果越好.【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)樣本中的某一個(gè)點(diǎn).()(2)選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)

3、回歸方程是同一個(gè)方程.()(3)在經(jīng)驗(yàn)回歸模型中,R2越接近于1,表示解釋變量和響應(yīng)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).()(4)在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),響應(yīng)變量在x軸上,解釋變量在y軸上.()提示:(1).經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)點(diǎn) ,可能過(guò)樣本中的某個(gè)或某些點(diǎn),也可能不過(guò)樣本中的任意一個(gè)點(diǎn).(2).選取一組數(shù)據(jù)中的部分點(diǎn)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不一定是同一個(gè)方程.(3).(4).在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí),解釋變量在x軸上,響應(yīng)變量在y軸上.2.若某地財(cái)政收入x與支出Y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程 = x+ +ei(單位:億元)(i=1,2,),其中 =0.8, =2,|ei|0.5,如果今年該地區(qū)財(cái)

4、政收入10億元,年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)()A.10億元B.9億元C.10.5億元D.9.5億元【解析】選C. =0.810+2+ei=10+ei,因?yàn)閨ei|0.5,所以9.5 0)可作變換Y=ln y,m=ln a,t=ln x,則有Y=m+bt.(3)指數(shù)型函數(shù)y=kabx(a0且a1,k0)可作變換Y=ln y,m=ln k,則有:Y=m+(bln a)x.【習(xí)練破】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量Y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量

5、的值.表中wi=(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d 哪一個(gè)適宜作為年銷售量Y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線 u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為【解析】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d 適宜作為年銷售量Y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.(2

6、)令w= ,先建立Y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.由于 =563-686.8=100.6,所以Y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 =100.6+68w,因此Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 =100.6+68 .(3)由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量Y的預(yù)報(bào)值 =100.6+68 =576.6,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 =576.60.2-49=66.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 =0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12.所以當(dāng) = =6.8,即x=46.24時(shí), 取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.【加練固】如表是某年美國(guó)舊轎車價(jià)格的調(diào)查資料.觀察表中的數(shù)據(jù),

7、試問(wèn)平均價(jià)格與使用年數(shù)間存在什么樣的關(guān)系?使用年數(shù)12345678910平均價(jià)格(美元)2 6511 9431 4941 087765538484290226204【解析】設(shè)x表示轎車的使用年數(shù),Y表示相應(yīng)的平均價(jià)格,作出散點(diǎn)圖.由散點(diǎn)圖可以看出Y與x具有指數(shù)關(guān)系,令Z=ln Y,變換得x12345678910Z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318作出散點(diǎn)圖:由圖可知各點(diǎn)基本上處于一直線附近,由表中數(shù)據(jù)可求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程: =8.166-0.298x.因?yàn)榕f車的平均價(jià)格與使用年數(shù)具有指數(shù)關(guān)系,所以其非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 =e8.1

8、66-0.298x.課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.關(guān)于回歸分析,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法B.散點(diǎn)圖中,解釋變量在x軸,響應(yīng)變量在y軸C.回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差D.散點(diǎn)圖能明確反映變量間的關(guān)系【解析】選D.用散點(diǎn)圖反映兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí),存在誤差.2.關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是()A.殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B.殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報(bào)變量C.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小D.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小【解析】選C.殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明模型擬合精度越高,則殘差平方和越小,此時(shí),相關(guān)指數(shù)R2的值越大.3.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù):得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 ,則()A. 0, 0B. 0, 0C. 0D. 0, 0【解析】選B.由題干表中的數(shù)據(jù)可得,變量Y隨著x的增大而減小,則 0.x23456Y42.5-0.5-2-34.某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x(單位:萬(wàn)元)與銷售額Y(單位:萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如表:已知Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為 =6.5x+17.5,則當(dāng)廣告支出費(fèi)用為5萬(wàn)元時(shí),殘差為_.【解析】當(dāng)x=5時(shí), =6.55+17.5=50,表格中對(duì)應(yīng)y=60,于是殘差為60-50=10.答案:10 x24568Y3040605070【新情境新思維】已知變量x,Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系